曲边梯形的面积汽车行驶的路程经典实用

1、1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程 这些图形的面积该怎样计算？这些图形的面积该怎样计算？ 例题（阿基米德问题）：求由抛物线例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 archimedes，约公元前约公元前287年年约公元前约公元前212年年问题问题1 1：我们是怎样计：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率算圆的面积的？圆周率是如何确定的？是如何确定的？问题问题2 2：“割圆术割圆术”是是怎样操作的？对我们有怎样操作的？对我们有何启示？何启示？x xy y1.1.了解定

2、积分的基本思想了解定积分的基本思想“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思的思想想. .（重点）（重点）2.“2.“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思想的形成与求和符号的思想的形成与求和符号. .（难点）（难点） 曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)y=f(x)所围成的图形称所围成的图形称为曲边梯形为曲边梯形 如何求曲边梯如何求曲边梯形的面积？形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyo对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲

3、边” （即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲) )探究点探究点1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 直线直线x x 1 1，y y 0 0及曲线及曲线y y x x2 2所围成的图形（曲边所围成的图形（曲边梯形）面积梯形）面积s s是多少？是多少？为了计算曲边梯形的面积为了计算曲边梯形的面积s s，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形，x yo1方案方案1 1方案方案2 2方案方案3 3y=xy=x2 2解题思想解题思想“细分割、近似和、渐逼近细分割、近似和、渐逼近” 下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程xoy1 图图 中，所有小

4、矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 s 的的不足估计值不足估计值，则有则有1s1s1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221s观察以下演示，注意当分割加细时，矩观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩

5、形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.2 2观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演

6、示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积

7、的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.（1 1）分割）分割把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间：个小区间：11 2i 1 in1 n0,nn nnnnnii 11 x nnn 过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，轴的垂线

8、，从而得到从而得到n n个小曲边梯形，它个小曲边梯形，它们的面积分别记作们的面积分别记作12ins, s, , s, , s. 每个区间长度为每个区间长度为1niiss（2 2） 近似代替近似代替2ii 1i 11sf() x()nnn （3 3）求和）求和n12nii 1nn2i 1i 122223sssss ,i-1 1i-11 f()()nnnn1 012(n1) n (i=1,2,n)(i=1,2,n)（4 4）取极限）取极限n n当当分分割割无无限限变变细细，即即x x 0 0( (亦亦即即n n + +) )时时，1 11 11 11 1s s = = l li im m1 1-

9、-1 1- -= =3 3n n2 2n n3 31 1即即所所求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为. .3 331 (n1)n(2n1)n6111(1)(1)3n2n演示演示我们还可以从数值上看出这一变化趋势我们还可以从数值上看出这一变化趋势思考思考1 1：已知物体运动路程与时间的关系已知物体运动路程与时间的关系, ,怎样求物体的怎样求物体的运动速度？运动速度？探究点探究点2 2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程思考思考2 2：已知物体运动速度为已知物体运动速度为v v( (常量常量) )及时间及时间t t，怎么，怎么求路程？求路程？1sd2sd2( )2v tto ov t t 12ggggg

10、3sdjsdnsd1 1n n2 2n n3 3n nj jn nn - 1n - 1n n4sdslimsnnotv12tv265.1图图例例 弹簧在拉伸过程中弹簧在拉伸过程中, ,力与伸长量成正比力与伸长量成正比, ,即力即力 f(x)=kx (kf(x)=kx (k是常数是常数,x,x是伸长量是伸长量).).求弹簧从平衡位置求弹簧从平衡位置拉长拉长b b所做的功所做的功. .将区间将区间0,b n等分等分:解：解：w=fx,f(x)=kxw=fx,f(x)=kxbxn 分点依次为：分点依次为：012120,.,(1),.nnbbxxxnnnbxxbn,ni ii i+ +1 1i i在在

11、分分段段 x x , ,x x 所所用用的的力力约约为为k kx x，所所做做的的功功: :iiibwkxxkxn则从则从0到到b所做的功所做的功w近似等于近似等于:111000nnniiiiiibbwkxxknn总结提升：总结提升： 求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的曲边梯形面积对应的曲边梯形面积的方法的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （3 3）求和求和 （4 4）取极限取极限 0()xn或 21.( ),12.( ). ( ). ( ).0iif xxnniffffnnn1nabcd当当 很很大大时时，函函数数在在区区间间上上的的值值，可可以以用用（ ）近近似似代代替替. . c c111“”( ), .( ).().( )(,).2f xabcdiiiiiiiix xf xf xfx x. .在在 近近似似代代替替 中中，函函数数在在区区间间上上的的近近似似值值等等于于（）只只能能是是左左端端点点的的函函数数值值只只能能是是右右端端点点的的函函数数值值可可以以是是该该区区间间内内任任一一点点的的函