数理方程课件：4_1格林公式及其应用

1、14.1 4.1 格林公式及其应用格林公式及其应用4.1.1 4.1.1 球对称解球对称解本章我们将介绍用本章我们将介绍用格林格林(Green)(Green)函数法函数法求解求解第四章第四章 格林函数法格林函数法拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题的要点与步骤，的要点与步骤，把拉普把拉普拉斯方程第一边值问题拉斯方程第一边值问题的解通过的解通过格林函数格林函数以积以积分的形式表示出来。分的形式表示出来。这里，我们首先介绍这里，我们首先介绍三维三维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的球对称解球对称解。0 zzyyxxuuu2,cossinrx ,sinsinry ,222zyxr,arctanxyur

2、xy作球坐标变换作球坐标变换xxxrxuuruuxxxxrxxrururu222xxxxxxrxxxrrxxuuruuuruu222现在我们介绍现在我们介绍三维三维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的球对称解球对称解。0zzyyxxuuu,cosrz ,arccos222zyxzz由复合函数微分法则由复合函数微分法则3我们可以把我们可以把三维三维拉普拉斯方程拉普拉斯方程变为如下的形式变为如下的形式0zzyyxxuuu. 0sin1sinsin112222222ururrurrr(1)(1)(rUu )(rUu ,求方程求方程(1)(1)的的球对称球对称的解的解( (即即不不依赖于依赖于的解的解),),

3、 此时上述方程此时上述方程(1)(1)可简化为可简化为, 02drdUrdrd21crcU),0( r21,cc, 0, 121ccrU10),0( r它的解为它的解为其中其中为任意常数。为任意常数。若令若令则可得则可得通常称它为通常称它为三维三维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解。),0( rrU1ln0类似可得，类似可得，二维二维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解),0( rrU10三维三维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解)(0 r尤其在研究尤其在研究三维三维拉普拉斯方程中，拉普拉斯方程中，基本解基本解起着起着非常重要的作用。非常重要的作用。.ln01 r, 01 r注

4、意，注意，54.1.2 4.1.2 格林公式格林公式格林公式是格林公式是奥奥- -高公式高公式的直接推论：的直接推论：设设),(zyxP),(zyxR),(zyxQdzRyQxP)(,) ),cos(),cos(),cos(dSznRynQxnPdndS是以足够光滑的曲面是以足够光滑的曲面 为边界的有界为边界的有界区域，区域，是在是在上上连续，在连续，在内有连续偏导数的任意函数，内有连续偏导数的任意函数， 则成立则成立如下的如下的奥奥- -高公式高公式(3)(3)其中其中是体积元素，是体积元素， 是是的外法线方向，的外法线方向，上的面积元素。上的面积元素。是是6dzRyQxP)(,) ),co

5、s(),cos(),cos(dSznRynQxnP(3)(3),(zyxuu ),(zyxvv ,xvuP且在且在内具有内具有上是连续的，上是连续的，,zvuR,yvuQvdudzvzuyvyuxvxudSznzvynyvxnxvu),cos(),cos(),cos(设函数设函数和和以及它们的所有以及它们的所有一阶偏导数在一阶偏导数在连续的所有二阶偏导数。连续的所有二阶偏导数。在公式在公式(3)(3)中，中， 令令则得：则得：dSnvu)(dSnvudzRyQxP)(,) ),cos(),cos(),cos(dSznRynQxnP(3)(3),(zyxuu ),(zyxvv ,xvuP且在且在

6、内具有内具有上是连续的，上是连续的，,zvuR,yvuQvdu dzvzuyvyuxvxu设函数设函数和和以及它们的所有以及它们的所有一阶偏导数在一阶偏导数在连续的所有二阶偏导数。连续的所有二阶偏导数。在公式在公式(3)(3)中，中， 令令则得：则得：dSnvu n其中其中表示外法向导数。表示外法向导数。8dzRyQxP)(,) ),cos(),cos(),cos(dSznRynQxnP(3)(3),(zyxuu ),(zyxvv ,xvuP且在且在内具有内具有上是连续的，上是连续的，,zvuR,yvuQvdu,dzvzuyvyuxvxu设函数设函数和和以及它们的所有以及它们的所有一阶偏导数在

7、一阶偏导数在连续的所有二阶偏导数。连续的所有二阶偏导数。在公式在公式(3)(3)中，中， 令令则得则得格林第一公式格林第一公式：dSnvu(4)(4)222222zyx其中其中是三维拉普拉斯算子。是三维拉普拉斯算子。9vdu,dzvzuyvyuxvxu则得则得格林第一公式格林第一公式：dSnvu(4)(4)vu,udv,dzvzuyvyuxvxudSnuv(5)(5).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)在式在式(4)(4)中，交换函数中，交换函数的位置，得的位置，得由由(4)(4)减去减去(5)(5)，则得，则得格林第二公式格林第二公式：),(zyxuu ),(zyxvv 在在内有二阶

8、连续偏导数，内有二阶连续偏导数，和和都是成立的。都是成立的。公式公式(6)(6)对于在对于在上有一阶连续偏导数的任意函数上有一阶连续偏导数的任意函数10补充补充1 1 平面上的格林公式平面上的格林公式设设DC),(yxP),(yxQCD DDdyQxP)(CdSynQxnP,),cos(),cos(dndSC是以足够光滑的曲线是以足够光滑的曲线 为边界的有界为边界的有界区域，区域，是在是在上上连续，在连续，在内有连续偏导数的任意函数，内有连续偏导数的任意函数， 则成立则成立如下如下公式公式(3(3) )其中其中是面积元素，是面积元素， 是是的外法线方向，的外法线方向，C上的弧长元素。上的弧长元

9、素。是是为此，利用已知结论：为此，利用已知结论：11),(yxuu ),(yxvv ,xvuPD且在且在内具有内具有CD 上是连续的，上是连续的，,yvuQ设函数设函数和和以及它们的所有以及它们的所有一阶偏导数在一阶偏导数在连续的所有二阶偏导数。连续的所有二阶偏导数。在公式在公式(3(3) )中，中，令令则得：则得：DdyQxP)(CdSynQxnP,),cos(),cos(3(3) )Dvdu,DdyvyuxvxuCdSnvu(4(4) )12Dvdu,DdyvyuxvxuCdSnvu(4(4) )vu,在式在式(4(4) )中，交换函数中，交换函数的位置，得的位置，得Dudv,Ddyvyu

10、xvxuCdSnuv(5(5) )CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) )由由(4(4) )减去减去(5(5) )，则得，则得平面上的格林公式平面上的格林公式：),(yxuu ),(yxvv CD 在在D内有二阶连续偏导数，内有二阶连续偏导数，和和都是成立的。都是成立的。公式公式(6(6) )对于在对于在上有一阶连续偏导数的任意函数上有一阶连续偏导数的任意函数134.1.3 4.1.3 调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式我们利用我们利用格林公式格林公式导出调和函数的积分表达式导出调和函数的积分表达式.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMMu如果函数如果函数 在

11、在上有一阶连续偏导数，上有一阶连续偏导数，(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)则则内内调和调和，且在且在,)()()(202020110zzyyxxrMM ,),( 0000zyxM(7)(7)其中其中14,)()()(112020200zzyyxxrMM.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(7)(7)(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)vu0MK.1rv ,0MK0Mv证证 在公式在公式(6)(6)中，令中，令 为为调和函数调和函数，且取，且取因为函数因为函数在点在点处变为无穷大，处变为无穷大，故对区域故对区域不能直接应用格林第

12、二公式不能直接应用格林第二公式(6).(6).但是，如果在但是，如果在区域区域0M内挖去一个以内挖去一个以为心，为心，充分小正数充分小正数为为半径的球半径的球则在剩下的区域则在剩下的区域中函数中函数就是连续可微的了。就是连续可微的了。15,)()()(112020200zzyyxxrMM.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(7)(7)(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)证证0MKu应用公式应用公式(6)(6)得得在区域在区域上对上述的调和函数上对上述的调和函数rv1和和,11)11(0dSnurrnudurruMK(9)(9)0MK其中其中是球是球的

13、球面。的球面。16,)()()(112020200zzyyxxrMM.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(7)(7)(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)证证, 01r, 0u,11)11(0dSnurrnudurruMK(9)(9)化为化为0MK因为在区域因为在区域内，内，于是式于是式(9)(9)dSnurrnu11. 011dSnurrnu(10)(10)17rr121rrn1,12udSdSrnu211,44122uuu.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)dSnurrnu11. 011dSnurrnu(10)(

14、10)在球面在球面上上由此可得由此可得u其中其中 是函数是函数在球面在球面上的平均值。上的平均值。18,41udSrnudSnudSnur11dSru1rdSu1duMK01)div(01MKud, 0.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)dSnurrnu11. 011dSnurrnu(10)(10)在球面在球面上上另一方面，由于另一方面，由于在球面在球面上上奥高公式的奥高公式的散度形式散度形式19,41udSrnu, 01dSnur.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)dSnurrnu11. 011dSnurrnu(10)(

15、10)于是将于是将代入代入(10)(10)式可得式可得dSnurrnu11. 04u现在令现在令, 0u由于由于),(lim00Muu 由上式就可得到由上式就可得到调和函数调和函数 的的积分表达式积分表达式(8)(8)。补充补充2 2 二维情形下调和函数的积分表达式二维情形下调和函数的积分表达式uCD 如果函数如果函数 在在上有一阶连续偏导数，上有一阶连续偏导数，CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) )则则D内内调和调和，.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu且在且在(8(8) ),)()(lnln2020110yyxxrMM ,),(DyxM 000(

16、7(7) )其中其中21vu0MKD.1lnrv ,0MK0Mv证证 在在(6(6) )中，令中，令为为调和函数调和函数，且取，且取因为函数因为函数在点在点处变为无穷大，处变为无穷大，D故对区域故对区域不能直接应用格林公式不能直接应用格林公式(6(6).).但是，如果在但是，如果在D区域区域0M内挖去一个以内挖去一个以为心，充分小正数为心，充分小正数为为半径的圆半径的圆则在剩下的区域则在剩下的区域中函数中函数就是连续可微的了。就是连续可微的了。CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) ).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) ),)()(1ln1l

17、n20200yyxxrMM(7(7) )22证证0MKDu应用公式应用公式(6(6) )得得在区域在区域上对上述的调和函数上对上述的调和函数rv1ln和和CCdSnurrnu,1ln1ln0(9(9) )C0MK其中其中是圆是圆的圆周。的圆周。CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) ).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) ),)()(1ln1ln20200yyxxrMM(7(7) )23证证CdSnurrnu1ln1ln. 01ln1lnCdSnurrnu(10(10) )CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) ).)(1ln1ln)(2

18、1)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) ),)()(1ln1ln20200yyxxrMM(7(7) )CCdSnurrnu,1ln1ln0(9(9) )24Crr1lnr1rn1ln,1CCudSdSrnu11ln,221uuu在圆周在圆周上上由此可得由此可得u其中其中 是函数是函数C在圆周在圆周上的平均值。上的平均值。.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) )CdSnurrnu1ln1ln. 01ln1lnCdSnurrnu(10(10) )25,21lnCudSrnuCCdSnudSnur1ln1lnCdSru1ln01lnMKu

19、d, 0另一方面，由于另一方面，由于C在圆周在圆周上上C在圆周在圆周上上.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) )CdSnurrnu1ln1ln. 01ln1lnCdSnurrnu(10(10) )26于是将于是将代入代入(10(10) )式可得式可得. 02u现在令现在令, 0u由于由于),(lim00Muu 由上式就可得到由上式就可得到二维情形下二维情形下，调和函数，调和函数 的的积分表达式积分表达式(8(8) )。.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) )CdSnurrnu1ln1ln. 01ln1lnC

20、dSnurrnu(10(10) ),21lnCudSrnuCdSnur01lnCdSnurrnu1ln1ln274.1.4 4.1.4 调和函数的基本性质调和函数的基本性质.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)设函数设函数它在它在上有一阶连续偏导数，上有一阶连续偏导数，),(zyxu证证则则内的内的调和函数调和函数，是区域是区域, 0dSnu性质性质1 1(12)(12)n其中其中 是区域是区域是是的外法线方向。的外法线方向。u只要在只要在(6)(6)中取中取的边界，的边界，为调和函数，为调和函数， 取取, 1v即得

21、公式即得公式(12).(12).284.1.4 4.1.4 调和函数的基本性质调和函数的基本性质.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6).41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)( (平均值定理平均值定理) )设函数设函数)(Mu内内调和调和，在区域在区域0M内内是区域是区域a为半径的球面，为半径的球面，的任一点。的任一点。 若若a0M为中心、为中心、是以是以此球完全落在区域此球完全落在区域的内部，的内部， 则则把公式把公式(8)(8)应用到球面应用到球面a上，得上，得证证294.1.4 4.1.4 调

22、和函数的基本性质调和函数的基本性质.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6).41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)由于由于证证 把公式把公式(8)(8)应用到球面应用到球面a上，得上，得,1141)(0dSnurrnuMuadSnura1dSnuaa1. 0利用性质利用性质1 1304.1.4 4.1.4 调和函数的基本性质调和函数的基本性质.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6).41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)证证,)(dSnurrnuMua 11410dSrnua1另一方面另一方面dSrua21dSrrua1,12audSa(13)(13)式得证。式得证。4.1.4 4.1.4 调和函数的基本性质调和函数的基本性质.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6).41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)设函数设