不等式与不等关系课经典实用

1、第三章 不等式3.1 不等关系与不等式第1课时 不等关系与比较大小长短长短轻重轻重实际生活中实际生活中: :大小大小高矮高矮探究点探究点1 1 用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系在数学中，我们怎样来表示不等关系？在数学中，我们怎样来表示不等关系？提示：用不等式表示提示：用不等式表示. .1.1.右图是限速右图是限速40 km/h40 km/h的路标，的路标， 指示司机在前方路段行驶时，指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度应使汽车的速度v v不超过不超过40 km/h40 km/h， 写成不等式就是：写成不等式就是：_._.v40 km/hv40 km/h一、请看下面现实生活的例子一

2、、请看下面现实生活的例子: :2.2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f应不少于应不少于2.52.5 ，蛋白质的含量蛋白质的含量p p应不少于应不少于2.32.3，写成不等式组为写成不等式组为. . f2.5%f2.5%p2.3%p2.3%某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距行驶过程中，同一车道上的车间距d d不得小于不得小于10 m10 m，用不，用不等式表示为等式表示为( () )b b【即时练习即时练习】将实际的不等关系写成对应的不

3、等式时，应将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中注意实际问题中关键性关键性的文字语言与数学符号间的文字语言与数学符号间的正确转换的正确转换.文字语言文字语言大于大于小于小于大于等于大于等于小于等于小于等于数学符号数学符号文字语言文字语言至多至多至少至少不少于不少于不多于不多于数学符号数学符号【提升总结提升总结】 如果如果ab是正数，那么是正数，那么ab；如果如果ab等于零，等于零，那么那么a=b；如果；如果ab是负数，那么是负数，那么a0，因此因此x2x x2. .作差，变作差，变形，判断形，判断【变式练习变式练习】作差比较法的步骤是：作差比较法的步骤是：1. 1. 作差；作差；

4、2. 2. 变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）变形：配方、因式分解、通分、分母（分子） 有理化等；有理化等；3. 3. 判断符号；判断符号；4. 4. 作出结论作出结论【规律总结规律总结】【易错点拨易错点拨】1若若b0，则，则ab的值的值()a大于零大于零 b小于零小于零c等于零等于零 d不能确定不能确定【解析解析】b0，ab0，ab0.a a2 2. .设设m=xm=x2 2，n=x-1n=x-1，则，则m m与与n n的大小关系为的大小关系为 ( () )a amnmnb bm=nm=nc cmn m b bb b b b, ,b b c ca a c c（对称性（对称性) )( (

5、传递性传递性) )( (可加性可加性) )( (3 3) ) a a b ba a+ +c c b b+ +c c； a+bca+b+(-b)c+(-b)ac-b.由性质（由性质（3 3）可得：）可得： 一般地说，不等式中任何一项可以改变符号一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边后移到不等号的另一边. .( (可乘性可乘性) )(4),0;a b cac bc ,0;a b cac bc 明明如如下下：因因ac-bc =(a-b)c,ac-bc =(a-b)c,又又因因ab,所ab,所以以a-b0.a-b0.所所以以c0，c0，(a-b)c0,故(a-b)c0,故acbc;

6、acbc;c0, (a-b)c0,故c0, (a-b)c0,故acbc.acb0, cd0acbd；( (同向不等式的可乘性同向不等式的可乘性) )(5) ab, cda+cb+d;（同向不等式的可加性）（同向不等式的可加性）( (可开方性可开方性) )(7) a b0nna b ,nn,n1;nn(8) ab0a b,nn,n2.( (可乘方性可乘方性) )判断对错：判断对错：2222(1)若ab, 则acbc;(2)若ab, 则ac bc;(3)若ababb;11(4)若ab ;abba(5)若ab.ab【即时练习即时练习】（3 3）对，）对，22a b,a ab;a b,b b ;（4

7、4）对，）对，. ，即1a b 0;ab111111a bababbaab（5 5）错，）错，2 3如-3-20, .32（1 1）错，若）错，若 则c0,acabbabb2 2. . 不等式的性质是证明不等式和解不等式的不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件中的条件. .【规律总结规律总结】cccc例例1 1 已已知知 a b0,cb0,c . .abab1 1a a b b 0 0, ,所所以以a ab b 0 0, , 0 0. .a ab b1 11 1于于是是a a b b，a ab ba ab b1

8、11 1即即 . .b ba ac cc c由由c c . .a a为为证证：b b明你还有其你还有其他证明方他证明方法吗？法吗？探究点探究点2 2 不等式的性质的应用不等式的性质的应用证明：证明： 还可以利用作差法还可以利用作差法. . .)( ababcabacbcbcac因为, 0, 0 cba又. 0)( ababc所以. bcac所以设设xa0，则下列不等式一定成立的是，则下列不等式一定成立的是()ax2axa2bx2axa2cx2a2ax dx2a2axb b【解析解析】xa0，x2a2.x2axx(xa)0，x2ax.又又axa2a(xa)0，axa2.x2axa2. 【变式练习

9、变式练习】例例2 2 a a已已知知12a 60, 15 b36,12a 60, 15 b36,求求a-ba-b的的取取值值范范围围. .b b，15b36,所15b36,所以以-36 -b -15.-36 -b -15.又又因因为为12a60,所12a60,所以以12-36a-b60-15，12-36a-b60-15，所所以以-24a-b45.-24a-b45.11112a6011112a60因因为为,所,所以以，36b1536b1536b1536b151a1a所所以以 因因为为3 3解解：4.b，cd，且，且cd0，则，则()aadbc bacbccacbd dacbd【解析解析】ab，cd，acbd，故选，故选c.cd 1.1.不等式的基本性质；不等式的基本性质；2.2.不等式基本性质的应用不等式基本性质的应用. .3.3.不等式的基本性质列表不等式的基本性质列表性质性质 具体名称具体名称 性质内容性质内容 特别提醒特别提醒 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） 对称性对称性 传递性传递性 可加性可加性 可乘性可乘性 ababab,bcab,bcabab_ _ _ _ abc0 abc0 注意注意c c的符号的符号 babc ac a+cb+c a+cb+c acbc acbc a