(完整word版)四边形题型归纳,推荐文档

1、四边形题型归纳四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例 1】如图，矩形纸片ABCD ，AB=2 ， ADB=30° ，沿对角线BD 折叠（使 ABD 和EBD 落在同一平面内） ，则 A 、 E 两点间的距离为_.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例 2】如图，已知矩形ABCD 的边 AB=2 ，ABBC ，矩形 ABCD 的面积为S，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为_.DFCDCEFAEBAB123.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例 3】如图，梯形纸片ABCD ， B=60°， AD BC， AB=

2、AD=2 ， BC=6 ，将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为AE ，则 CE=_.AD BBEC4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例 4】如图，折叠矩形的一边CD ，使点 C 落在 AB 上的点 F 处，已知 AB=10cm ， BC=8cm ，则 EC 的长为 _.DCEAF B1/20四边形题型归纳5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例 5】如图，在梯形ABCD 中，DC AB ，将梯形对折，使点D、C 分别落在AB 上的 D、C 处，折痕为 EF，若 CD=3cm ，EF=4cm ，则 AD +BC =_cm.DCEFAD'C'B6.使特殊四边形一

3、顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例 6】如图，已知 EF 为正方形 ABCD 的对称轴，将 A 沿 DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的 G 点处，则 DKG=_.ADKEGFBC7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例 7】如图，有一块面积为1 的正方形ABCD ， M 、N 分别为 AD 、 BC 边的中点，将C点折至 MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结 PQ.(1) 求 MP 的长度 ;求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13 .MADPQBNC8.两次不同方式的折叠【例 8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、 BD 为折痕，折叠后AB与EB在同一

4、条直线上 ,则 CBD 的度数为（）DA'A.大于 90°B.等于 90° C.小于 90°D.不能确定CE 'ABE2/20四边形题型归纳【变式 1】在矩形ABCD中 AB=4， BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（ 1）如图，把矩形 ABCD沿着对角线 BD折叠得 EBD， BE交 CD于点 F，求 S BFD；（ 2）如图，折叠矩形 ABCD，使 AD与对角线 BD重合，求折痕 DE的长；（ 3）如图，折叠矩形 ABCD，使点 D与点 B 重合，求折痕 EF 的长；（4）如图， E 是 AD上一点，把矩形ABCD沿着 BE折叠，若点A

5、 恰好落在CD上的点 F 处，求 AE的长。3/20四边形题型归纳题型二：动点问题【例 9】如下图，直角梯形ABCD 中， AD BC ，AB=cm,AD=24， BC=26，B=90 °，动点P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿CB 以 3的速度向点B 运动 P、Q 同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，问：（ 1）=时，四边形PQCD是平行四边形（ 2）是否存在一个 t 值，使 PQ把梯形 ABCD分成面积相等的两部分， 若存在请求出 t 的值 .（ 3）当 为何值时，四边形 PQCD为等腰梯形(4) 连接

6、DQ，是否存在值使 CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值 .4/20四边形题型归纳【变式 2】如图，在梯形ABCD中， AD BC, B=90o, AD=8cm， AB=6 cm， BC=10 cm，点 Q从点 A 出发以 1 cm/s 的速度向点 D运动，点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度在线段 BC间往返运动， P、Q两点同时出发，当点 Q到达点 D时，两点同时停止运动。当t=s时，四边形的面积为 36;PCDQ若以 P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值 ; 当 0<t <5 时，若 DQDP, 当 t为何值时， DPQ是等腰三角形.5/20四边形

7、题型归纳题型三：开放探究题【例 10】观察控究，完成证明和填空如图，四边形ABCD 中，点 E、 F、 G、 H 分别是边AB 、BC 、 CD、 DA 的中点，顺次连接E、 F、G、 H，得到的四边形EFGH 叫中点四边形（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形 ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形

8、的形状由原四边形的什么决定的？6/20四边形题型归纳【例 11】阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分， 我们将 “把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是。（2）三角形的“二分线”可以是。（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.7/20四边形题型归纳【变式 3】定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点（1）如图

9、 2，与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（ 2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（ 3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（）任意凸四边形一定只有一个准内点（）若是任意凸四边形的准内点，则8/20四边形题型归纳【变式 4】如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形 ”如.图 1矩形 ABEF 即为 ABC 的“友好矩形 ”显.然，当 ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形 只有一个 .(1)

10、仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.(2) 如图 2，若 ABC 为直角三角形， 且 C=90°，在图 2 中画出 ABC 的所有 “友好矩形 ” ，并比较这些矩形面积的大小 .(3) 若 ABC 是锐角三角形，且 BC>AC>AB ，在图 3 中画出 ABC 的所有 “友好矩形 ”，指出其中周长最小的矩形并证明之 .AACFEA(1)BB(2)CBC(3)9/20四边形题型归纳课后作业1、将 n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1 ，A2 ，.，An 分别是正方形的中心，则 n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A2A3A4A1A52

11、、如图 1，在正方形ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的点，HAEBFCGD ，连接 EG 、 FH ，交点为 O 如图 2，连接 EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论； 将正方形ABCD 沿线段 EG 、 HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3 的方式拼接成一个四边形若正方形ABCD 的边长为 3cm ， HAEBFCGD1cm ，则图 3 中阴影部分的面积为 _ cm 2 DGCD GCFFHOHAEBAE B图1图2图 310/20四边形题型归纳3、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形

12、 ABCD是正方形，点E 是边 BC的中点AEF=90°，且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AME ECF，所以 AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B，C外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（ 2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC的延长线上（除 C

13、 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由11/20四边形题型归纳答案：【例 1】解析：如图，矩形 ABCD 的对角线交于点F，连接 EF， AE ，则有 AF=FC=EF=FD=BF ADB=30° ， CFD= EFD= AFB=60° ， AFE ， AFB 都是等边三角形，有 AE=AF=AB=2 【例 2】解析：矩形 ABCD 的边 AB=2 ，ABBC ，矩形 ABCD 的面积为 S， AD= s ，2（ 1）如图 1，折痕分别与 AB 、DC 交于 F、 E 点，连结 D

14、F，矩形 ABCD 沿直线 EF 对折， AF= 1 AB=1 ，2即新矩形的对角线的长度为1s2 42（ 2）如图 2，折痕分别与 AD 、BC 交于 E、 F 点，连结 AF ，矩形 ABCD 沿直线 EF 对折，即新矩形的对角线的长度为1s2644【例 3】解析：梯形ABCDAD BC纸片折叠，使点B与点D重合 ABE ADE12/20四边形题型归纳四边形 ADEB 为平行四边形 AD=BE=2 BC=6 CE=6-2=4【例 4】答案： 5cm【例 5】解：根据题意，可知EF 是梯形 ABCD 的中位线所以 AB+CD=2EF=8 ，则 AB=5 AD'+BC'=AB-

15、CD=5-3=2 （ cm）【例 6】解：依题意，得AD=DG=2DF ，在 Rt DFG 中，由 DG=2DF ，得 DGF=30° ，由 AD EF 得， ADG= DGF=30° ，根据折叠的性质，得KDG= 1 ADG=15° ，2在 Rt DGK 中， DKG=90° - KDG=75° 【例 7】（ 1）解：连接 BP、 PC，由折法知点P 是点 C 关于折痕 BQ的对称点BQ 垂直平分 PC， BC=BP 又 M 、 N 分别为 AD 、 BC 边上的中点，且ABCD 是正方形，BP=PC BC=BP=PC PBC 是等边三角形P

16、N BC 于 N， BN=NC=1BC=1 ， BPN= 1× BPC=30°，222PN=3 ， MP=MN-PN=232213/20四边形题型归纳【变式 1】（ 1）设 DF=x ，在矩形 ABCD 中， DC AB ， CDB= ABD ，由折叠知， ABD= DBF FDB= FBD FB=FD =x CD=AB=4 ， CF=4-x ，在 RtBCF 中， CF2+CB2=FB25 2即：（ 4-x） 2+32=x2， x=4S BFD 1152152DF?BC××32246（ 2）设 AE=EF=x ，在 Rt BEF 中， BE=4-x ，

17、 BF=DB-AF3 x2+22=（ 4-x ） 2 x=2（ 3）连接 DE， BF ， EF DB ，且平分 DB OB=OD DC AB FDO= EBO ， DFO= BEO DOF BOE OF=OE 四边形DEBF 是平行四边形BD EF平行四边形DEBF是菱形 DE=EB ， AE=4-DE 在 RtADE 中， DE2=AD2+（ 4-DE ） 2DE= 2582513×=×5×EF8 2 EF= 154【例 9】（ 1）=6（ 2）当 AP+BQ=25 时， PQ 把梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，即 t+(26-3t)=25, 解得： t

18、=14/20四边形题型归纳（3）如图，过点D 作 DEBC ，则 CE=BC-AD=2当 CQ PD=4 时，四边形 PQCD 是等腰梯形即 3 一（24一 ）=4 =7(4)=2,【变式 2】（ 1） t=2（2） P 未到达 C 点时 P 到达 C 点并返回时8-t= 10-2t8-t= 2t-10t= 2t= 6(3) 如图，若 PQ=PD过 P作 PEAD 于 E,则 QD= 8-t,15/20四边形题型归纳【例 10】（ 1）证明：连接BD E、H 分别是 AB 、AD 的中点， EH 是 ABD 的中位线EHBD ，EHBD同理得 FGBD ，FGBDEH FG， EH FG四边形

19、 EFGH 是平行四边形（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形（ 3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的【例 11】解：（ 1）菱形的一条对角线所在的直线。（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线）。（2）三角形一边中线所在的直线。16/20四边形题型归纳（3）方法一：取上、下底的中点，过两点作直线得梯形的二分线（如图 1）方法二：过 A、D作AEBC，DFBC，垂足E、F，连接 AF、DE相交于 O，过点 O任意作直线即为梯形的二分线（如图2）【变式 3】 （ 1）如图 2，过点作，平分，同理是四边形的准内点（ 2）平行四边形对角线的交点就是准内

20、点， 如图 3（ 1） .17/20四边形题型归纳或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（ 2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点如图4.（3）真；真；假（各1 分，若出现打“”“×”或写“对”“错”同样给分）【变式 4】（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合， 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2）此时共有2 个友好矩形，如图的BCAD 、 ABEF 易知，矩形BCAD 、 ABEF 的面积都等于ABC 面积的 2 倍， ABC 的 “友好矩形 ”的面积相等（ 3）此时共有 3 个友好矩形，如图的 BCDE、 CAFG及 ABHK，其中的矩形 ABHK的周长最小证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为 S，设矩形 BCDE、CAFG及 ABHK的周