概率论中心极限定理

1、下下回回停停一、问题的提出一、问题的提出二、中心极限定理二、中心极限定理第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的提出一、问题的提出 由上一节大数定理由上一节大数定理,我们得知满足一定条件我们得知满足一定条件的随机变量序列的算数平均值依概率收敛的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但但我们无法得知其收敛的速度我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限本节的中心极限定理可以解决这个问题定理可以解决这个问题. 在实际中在实际中, 人们发现人们发现 n 个相互独立同分布个相互独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且并且 n 越大越大,近似程度越好

2、近似程度越好. 定理定理4.6 林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理 nnXYniin 1二、中心极限定理二、中心极限定理且具有数学期望与方差且具有数学期望与方差设随机变量设随机变量X1, X2, Xn相互独立相互独立, 服从同一分布服从同一分布,则随机变量则随机变量E Xi , D Xi 2 0 i=1, 2, n 的分布函数的分布函数Fn x 对于任意对于任意 x 满足满足 txYPxFtxnnnnde21limlim22 渐渐近近服服从从标标准准随随机机变变量量时时当当nYn,2 21nnANXYniin, nANXnXnii21,1 .1 , 0,1 , 0ANYNn 记

3、为记为正态分布正态分布注注 1 近似程度越好近似程度越好.n越大越大,3 的和近似服从正态分布的和近似服从正态分布.定理定理4.6表明表明n个相互个相互独立同分布的独立同分布的随机变量随机变量一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压Vk .105 的近似值的近似值求求 VP ,100201 kkVV记记上上服服从从均均匀匀分分布布，且且都都在在区区间间解解 由于由于Vk U 0, 10 , 易知易知 20, 2, 112100, 5 kVDVEkk k=1, 2, 20 . 设它们是相互独立的随机变量设它们是相互独立的随机变量,例例1由由林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中

4、心极限定理知知10351001210020520201 VVYkkn 10351001051035100105VPVP近似服从标准正态近似服从标准正态 101510351001VP 348. 0387. 01 分布分布N 0, 1 , 于是于是 txpnpnpYPxnntde211lim22 设随机变量设随机变量Yn服从二项分布服从二项分布B n, p , 则其标准化则其标准化随机变量随机变量 pnpnpYYnn 1的分布函数的极限为的分布函数的极限为定理定理4.7 棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理证证 令令 niAiAiXi, 2, 1, 0, 1 不发生不发生次试验次试验第第发生发生

5、次试验次试验第第X1, X2, Xn独立独立, 同时服从同时服从B 1, p 分布分布, 且且 niinXY1由于由于 E Xi p, D Xi p 1 p i=1, 2, n , xpnpnpYPnn1lim xpnpnpXPniin1lim1txtde2122 证毕证毕.由由定理定理4.6得得注注 1 定理定理4.7表明正态分布是二项分布的极限表明正态分布是二项分布的极限 3 实际应用中当实际应用中当n很大时很大时,分布分布也称为也称为“二项分布的正态近似二项分布的正态近似”.2 与与“二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似”相比较相比较, 两种近两种近似似都要求都要求n很大很大. 1 如果

6、如果p很小而很小而np不太大时不太大时, 采用泊松近似采用泊松近似; 2 如果如果 np 5 和和 n 1 p 5 同时成立时同时成立时,采用正态近似采用正态近似.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.某车间有某车间有200台机床台机床,它们独立地工作着它们独立地工作着, 开工开工解解 设设率均为率均为0.6, 开工时耗电均为开工时耗电均为1000W, 问供电所至少问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产这个车间不会因供电不足而影响生产. 台机床不工作台机床不工作

7、第第台机床工作台机床工作第第iiXi, 0, 1且且表示工作的机床台数表示工作的机床台数则则,2001iiXX i=1, 2, 200, .6 . 0 ,200 BX例例3 999. 04 . 06 . 00200200 rkkkkCrXP 4 . 06 . 02006 . 020000PrXP 4 . 06 . 02006 . 02004 . 06 . 02006 . 0200rX问题是求问题是求r, 使使由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理, 有有 4 . 06 . 02006 . 02004 . 06 . 02006 . 0200r1 . 348120查标准正态分布

8、表得查标准正态分布表得 r 999. 04812032.1748120 rr所以所以 r=141.该结果表明该结果表明, 若供电若供电141KW, 那么由于供电那么由于供电不足而影响生产的可能性小于不足而影响生产的可能性小于0.001. 林林德德贝贝格格列列维维中中心心极极限限定定理理棣棣莫莫佛佛拉拉普普拉拉斯斯定定理理中心极限定理中心极限定理独立同分布情形独立同分布情形二项分布的正态近似二项分布的正态近似内容小结内容小结例例1-1 设随机变量设随机变量X1, X2, Xn相互独立相互独立, 且且 Xi 在区间在区间1, 1 上服从均匀分布上服从均匀分布 i=1, 2, n , 试证试证当当

9、n充分大时充分大时, 随机变量随机变量 niniXnZ121近似服从近似服从正态分布并指出其分布参数正态分布并指出其分布参数.证证 记记), 2 , 1(,2niXYii )()(2iiXEYE )(iXD 22)()()(iiiYEYEYD 24)()(iiYEXE 1144d21)( iiixxXE因因为为,51 备用题备用题因为因为X1, X2, Xn相互独立相互独立, 所以所以Y1, Y2,Yn相互独立相互独立, 根据根据定理定理4.6 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布故故Zn近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nN2315

10、1)( iYD 所以所以,454 某汽车销售点每天出售汽车数服从参数某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为为2的泊松分布的泊松分布. 若一年若一年365天都经营汽车销售天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出求一年中售出 700辆以上汽车的概率辆以上汽车的概率.解解 记记Xi为第为第i天出售的汽车数量天出售的汽车数量, .730,2 YDYEXDXEii知知由由.36521为一年的总销量为一年的总销量XXXY 利用利用林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理, 可得可得 7307307001 7001700 YPYP .8665. 01

11、1. 11 则一年售出则一年售出700辆以上汽车的概率近似为辆以上汽车的概率近似为0.8665.例例1-2 某餐厅每天接待某餐厅每天接待400名顾客名顾客, 设每位顾的设每位顾的消费额消费额(元元)服从服从(20, 100)上的均匀分布上的均匀分布, 且顾客且顾客的消费额是相互独立的的消费额是相互独立的. 试求试求: (1)该餐厅每天的平均营业额该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐该餐8厅每天的营业额在平均营业额厅每天的营业额在平均营业额 760元元的概率的概率.4001 iiXY而该餐厅每天的营业额为而该餐厅每天的营业额为解解 设设Xi为第为第i位顾客的消费额位顾客的消费额,Xi U 20,

12、100 . 所以所以 E Xi 60, D Xi 1600 3. 例例1-3(1)该餐厅每天的营业额为该餐厅每天的营业额为2400060400)()(4001 iiXEYE(2)利用利用林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理, 可得可得1)31600400760(2)76024000760( YP90. 01)645. 1(2 这表明这表明:该餐厅每天的营业额在该餐厅每天的营业额在23240到到24760之间的概率近似为之间的概率近似为0.90. 某人钓鱼平均每次钓到某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差方差2.25kg2. 问问: 至少钓多少次鱼至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少才能

13、使总重量不少200kg的概率为的概率为0.95?解解 设此人共钓设此人共钓n次次, 各次钓到的鱼各次钓到的鱼的重量为随机变量的重量为随机变量Xi , 则则 E Xi 2, D Xi 2.25. niiXZ1令令, 则则E Z 2n, D Z 2.25n.根据根据林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理, Z近似服从近似服从N 2n, 2.25n . 例例1-4 nnnnZPZP25. 2220025. 22200010023375. 1 nn.95. 025. 22200 nn645. 15 . 12200 nn查表得查表得. 即即n满足方程满足方程解方程解方程, 得得n=113.1

14、2. 因此因此, 取取n=114即可即可. 则有则有每人每年交每人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡, 公司公司付付给家属给家属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017, 试求保险试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解解 设设 X 为一年中投保老人为一年中投保老人 ,170 npXE其中其中 n 10000, p 0.017. 且且 983. 01701 pnpXD的死亡数的死亡数, 则则 X B n, p 例例3-1 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加, 20010000100

15、00 XP pnpnppnpnpXP12001 321. 2983. 0170170XP01. 0)321. 2(1 保险公司亏本的概率为保险公司亏本的概率为由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理知知 200 XP遭受了遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次已知每遭受一次海浪的冲击海浪的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶若船舶解解 将船舶每遭受一次海浪的将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验冲击看作一次试验, 并假设各并假设各次试验是独立的次试验是独立的. 在在900

16、00次次波浪冲击中纵摇角大于波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X, 则则X是是一个随机变量一个随机变量, 且且 X B 90000, 1/3 . 分布律为分布律为kXP kkk 90000323190000.90000, 1, k次纵摇角次纵摇角大于大于 3 的概率是多少？的概率是多少？例例3-2所求概率为所求概率为3050029500 XPkkkk 900003050029501323190000直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(30

17、500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000 pn3050029500 XP 225225.9995. 0 解解 令令X表示同时要外线的表示同时要外线的电话机数电话机数, 则则 XB 1000, 0.05 , 且且 np 50, np(1p) 47.5.根据根据棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理, X近似服近似服N 50,47.5 . 假定安装假定安装 k 条外线条外线, 可使可使 某单位有某单位有1000部内线电话部内线电话, 每部电话打每部电话打外线的概率为外线的概率为0.05, 问需要装多少外线

18、问需要装多少外线, 才能保才能保证每部电话打外线时证每部电话打外线时, 即时接通的概率不小于即时接通的概率不小于0.95? 95. 0 kXP例例3-3.95. 05 .47505 .47505 .4750 kkXP,645. 15 .4750 k查表得查表得 1.645 0.95. 由单调性由单调性, 应有应有解得解得 k 61.3. 因此因此, 安装安装62条外线即可条外线即可.则有则有假设对于一个学生而言假设对于一个学生而言, 来参加家长会的来参加家长会的家长人数是一个随机变量家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长和名家长和2名家长来参加的概率分别为名家长

19、来参加的概率分别为 0.05、0.8和和0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布.(1) 求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过 450 的概率的概率;(2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解 (1) 以以 Xk k=1, 2, 400 记记第第k个个学生来参加会议的家长数学生来参加会议的家长数.例例3-415. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易易知知 400,2, 1,19. 0

20、)( kXDk ,4001 kkXX而而则则Xk的分布律为的分布律为 19. 04001 . 14004001 kkX随随机机变变量量 19. 04001 . 1400 X由由林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理知知近似服从正态分布近似服从正态分布N 0, 1 . 450 XP 19. 04001 . 140045019. 04001 . 1400 XP 147. 119. 04001 . 14001 XP1357. 0)147. 1(1 于是于是340 YP 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400YP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400 YP(2) 以以Y记有记有1名家长来