§3.3几何概型

1、1 3.3 几何概型一、 教学目标1知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：构成事件 A 的区域长度（面积或体积）P（A）_；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.2.过程与方法（1） 发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解 决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2） 通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.3.情

2、感态度与价值观本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯.二、 教学重难点1.教学重点：几何概型的概念、公式及应用；2.教学难点：如何选择正确的测度计算几何概型的概率.三、 教学过程问题引入问题1：若A二1,2,3,4,5,6,7,8,9，则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是 多少？变式：若A=（0,9,则从A中任意取出一个数，这个数不大于3的概率是多少？ 新课讲解冋题2:下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜你认为甲获胜的概率分别是多少？1转盘（1）时，甲获胜的概率为；转盘23（2）时，甲获胜的概率为35思考1:甲获胜的概率与

3、区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗？甲获胜的可能性是由 什么决定的？指针停下时指向的每个点可以看成是一个基本事件，所有基本事件构成（红色）圆周,甲获胜所包含的基本事件即字母B所在扇形区域内的（红色）弧，故概率即圆弧长度与圆周长比思考2:还能用其他测度来求概率吗？1.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型特点：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个每个基本事件出现的可能性相等概率公式：/、构成事件 A 的区域长度（面积或体积）p（A）-全部结果所构成的区域长度（面积或体积）概率题目解题的关键是:

4、分析清楚是古典概型还是几何概型 古典概型与几何概型的异同相同：基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型中基本事件有有限个，几何概型中基本事件有无限多个几何概型的解题关键是选择正确的测度，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何问题，利用公式求解.变式：若A=（0,9，则从A中任意取出一个数，这个数不大于3的概率是多少？例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率解:设打开收音机的时刻为X，则0乞X,故试验的全部结果所构成的区域长度为60;记事件A：等待的时间不多于10分钟，则50空X乞60 ,故事件A的区域长度为60-50

5、=10;1即“等待的时间不超过10分钟”的概率为丄.6配套练习：1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？变式：（1）任意位置剪断，剪得的两段绳长恰好相等的概率是多少？（2）任意位置剪断，剪得的两段绳长不相等的概率是多少?2在RT ABC，其中/CAB=60 在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？变式1:RTABC，其中/CAB=60，过直角顶点C在/ACB内 部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时 概率有多大？AC思考4:能否像练习2一样用来求概率？为什么?9-0思考3:如何构造对应的几何图形?由几何概型

6、的求概率公式得:P(A)二60 -5060MN3AB如右图可知，用线段比求概率，基本事件不等可能，故应选射线扫过的区域(或角度，或者弧长)变式2:如图，在厶ABC中，/CAB=60,CA=2, AB=5,在线段AB上任取一点D,则厶CAD为 钝角三角形的概率有多大？3.已知函数f (x) =x2 4x卫2，正数p在集合M上随机取值2(I)设M二x Z | 0：x乞5，求函数f (x)有零点的概率；(n)设M二x R |0：x乞5，求f (x) _ -1的概率例2:假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:008:00之间，如果把

7、“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A,那么事件A发生的概率为多少？思考5:该题需要几个变量？满足什么关系？ 设送报人到达家的时间为x，父亲离开家的时间为y,则6.5EX乞7.5,7乞y乞8思考6:若事件A发生，则x, y应满足什么关系？6.5乞x乞7.5,7乞y乞8, y _x思考7:你能画出上述不等式组对应的区域吗？配套练习：设直角三角形两直角边的长均是区间0,1上的随机数，则斜边的长小于1的概率？2.均匀随机数的产生思考&如何产生整数值随机数？抽签法，计算器的随机函数RANDI (a,b)，计算机的随机函数RANDBETWEEN (a,b)思考9:如何利用随机模拟方法计算概率

8、？将随机试验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生整数值随机数，统计符合事件A的编号个数，除以随机数的总数，就可以得到事件A发生的概率的近似值均匀随机数：如果X是区间a,b上的任何一个值，且是等可能的，那么称X服从a,b上的 均匀分布，X称为a,b上的均匀随机数思考10:计算机的随机函数RAND只能产生0,1上的均匀随机数，如何产生a,b上的均匀随机数？问1：设x 0,1，通过运算如何得到y 3,4?若y a,a T？y=x，3；y=x，a平移变换问2:设x 0,1，通过运算如何得到y 0,60?若y 0, b？y =60 xr y =bx伸缩变换结论：设x 0,1，要使y a,b，则

9、y = (b -a)x a例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于10分钟的概率打开收音机的时刻X是随机的，可以是060之间的任何一刻，并且是等可能的，X为0,60上的均匀随机数。思考11:如何用随机模拟求该事件概率？例3:在下图的正方形中随机撒一把豆子，则豆子落在圆内的概率？由几何概型公式得：圆的面积洛在圆中的豆子数，正方形的面积落在正方形中的豆子数思考12:能否用随机模拟的方法估计圆的面积？5例4:利用随机模拟方法计算由y =1和y =x2所围成的图形的面积.解：(1)如图，在坐标系中画出矩形(x=1,x=-1,y=1和y=0所围成的部分)(2)利

10、用计算机或计算器产生两组01区间的均匀随机数，a = RAND，b=RAND；(3)进行平移和伸缩变换，x = 2a -1，y= b；(4)数出落在阴影内的样本点数N1，以及在矩形内的点数N，由几何概型公式可得：S N1. _ N_ 2N1S矩N阴N矩N课堂练习书P140练习，P142习题3.3 A组1,2课堂小结1几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通 俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积；2如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那 么该试验可以看作是几何概型，通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几 何概型的概率公式求事件发生的概率；3.在区间a,b上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀 随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数；4利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)+a，可以产生任意区间a,b上的均匀随机数；5用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，