大学物理：振动与波讲座

1、)cos(tAx221kAE 基本概念基本概念1.振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。2.周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。3.频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数。频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数。4.相位：表示谐振动运动状态的最重要的物理量。相位：表示谐振动运动状态的最重要的物理量。5.简谐运动的振动方程：表示振动物体位置随时间变化简谐运动的振动方程：表示振动物体位置随时间变化的的函数。函数。 6、简谐振动物体的能量：、简谐振动物体的能量：机械振动与机械波机械振动与

2、机械波 典型题形典型题形1、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期2、已知振动方程求某些物理量、已知振动方程求某些物理量3、已知某些条件给出简谐振动方程、已知某些条件给出简谐振动方程4、同方向、同频率简谐振动的合成问题、同方向、同频率简谐振动的合成问题1、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期1、如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮、如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为连接一质量为 m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自

3、由振动。的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的倔强系数为已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为，滑轮的半径为R，转动惯量，转动惯量J。（。（1）证明）证明物体作简谐振动；（物体作简谐振动；（2）求物体振动周期；（）求物体振动周期；（3）设）设t=0时，弹簧无时，弹簧无伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。(23)00kxmgtdxdmTmg221JRTT)(21解：（解：（1 1）各物体受力）各物体受力，分别列受力方程，有，分别列受力方程，有)(02xxkTRtdxd220/dd222xRJmktx22/ RJmk0dd222xtx)2/(2

4、1mmmkkRJmT222联立上五式得联立上五式得令令所以：所以：所以，系统振动的角频率为所以，系统振动的角频率为（2）则）则0kmgA tRJmkkmgx2cos（3）所以，所以，2、一质点作简谐振动，速度最大值、一质点作简谐振动，速度最大值vm = 5 cm/s，振幅，振幅A = 2 cm若令速度具有正最大值的那一时刻为若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动，则振动表达式为表达式为_ ）SI)(212/5cos(1022tx3、一物体作简谐振动、一物体作简谐振动,其速度最大值其速度最大值Vm=3cm/s,其振幅其振幅A=2cm.若若t=0时时,物体位于平衡位置且向物体位于平衡位

5、置且向x轴的负方向运动。求：轴的负方向运动。求：（1）振动周期）振动周期;（2）加速度的最大值）加速度的最大值;（3）振动方程的）振动方程的表达式。表达式。(24)解解: (1) vm = A = vm / A =1.5 s-1 T = 2 / 4.19 s (2) am = 2A = vm = 4.510-2 m/s2 (3) 21)215 . 1cos(0.02 x t 4、一弹簧振子作简谐振动，振幅、一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的倔强，如弹簧的倔强系数系数k=2.0N/m，所系物体的质量，所系物体的质量 m=0.50kg，试求：（，试求：（1）当）当动能和势能相等时，

6、物体的位移；（动能和势能相等时，物体的位移；（2）设）设t=0时，物体在时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？正最大位移处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？（在一个周期内）（在一个周期内）(25)224121kAkx 1022Ax002Ttx2cos2 . 0（1）（2）由题意的得：）由题意的得：代入把102x时当102x)87.(8t时当102x)85.(86t4、同方向、同频率简谐振动的合成问题、同方向、同频率简谐振动的合成问题 1、两个同方向的简谐振动的振动方程分别为、两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1=0.04cos2(t+1/8) (SI) x2=0

7、.03cos2(t+1/4) (SI) 求：合振动方程。求：合振动方程。（26）)42(cos104 2-1 tx)22(cos103 2-2 tx m 106.48 10)4/2/cos(2434-2222A rad 1.12)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctg按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 合振动方程为合振动方程为 x = 6.4810-2 cos(2 t+1.12) (SI) 2、两个同方向的简谐振动曲线如图所示合振动的振幅、两个同方向的简谐振动曲线如图所示合振动的振幅为为_，合振动的振动方程

8、为，合振动的振动方程为_ x t O x1(t) x2(t) A1 A2 -A1 -A2 T |A1 A2| )212cos(12tTAAx)2cos(xtAy2221AuAI22217、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离是一个波长。是一个波长。8、波速：单位时间某种一定的振动状态、波速：单位时间某种一定的振动状态(或振动相位或振动相位)所传播的距离称为波速。所传播的距离称为波速。9、简谐波的波动方程：、简谐波的波动方程：10、平均能量密度：在一个周期内，介质单位体积内的能、平均能量密度：在一个周期内，介质单位体积内的能量的平均值。量的平

9、均值。11、平均能流密度：平均在单位时间内通过垂直于波的传、平均能流密度：平均在单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的能量。播方向的单位面积的能量。典型题形典型题形1、已知波动方程求某些物理量、已知波动方程求某些物理量2、已知某些条件给出波动方程、已知某些条件给出波动方程 3、波的干涉、驻波问题、波的干涉、驻波问题5、已知波动方程求某些物理量、已知波动方程求某些物理量2、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波动表达式为轴正向传播，波动表达式为 4/)/(cosuxtAy则则x1 = L1处质点的振动方程是处质点的振动方程是_x2 = -L2处质点的振动和处质点的振动和x1 =

10、L1处质点的振动的相位差为处质点的振动的相位差为2 1 =_ )/(cosuxtAy)/cos(uxtA1、一平面简谐波的表达式为、一平面简谐波的表达式为 其中其中x / u表示表示_； x / u表示表示_；y表示表示_ 波从坐标原点传至波从坐标原点传至x处所需时间处所需时间, x处质点比原点处质点滞后的振动处质点比原点处质点滞后的振动相位相位, t时刻时刻x处质点的振动位移处质点的振动位移 4/)/(cos11uLtAyuLL)(213、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速轴正方向传播，波速u = 100 m/s，t = 0时刻的波形曲线如图所示可知波长时刻的波形曲线如图所示

11、可知波长= _； 振幅振幅A = _； 频率频率= _ 0.8m 0.2m 125Hz5. 一振幅为一振幅为10 cm，波长为，波长为200 cm的一维余弦波。的一维余弦波。 沿沿x 轴轴正方向传播，波速为正方向传播，波速为100 cm/s，在，在t = 0时原点处质点开始时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动。从平衡位置沿正位移方向运动。 求：（求：（1）原点处质点的）原点处质点的振动方程；（振动方程；（2）在）在x = 150 cm处质点的振动方程。处质点的振动方程。（28） A = 10 cm， = 2 n n = s-1，n n = u / = 0.5 Hz 初始条件：初始条件：

12、y(0, 0) = 0 )cos(0tAy0v210)21cos(10. 0ty23)2321cos(10. 0ty)2cos(10. 0t解：解：(1) 振动方程：振动方程： 得得 故得原点振动方程：故得原点振动方程： x = 150 cm处相位比原点落后处相位比原点落后所以所以6、已知某些条件给出波动方程、已知某些条件给出波动方程)4cos(3 . 0ty x y x y u u A A O D D 1、一平面简谐波在介质中以速度、一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s自左向右传播自左向右传播已知在传播路径上的某点已知在传播路径上的某点A的振动方程为的振动方程为 另一点另一点D在在

13、A点右方点右方9米处米处 (1)若取若取x轴方向向左，并以轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波的表为坐标原点，试写出波的表达式，并求出达式，并求出D点的振动方程点的振动方程(2) 若取若取x轴方向向右，以轴方向向右，以A点左方点左方5米处的米处的O点为点为x轴原点，轴原点，再写出波的表达式及再写出波的表达式及D点的振动方程点的振动方程 2、图示一平面余弦波在、图示一平面余弦波在t = 0 时刻与时刻与t = 2 s时刻的波形图已知波时刻的波形图已知波速为速为u，求：，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；坐标原点处介质质点的振动方程； (2) 该波该波的波动表达式的波动表达式 x (m

14、) O 160 A y (m) 80 20 t=0 t=2 s 2A cos0Asin00Av21)214cos(2/nAA21441n)218/cos(0tAy 解：解：(1) 比较比较t = 0 时刻波形图与时刻波形图与t = 2 s时刻波形图，可知时刻波形图，可知此波向左传播在此波向左传播在t = 0时刻，时刻，O处质点处质点 ， 又又t = 2 s，O处质点位移为处质点位移为 所以所以 n n = 1/16 Hz 振动方程为振动方程为 (SI) (2) 波速波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波长波长 = u / /n n = 160 m 波动表达式波动表达式 21)1

15、6016(2cosxtAy(SI) 3. 已知一沿已知一沿x 轴负方向传播的平面余弦波，在轴负方向传播的平面余弦波，在t=1/3s时的时的波形如图，且周期波形如图，且周期T=2s。（。（1）写出）写出O点的振动方程；点的振动方程；（2）写出该波的波动方程；（）写出该波的波动方程；（3）写出）写出Q点的振动方程；点的振动方程；（4）Q点离点离O点的距离多大点的距离多大（27）PQOX105m4 . 02TT2)cos(1 . 00ty0,31,2vtAy21)3cos(00)cos(1 . 0y0t解：（解：（1）A=0.1m，令令令令代入代入 由旋转矢量法由旋转矢量法 )4 . 02cos(1

16、 . 0y0 xt)6cos(1 . 0yt307, 0 xy可得令（2）（3）令）令（4） )cos(1 . 0Qty0,31, 0vty 由旋转矢量法由旋转矢量法 6QuuxuxtOQ)(另解： 5、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为轴的负方向传播，波长为 ，P处质处质点的振动规律如图所示点的振动规律如图所示 (1) 求求P处质点的振动方程；处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；求此波的波动表达式； (3) 若图中若图中 21d求坐标原点求坐标原点O处质点的振动方程处质点的振动方程 xOPd t (s) 0 -A 1 yP (m) )4/2cos(tAyP)

17、21cos(tA)4(2cosdxtAy)21cos(0tAy解：解：(1) 由振动曲线可知，由振动曲线可知，P处质点振动方程为处质点振动方程为 (2) 波动表达式为波动表达式为 (3) O处质点的振动方程处质点的振动方程 3. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正向传播。振幅为正向传播。振幅为A，频率为，频率为n n，传播速度为，传播速度为u。（1）t=0时，在原点时，在原点O处的质元由平衡位置向处的质元由平衡位置向x 轴正方向运动，试轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（写出该波的波动方程；（2）若经界面反射的波的振幅和入射波的）若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求出在振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求出在x轴上因入射波和轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。反射波叠加而静止的各点的位置。（31）0)2cos(0tAy0n230)232cos(tAy)2232cos(xutAy解：（解：（1）对）对O点点)2212cos()43(2432232cosxtAxutAy)2cos()212cos(2)2212cos()2232cos(21xtAxtAxutAyyy（2）反射波动方程为）反射波动方程为驻波方程为：驻