人教版高中数学选修2-3 122组合(一)

1、 从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列A An n = n(n-1)(n-2)= n(n-1)(n-2)(n-m+1(n-m+1) )m m 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 A An nm m= =(n-m)(n-m)n n复习复习 （1 1）高二（高二（1 1）班从甲）班从甲. .乙乙. .丙丙. .三名学生中选三名学生中选2 2名，名，有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?看题思考 （2 2）从从1.2.3.1.2.3.三个数字中选两个数字，能构成多三个数

2、字中选两个数字，能构成多少个不同的集合少个不同的集合? ? 探讨上面两个问题与前面讲的排列问题有何探讨上面两个问题与前面讲的排列问题有何区别？有何联系？区别？有何联系？法法1 1 分两步分两步第二步选出副旗手第二步选出副旗手 从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中选两名同学升旗丁四名优秀团员中选两名同学升旗, ,并指定正旗手并指定正旗手, ,副旗手副旗手, ,共有多少种选法共有多少种选法? ?法法2 2 分两步分两步第二步确定正副旗手第二步确定正副旗手问题问题 从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中选两名同学丁四名优秀团员中选两名同学升旗升旗, , 共有多少种选法共有多

3、少种选法? ?组合组合温故知新第一步选出正旗手第一步选出正旗手第一步选出两个旗手第一步选出两个旗手14A13A24C22A发现发现问题问题 组合组合：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素并个元素并成一组成一组, ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个组个元素的一个组合合两个组合的元素完全相同为相同组合n n个不同元素个不同元素 0mn，组合与元素的顺序无关，排列与元素的顺序有关组合数组合数：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有组个元素的所有组合的个数合的个数, ,叫做从叫做从n n个不同元素中

4、取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的组合数组合数表示方法表示方法C Cmmn n问题推广问题推广组合组合) (m、n是自然数从从2,3,4,5,62,3,4,5,6中任取两数构成指数中任取两数构成指数, ,有多少个有多少个不同的指数不同的指数? ?从从2,3,4,5,62,3,4,5,6中任取两数相加中任取两数相加, ,有多少个不同有多少个不同的结果的结果? ?十个人相互通了一封信十个人相互通了一封信, ,共有多少封信共有多少封信? ?十个人相互通了一次电话十个人相互通了一次电话, ,共打了多少个电话共打了多少个电话? ?定义巩固排列排列组合组合排列排列组合组合甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 丙

5、丙 丁丁甲甲 丁丁 第一步四名同学中选出两个旗手共有第一步四名同学中选出两个旗手共有= = 2 2 种不同的方法种不同的方法所以总共有所以总共有6 62=122=12种不同的方法种不同的方法探求组合数1甲甲 乙乙甲甲 丙丙乙乙 丙丙乙乙 丁丁丙丙 丁丁乙乙 丙丙 丁丁24C24A22A= =24C= =24A22A第二步确定旗手顺序共第二步确定旗手顺序共6 6种不同的方法种不同的方法24C= =22A从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中选两名同学升旗丁四名优秀团员中选两名同学升旗, , 共有共有多少种选法多少种选法? ?乙乙 甲甲排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式=Amn=

6、(n-1)(n-2) (n-m+1)n!(n-m)!CnmAmnAmm=(n-m)!n!m!=(n-1)(n-2) (n-m+1)m!注注：0mn(1)(2)m、n是自然数是自然数(3)0!=1Ann=n!(4)Cn0=1排列：排列：arrangement组合：组合：combination310710CC ；练习：计算两个组合数问题问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？怎样对这一结果进行解释？ 从从1010个元素中取出个元素中取出7 7个元素后，还剩下个元素后，还剩下3 3个元素，个元素，就是说，从就是说，从1010个元素中每次

7、取出个元素中每次取出7 7个元素的一个组个元素的一个组合，与剩下的合，与剩下的(10-7)(10-7)个元素的组合是一一对应的。个元素的组合是一一对应的。因此，从因此，从1010个元素中取个元素中取7 7个元素的组合，与从这个元素的组合，与从这1010个元素中取出个元素中取出(10-7)(10-7)个元素的组合是相等的个元素的组合是相等的)(31071010710CCC即：2021-11-2问题问题2:2: 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素后，个元素后，剩下剩下n n m m个元素因为从个元素因为从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的每一个

8、组合，与剩下的个元素的每一个组合，与剩下的n n m m个元素的个元素的每一个组合一一对应，所以从每一个组合一一对应，所以从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的组合数，等于从这个元素的组合数，等于从这n n个元素中取出个元素中取出n n m m个元素的组合数个元素的组合数. . mn mnncc 即即: :组合数性质组合数性质1：mnnmnCC说明：说明：2、 为了使性质为了使性质1在在mn时也能成立，规定时也能成立，规定10nC1 1、为简化计算，当、为简化计算，当m 时，通常将计算时，通常将计算 改改为计算为计算 2nmnCmnnC3xynnCC 、xyxyn或或证明证明2

9、021-11-2组合数性质组合数性质2引例引例一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中含有一个黑球，有多个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中不含黑球，有多少种个球，使其中不含黑球，有多少种取法？取法？372738CCC从引例中可以发现一个结论：从引例中可以发现一个结论：对上面的发现对上面的发现(等式等式)作怎样解释？作怎样解释？1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从

10、从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出 个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC组合数性质组合数性质2cccmnmnmn11组合数性质组合数性质2：证明证明说明：说明：1 1、公

11、式特征：下标相同而上标差、公式特征：下标相同而上标差1 1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数上标较大的相同的一个组合数 2 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要时，我们会看到它的主要应用应用 例例 计算计算198200( 1 ) ;C329999( 2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC22002001991990021 C 31001009998161700321 C 332238

12、8888562()CCCCC 例例1 1 一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级学员，他们名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是比赛时一个足球队的上场队员是1111人，问：人，问：（1 1）这位教练从这）这位教练从这1717名学员中可以形成多少种学员名学员中可以形成多少种学员上场方案？上场方案？（2 2）如果在选出）如果在选出1111名上场队员时，还要确定其中的名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？111712376C=11111017111716136136CCCC理论迁移 例例2 2 平面内有平面内有1010个不同的点，以其中每两个点个不同的点，以其中每两个点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？的有向线段共有多少条？21045C=21090A=理论迁移例例3 3 在在100100件产品中有件产品中有9898件合格品，件合格品， 2 2件次品，从件次品，从这这100100件产品中任意抽取件产品中任