第五章弯曲应力课堂课资

1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力截面面积截面面积 a a()nfa极惯性矩极惯性矩2pida()pti惯性矩惯性矩 iz（弯曲应力弯曲应力)5-1 平面图形的几何性质平面图形的几何性质为什么要研究平面图形的几何性质？为什么要研究平面图形的几何性质？因为我们对一维构件横截面的某些几何量很感兴趣！因为我们对一维构件横截面的某些几何量很感兴趣！! !1. 静矩静矩 (static moment of an area) azydas对对z轴轴 ayzdas对对y轴轴静矩静矩: : 可为正、负、零。量纲：长度3。zaoydayz静矩静矩 面积面积距离距离静矩和形心静矩和形心2. 形心形心 (centroi

2、d of an area)（yc , zc）对任意截面：对任意截面： acyayda aczazdaaydayac azdazac zdaaoyyzyczcc形心坐标形心坐标：推论：推论：图形对形心轴的静矩为零。图形对形心轴的静矩为零。 0 0 ccaayzydazda当时组合截面：组合截面：（由几个形心已知的简单图形组成）（由几个形心已知的简单图形组成）11niicicniia yya11niicicniiazza( yic、zic 各截面形心的坐标各截面形心的坐标 )zoy123123123123123aaaaaaacydaydaydaydaydayaaaaaaa112233123ccca

3、 ya ya yaaa对对n个简单图形情形，个简单图形情形，例例1 求图示平面图形的形心坐标。求图示平面图形的形心坐标。解解：矩形矩形i i：)mm(a21120010120 矩形矩形iiii：)mm(a227001070 单位单位:mmy1z1i1201010zy80（yc，zc）y2iiy2iiz2)mmz)mm(y( 605c1c1 )mmz)mm(y( 54527010c2c2 1122121200 5700 45 1200700 19.7()ccca ya yyaamm 1122121200 60700 539.7()1200700cccaza zzmmaa形心：形心：单位单位:mm

4、y1z1i1201010zy80（yc，zc）y2iiy2iiz2例例2 求图示求图示t形截面的形心坐标。形截面的形心坐标。解：建参考坐标系，解：建参考坐标系，y轴为对称轴。轴为对称轴。将将t形截面看成由两个矩形组成。形截面看成由两个矩形组成。zc=01001002020zy1 12 2*yc c矩形矩形i i：2120 100()amm1110()cymm2220 100()amm250()cymm矩形矩形iiii：112212 80()ccca ya yyaamm例例3 计算图示平面图形的形心位置。计算图示平面图形的形心位置。解：用负面积法解：用负面积法zydczc大圆大圆：214ad10

5、cz小圆小圆：22d42a2d4cz112212cccaza zzaa12d 图形关于图形关于z轴对称，则轴对称，则yc=0=01. 1. 惯性矩惯性矩 (moment of inertia of an area)zdaaoyyz ayazdazi,dayi22 2pida对原点对原点o的的极惯性矩极惯性矩(polar moment of inertia) : :对对z、y轴惯性矩轴惯性矩(moment of inertia about z、y axis)：222()pzyiiiyz量纲：量纲： 长度长度 4 4；符号：符号：正正 ( (不能为零不能为零) )。惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径

6、对对z轴轴 da=bdy 2232212/h/hazbhdybydayi同理对同理对y轴轴hdzda a/b/byhbdzhzdazi2232212123高宽轴 i矩形截面对形心轴惯性矩矩形截面对形心轴惯性矩: :dyyb/2b/2h/2h/2yz解：解：dzzb/2b/2h/2h/2yz例例4 计算矩形截面对其形心轴的惯性矩计算矩形截面对其形心轴的惯性矩。例例5 计算圆形对形心轴的惯性矩。计算圆形对形心轴的惯性矩。解：解：zoyyzdad32d42pdaia32ddd4222pdiiazayaiyzaaa4p264zyidii 根据对称性可知，原截面对于形心轴根据对称性可知，原截面对于形心轴

7、z和和y的惯性矩的惯性矩iz和和iy是相等的是相等的，iz= iy，于是得于是得圆形与圆环截面圆形与圆环截面实心圆实心圆4264pzyidii空心圆空心圆44642ddiiipyz441642diiipyzdd其中：2. 惯性半径惯性半径 (radius of gyration of an area) 在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性矩写成图形的面积矩写成图形的面积a与某长度与某长度i的平方的乘积形式：的平方的乘积形式：2ia i注意：一般地，注意：一般地，惯性半径并无明确的几何解释。特殊地，惯性半径并无明确的几何解释。特殊地，圆形截面的惯性半径

8、圆形截面的惯性半径等于等于四分之一圆的直径值四分之一圆的直径值。 惯性半径惯性半径iia称：称：惯性积惯性积 (product of inertia of an area) ayzyzdai量纲: 长度4；符号：可正、可负(可为零)。zdaaoyyz惯性积惯性积特点：特点：图形关于对称轴的惯性积为零图形关于对称轴的惯性积为零。daoyyzza azdayi20 zcs( (对形心轴的静矩对形心轴的静矩) )aaiizcz2 abiiycy2 同理有：同理有： aacacdaadayaday222aaasizczc22 acda)ay(2zcycbacyczc平行移轴公式平行移轴公式 (para

9、llel-axis formula)1、 两轴中必有一根通过形心的轴，才能应用平行移轴公式；两轴中必有一根通过形心的轴，才能应用平行移轴公式；2、 对所有平行轴来说，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。对所有平行轴来说，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。注意：注意：解：解：bhhiizcz21)3(2 321127)21(bhhbhiizz ？（1 1）先求过形心轴的轴惯矩）先求过形心轴的轴惯矩333361181121bhbhbhizc （2 2）再次利用平行移轴公式）再次利用平行移轴公式例例6 图示三角形截面图示三角形截面?1 zi求：求：bhzz132141)21()32(bhhbhiizcz

10、zc*3121bhiz 已知：已知：例例7 计算图示平面图形对形心轴计算图示平面图形对形心轴z和和yc的惯性矩。的惯性矩。解：解：44441515()6464 264161024zddddi221122() (4) )ycycyciiazia dz422422() )()()() )64412642423dddddd92161194d zyd由例由例3知，知，yc轴轴y轴的距离为轴的距离为zc= =d/12.cyczc=d/12横力弯曲横力弯曲(bending by transverse force) 纯弯曲纯弯曲(pure bending) 梁横截面上的应力梁横截面上的应力切应力切应力 与剪

11、力对应与剪力对应正应力正应力 与弯矩对应与弯矩对应0,0sfm0,0sfm5-2 梁纯弯曲时的正应力梁纯弯曲时的正应力实验观察实验观察梁表面变形特征梁表面变形特征q 横线仍是直线，但发生横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交；相对转动，仍与纵线正交；q 纵线弯成曲线，且梁的纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短。下侧伸长，上侧缩短。 梁弯曲假设梁弯曲假设( (由外部去想象内部由外部去想象内部) )：q横截面保持为平面横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂直于变形后，仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度；变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度；q 纵向各水平

12、面间无挤压纵向各水平面间无挤压 均为单向拉、压状态。均为单向拉、压状态。1、几何关系、几何关系梁的梁的中性层中性层(neutral layer) 既不伸长又不缩短的纵面既不伸长又不缩短的纵面 截面的截面的中性轴中性轴(neutral axis) 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线纤维纤维aa变形前变形前的长度的长度aaooood 纤维纤维aa变形后变形后的长度的长度()aay d纤维纤维aa的线应变的线应变(1) - yddd)y( 中性层曲率半径中性层曲率半径( ( 与与y成正比成正比) )根据根据虎克定律虎克定律(2) - ye ( (中轴性尚未确定中轴性尚未确定, , y、 未知未

13、知) )由由(2)可知应力分布可知应力分布: :假设假设: : 各层纤维之间无挤压作用各层纤维之间无挤压作用, ,各条纤维仅受单向拉压受各条纤维仅受单向拉压受力力, , 应此可以使用简单虎克定律。应此可以使用简单虎克定律。2、物理关系、物理关系xz mzmzy( (确定微观应力与宏观弯矩的等效关系确定微观应力与宏观弯矩的等效关系) )( (中性轴中性轴) ) ( (对称轴对称轴) )zyda微内力的合力及微内力的合力及等效关系等效关系0 adan - (3)- (3) aydazm0 - (4)- (4)mdaymaz - (5)- (5)3、静力学关系、静力学关系讨论：讨论： 将将(2)代入

14、代入(3)z0 s =0aayedayda中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心 将将(2)代入代入(4) aazydadayze00 当截面具有对称轴时当截面具有对称轴时, ,自然满足自然满足. .0 adan -(3) ye -(2) aydazm0 -(4)zy ( (对称轴对称轴) )xz yda( (中性轴中性轴) )msz称为称为静矩静矩, ,当通过当通过截截面形心面形心时为时为0 (2)代入代入(5)式：式： amdayye zeim 1- (6)- (6)eiz抗弯刚度抗弯刚度 (6)代入代入(2)式式yimz - (7)- (7)zy ( (对称轴对称轴) )xz yda( (

15、中性轴中性轴) )m ye -(2)-(2)mdaymaz -(5)-(5)2zaiy da惯性矩惯性矩定义定义: : 按变形方式：按变形方式：m为正：下拉上压为正：下拉上压； m为负：上拉下压。为负：上拉下压。单位单位：)pa(m/nmmmn24 yzodayzhb 若如图中那样取若如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定轴向下为正的坐标系来定义式中义式中y 的正负，则在弯矩的正负，则在弯矩m 按以前的规定确按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。示拉应力或压应力。4、正应力符号判定、正应力符号判定yimz zyhbo中性轴

16、中性轴z不是横截面的对称轴时，不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和其横截面上最大拉应力值和最大压应力值不等。最大压应力值不等。中性轴中性轴z是横截面的对称轴时，是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和其横截面上最大拉应力值和最大压应力值相等。最大压应力值相等。5、正应力的分布、正应力的分布1、纯弯曲正应力可以推广到横力弯曲、纯弯曲正应力可以推广到横力弯曲5-3 弯曲正应力的强度准则弯曲正应力的强度准则 (2) 以上有关纯弯曲的正应力的公式，以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲的情对于横力弯曲的情形，如果是细长杆形，如果是细长杆( (l/h5) )，也是近似适用，也是近似适用

17、。(1) 理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在必须之后将在必须之后将不再保持平面不再保持平面，而是要发生，而是要发生翘曲翘曲，对于细长梁，对于细长梁，这种翘曲对正应力的影响是很小的，通常都可以这种翘曲对正应力的影响是很小的，通常都可以忽略不计忽略不计。 (strength criterion of normal stress in bending)2、截面最大正应力截面最大正应力maxzmaxyim （在距中性轴最远点）（在距中性轴最远点）中性轴为对称轴：中性轴为对称轴：( (拉拉) )max = = ( (压压) )max中性

18、轴为非对称轴中性轴为非对称轴: :( (拉拉) )max ( (压压) )max其中：其中：maxzzyiw 抗弯截面模量抗弯截面模量（m3）(section modulus in bending)又可写成又可写成：maxzmw抗弯截面模量抗弯截面模量wz的计算的计算矩形截面矩形截面zbh6bhw2z实心圆截面实心圆截面zd32dw3zdd空心圆截面空心圆截面3332zwdd？3444164232zddwdddd注意：抗弯截面模量注意：抗弯截面模量wz 的计算不可以用负面积法的计算不可以用负面积法! !3、等截面全梁最大正应力：等截面全梁最大正应力：zmaxmaxwm 4、 强度条件强度条件：

19、max 应用：应用：强度校核：强度校核： zmaxwm设计截面：设计截面： maxzmw 计算承载力计算承载力： zmaxwm 解解: :（1）c截面弯矩大小：截面弯矩大小：331.5 1023 10 ()cmp an m 例例1 求如下悬臂梁求如下悬臂梁c截面截面k点正应力点正应力。 已知已知：m.y,m.b,m.h060120180 ,ma,kn.p251 ybh/2h/2kzpac（2）惯性矩）惯性矩：)(10583. 01218. 012. 0124433mbhiz （3）k点应力点应力：)( 拉mpa.)m/n(.yimzck093100930601058301032643 ybh/

20、2h/2kzpac 解：解： 先画梁的弯矩图先画梁的弯矩图。例例2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kn/m，弯曲时木材的许用正应力，弯曲时木材的许用正应力 =10mpa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 由梁的弯矩图可以看出，梁中由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为其值为 n.m104410281813232maxqlm弯曲截面系数为弯曲截面系数为 3222m10103. 021. 014. 0616bhwz由于最大正应力应发生在最大由于最大正应力应发生在最大

21、弯矩所在截面上，所以有弯矩所在截面上，所以有 3.88mpapa1088. 310103. 0104623maxmaxzwm所以满足正应力强度要求。所以满足正应力强度要求。 例例3 如下简支如下简支梁的横截面为工字钢，试按要求选择工字钢型号。梁的横截面为工字钢，试按要求选择工字钢型号。已知：已知：mpamlknp,knp1706211521 （2）画弯矩图，确定画弯矩图，确定maxm（3）wz解：解：3-333max638 100.223 10 ()223() 170 10zmwmcm19kn17kn(1) 计算约束反力计算约束反力（4）查表：查表：p.3293237cmwz 计算值计算值选选

22、20a,p2p1l/3l/3l/33834m单位：单位：knm例例4 一一形截面的外伸梁如图所示。已知：形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，f1=24kn，f2=9kn，材料的许用拉应力材料的许用拉应力 t t=30mpa，许用压应，许用压应力力c c=90mpa, ,试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解：（解：（1 1）先画出弯矩图（图）先画出弯矩图（图b） （2 2）确定截面形心）确定截面形心c的位置的位置10.110.0380.072ym20.11 0.03 0.0150.03 0.08 0.070.11 0.030.03 0.080

23、.038ym（3 3）截面对中性轴的惯性矩）截面对中性轴的惯性矩 3322540.11 0.030.03 0.08(0.11 0.03 0.023 )(0.03 0.08 0.032 )12120.573 10zim(4) (4) 强度校核强度校核 校核最大拉压力校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。mp

24、a91.17pa1091.1710573. 0038. 0107 . 2t6532maxt,yimzc在最大负弯矩的在最大负弯矩的b截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为mpa5 .22pa105 .2210573. 0072. 0108 . 1t6531maxt,yimzb在最大正弯矩的在最大正弯矩的c截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为校核最大压应力校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样，要比较力一样，要比较c、b两个

25、截面。两个截面。c截面上最大压应力发生在上边缘，截面上最大压应力发生在上边缘，b截面上的最大压应力发生在下边缘。因截面上的最大压应力发生在下边缘。因mc 和和y1分别大于分别大于mb与与y2，所以最，所以最大压应力应发生在大压应力应发生在c截面上，即截面上，即:mpa9 .33pa109 .3310573. 0072. 0107 . 2c6531max, cyimzc由以上分析知该梁满足强度要求。由以上分析知该梁满足强度要求。 . . 合理配置梁的荷载和支座合理配置梁的荷载和支座5-4 梁的合理设计梁的合理设计2max125. 00qlmmac时当2max0214. 0207. 0qlmmml

26、acb时当. . 合理选取截面形状合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数wz增大。 由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩iz和弯曲截面系数wz如下：图a所示截面34cm343 cm7452zzwi，图b所示截面34cm215 cm7171zzwi，图c所示截面34cm86 cm690zzwi，图d所示截面432 745 cm 343 cmzziw， (2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料(例如建筑用钢)制成

27、的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用t形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hod2(c) hbzyo(a) . . 合理设计梁的外形合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁等强度梁(beam of constant strength)。. 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力(1) 矩形截面梁矩形截面梁5-5 梁横截面上的切应力梁横截面上

28、的切应力yzyhbsf两点假设：1. 各点处的切应力与剪力fs方向一致；2. 各点处的切应力沿界面宽度均布。sfdx从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。a1b1dcd1c1a1fsmfs+ dfsm+ dmxyzdxbababh取隔离体：列平衡方程：0:xf n1n2 1dabhzxyyy1dxa*dt210nndtdtbdxa*对对z轴的静矩轴的静矩n1n2 1dabhzxyyy1dxa*dt*111*1ndddaazzazzmyaaimmyasii*221*1(d)ndddddaazzazzmmayaimmmmyasii 其中：*d1*azays将以上各式代入平衡方程bisf

29、bisxmzzzz*s*dd得bisfzz*s 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力 必与 互等，从而亦有bisfzz*s矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1ad式中，fs为横截面上的剪力；iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力fs垂直的截面尺寸)；sz*为横截面上求切应力 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。*d1*azays 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。222111*42dd*yhbybyaysahyz22s22s4242yhifyhbbifzzb

30、hdy1yyzoy12*22()()2224zhyhb hsbyyy或者：afbhfbhhfihfz23231288ss32s2smax可见： 1. 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处(y=0):平均切应力的1.5倍。22s42yhifz(2) 工字形截面梁工字形截面梁1. 腹板上的切应力disfzz*s22*22222 222yhdhbyyhdyhhbszddddddd其中 可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。2. 在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：ddhbdifz2smin 对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给出

31、的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。*max, zzsixxsi2s*max,smax222dddhdhbdifdisfzzz3. 翼缘上的切应力(推导过程可略） 翼缘横截面上平行于剪力fs的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于fs的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力fs的90%以上。(3) 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示： 1. 由于d r0，故认为切应力 的大小和方向沿壁厚d 无变化； 2. 由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；(a) 3. 根据与y轴的对称关系可知： (a) 横截面上与y轴相交的各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。从而有afrfrrfisfzzss0s3020s*max2222ddddd式中， a=2r0d为整个环形截面的面积。(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：认为离中性轴z为任意距离y的水平直线kk上各点处的切应力均汇交于k点和k点处切线的交点o ，且这些切应力沿y方向的分量y相等。(a)因此可