高职椭圆及其标准方程学案

1、椭圆及其标准方程学案 一、目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程二、教材分析1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程2难点：椭圆的标准方程的推导三、过程(一)椭圆概念的引入 “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆椭圆的定义：演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示

2、边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”(二)椭圆标准方程的推导1标准方程的推导 (1)建系设点以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为： (3)代数方程(4)化简方程原方程要移项平方，否则化简相当复杂；整理后，再平方得 为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义， (ab0)示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)

3、这里c2=a2-b22两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上(三)例题与练习例题 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程练习求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的几何性质学案 一、目标掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用二、教材分析1重点：椭圆的几何性质及初步运用2难点：椭圆离心率的概念的理解三、过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆

4、的标准方程是什么？ (二)几何性质1范围2对称性3顶点(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的 ，它们的长分别等于 (2)a、b的几何意义： 4离心率椭圆的离心率的定义： 离心率e的几何意义先分析椭圆的离心率e的取值范围：ac0， 0e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了(三)应用例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形 小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进

5、行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质练习：1求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=02的方程双曲线及其标准方程学案 一、目标掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导二、教材分析1重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程2难点：双曲线的标准方程的推导三、过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数

6、；(3)常数2a|F1F2|2椭圆的标准方程是什么？ (二)双曲线的概念定义：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记(三)双曲线的标准方程标准方程的推导：(1)建系设点取 为x轴， 为y轴(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合： (3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果 ，那么焦点在x轴上；如果 ，那么焦点在y轴上（注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上）(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是 不同于椭圆方程中

7、(四)练习与例题1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；双曲线的几何性质学案一、目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征二、教材分析1重点：双曲线的几何性质及初步运用2难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证三、过程(一)复习提问引入新课中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的标 类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质(二)类比联想得出性质(性质13)(三)问题之中导出渐近线(性质4) (四)顺其自然介绍离心率(性质5)变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的

8、开口就越开阔 (五)练习与例题1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程1已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-1442求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程作业答案：抛物线及其标准方程学案 一、目标掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程二、教材分析1重点：抛物线的定义和标准方程2难点：抛物线的标准方程的推导三、过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线今天我们将学习第

9、四种圆锥曲线抛物线，以及它的定义和标准方程课题是“抛物线及其标准方程” (二)抛物线的定义 (三)抛物线的标准方程四种情形中P0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)

10、4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=02根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)抛物线的几何性质学案 一、目标理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质抛物线中的弦、最值等问题二、教材分析1重点抛物线的几何性质及初步运用2难点：抛物线的几何性质的应用三、过程 (二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它

11、也可以无限延伸，但是没有渐近线(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为1注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了(三)应用举例例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值例3 过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直

12、线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2综合上述有y1y2=-p2又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆(四)练习1过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、

13、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值2证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点证明：可设抛物线方程与圆锥曲线有关的几种典型题 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，1圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|A、B两

14、点，旦|AB|=8，求倾斜角分析一：由弦长公式易解由学生演板完成解答为： 抛物线方程为x2=-4y， 焦点为(0，-1)设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k k=±1|AB|=-(y1+y2)+p=-(kx1-1)+(kx2-1)+p=-k(x1+x2)+2+p由上述解法易求得结果，由学生课外完成2与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；解(1)：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：