弹塑性断裂力学结课报告

1、弹塑性断裂力学在本文总共分四部分，第一部分断裂力学习题，第二部分为断裂力学在岩石方面的研究及应用，第三部分为断裂力学的学习总结，第四部分为个人总结及建议。一、断裂力学习题1、某一合金构件，在275回火时，600回火时，应力强度因子的表达式为，裂纹长度a=2mm，工作应力为。试按断裂力学的观点评价两种情况下构件的安全性。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P7）解：由断裂失稳判据K<Kc，临界条件K=Kc且a=2mm，工作应力，得在275回火时，得在600回火时，得由断裂准则可知，在275时KKc，即裂纹会发生失稳破坏；在600回火时K<Kc，即裂纹不会发生失稳破坏。2、 有一长50

2、cm、宽25cm的钢板，中央有长度2a=6cm的穿透裂纹。已知材料的KIc=95MPa，其屈服强度为=950MPa。试求裂纹起裂扩展时的应力。（工程断裂力学 郦正能 北京航空航天大学出版社 P51） 解：（1）不考虑塑性区修正，但考虑有限宽度修正（2） 考虑塑性区修正及有限宽度修正，当=3cm时，F=1.036此值很小，当略有增加时（例如考虑塑性的影响）F变化极小，故可认为F为常数，可应用式（2.102）解KI，得KI=296MPa从上面的计算结果，考虑塑性区修正以后，断裂应力并没有很大变化，只降低约1%。 3、 一尺寸很大的矩形薄板上有一长度为2a的裂纹。外加应力为=600MPa，已知薄板材

3、料的E=200GPa，MPa，=0.2mm。问允许的裂纹长度为多少？（工程断裂力学 郦正能 北京航空航天大学出版社 P154）解：（1）（2）（3） 因为 得到（4） 由得到 mm所以容许的裂纹长度为2=34.2mm。4、压力容器所用材料的强度极限=2100MPa，断裂韧度=38MPa，厚度与平均直径之比t/D=1/15，设有2a=3.8mm的纵向穿透裂纹，如图所示。试求破坏时的临界压力。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P42）2tDp11解：因为t/D=1/15远远小于1，按照断裂准则：= =按照材料力学中的第四强度理论： ， ， = = =65.6MPaP=323.3MPa5、 设有无

4、限长板条，高为2h，在无应力状态下，是上下边界产生位移，然后予以固定，有一半无限长裂纹，假设为平面应变情况，在处，u=0。试计算能量释放率和强度因子。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P54）解：对于平面应变问题，有，则，则应变能密度为：裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远处，应力近似为零。释放的应变能为：。能量释放率为：由于，强度因子为：6、 试求受单向均匀拉伸的“无限大”平板中斜裂纹的裂尖应力强度因子。（断裂力学 丁遂栋 机械工业出版社 P69）解：因为载荷与裂纹倾斜，故裂纹同时受到张开和错开两种作用，属于、复合型裂纹问题。取解析函数 于是 则 代入式 ，得于是 由上式知 若=90°

5、;则 若=0°则 再一次证明了裂纹线方向的载荷对裂尖应力强度因子无影响。7、有一对集中力P作用在上下裂纹面上如图示，应力函数，试分析裂纹扩展PyxbP2aao的稳定性。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P90）解：由应力函数，通过平移坐标=Z-a得，得对于给定载荷情况，,，而裂纹扩展情况稳定8、对于I型裂纹，应力强度因子为，已知，平面应力状态，试按照COD准则，分别根据Irwin的塑性区假设和Dugdale模型，画出临界裂纹长度随的变化曲线。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P100）解：根据Irwin的塑性区假设，临界裂纹长度，由平面应力状态分析得OIrwin假设曲线Dugda

6、le假设曲线根据Dugdale模型，临界裂纹长度由于<1，故作图如右： 9、 某种合金钢，在不同回火温度下，测得力学性能如下：375回火，MPa，=52MPa600回火，MPa，=100MPa设应力强度因子为,且工作应力试求两种回火温度下构件的容限裂纹尺寸c。（断裂力学 丁遂栋 机械工业出版社 P92）解：当时，对应的裂纹尺寸即为c，故对275回火，对600回火，从强度指标看，275回火温度的合金钢，其强度高于600回火温度的合金钢，但从断裂韧度指标看275回火温度的合金钢要比600回火温度下的合金钢低得多。事实上构件中0.9mm的裂纹是难以避免的，因此，从全面考虑，应该选用600回火温

7、度。10、设有无限长板条，高为2h，有一半无限长裂纹。在无应力状态下，上、下边界产生的位移，然后予以固定。及外设为平面应力状态，材料的弹性模量为E，上、下边界处，x方向的位移u不受约束，试选取适当的积分回路，计算J积分。（断裂力学 徐振兴 湖南大学出版社 P117）解：C1，C5上W=0.C1，C5上的积分为0C2，C4上C2，C4上的积分为0对于C3上的积分 因此即二、断裂力学在岩石方面的研究现状及应用尽管断裂力学在航空、船舶以及压力容器等方面得到了广泛的应用，并已经直接应于指导工程设计。但由于岩体结构与岩体力学性状的复杂性，人们往往忽略了岩体的脆性而只注重研究岩体的塑性，岩体断裂力学还处于

8、理论研究与实验室研究与工程解释等阶段，与直接指导岩体工程实践还有一段距离。目前岩体断裂力学的研究主要集中于两个方面，一方面是从岩石材料的角度，借用室内岩石力学试验与理论分析，研究岩体中的裂纹产生、发展以及复合现象。另一方面是结合现场调查，从裂纹（包括断层、节理等）的分布与裂纹形态研究其成因，并进而指导工程实践。不论哪个方面，岩体断裂力学的发展，离不开对岩体中缺陷的特性的研究、岩体中裂纹的断裂特性的研究。其中，岩体中裂纹的断裂强度因子的求解可以引用其它领域的研究成果（如断裂强度因子手册中直接引用），而裂纹的相互作用、缺陷的特性研究以及岩体的断裂判据成为了岩体工程断裂力学研究者的主要研究对象。在这

9、方面，也取得了很多的成果。2.1 岩石裂纹扩展的特点由于应力环境及工程形状的影响，围岩有可能处于受拉、压、剪及其组合状态，各种状态下裂隙的发展情况是不一样的。在受拉状态下，垂直于拉应力的方向的不连续面最容易产生扩展，而且一旦发生扩展，其扩展是不稳定的，即在保持外荷载不变的情况下，不连续面将继续扩展直到岩体发生整体破坏。在受压状态下，岩体中存在一个主控方向，处于该方向的不连续面最容易产生开裂。不连续面破坏时，在不连续面的尖端往往首先以某一角度产生翼裂纹（wing cracks）。翼裂纹为张拉破坏，其扩展方向发生变化并逐渐接近于与最大主应力平行的方向。除翼裂纹外，不连续面的端部还有可能出现次生裂纹

10、（secondary cracks）及分枝裂纹。次生裂纹为压剪破坏，其方向一般与原不连续面保持一致或者与翼裂纹的方向相反。次生裂纹形成后，可能在其端部又形成新的分枝裂纹，分枝裂纹一般也为张拉裂纹。各种裂纹的扩展造成岩体的最终破坏。岩体中更多出现的是综合拉剪与压剪状态，处于拉剪综合状态下的结构尖端将在其最大拉应力的方向发生破坏，其方向将逐渐向与最大拉应力方向垂直；而处于压剪综合作用下的不连续面尖端，按其所处的应力环境，有可能首先出现翼裂纹（低应力环境）或次生裂纹（高应力环境）。受压作用时，坚硬围岩多表现出脆性破坏。而且，不连续面的形成与扩展都是由微裂纹扩展而成，小型不连续面往往为张性不连续面，这

11、些张性不连续面的复合导致了宏观上的剪切型破坏。大量的研究表明，压剪断裂中，翼裂纹的形成与扩展是岩体破坏的主要方式，翼裂纹的形成与扩展为张拉破坏，而次生裂纹的形成与扩展为压剪破坏。由于岩石成份的不均匀性，翼裂纹一般绕过晶粒而呈现锯齿状，而次生裂纹则往往将晶粒切割，破坏面比较平直。文献对压剪作用下的不连续面的次生裂纹的起裂与扩展进行了很详细的研究，并提出了次生裂纹的破坏准则。许多研究者对压剪作用下翼裂纹扩展角度与扩展方向进行了大量的理论与实验研究，提出许多滑移型翼裂纹的开裂模型。结果表明，翼裂纹为稳定扩展，即其扩展一定长度后会停止下来。正因为次生裂纹是压剪破坏，因此，在裂纹尖端会形成压剪碎裂区，有

12、研究认为岩体不连续面的扩展是压剪碎裂区扩容而使其周边岩石受拉破坏的结果。2.2 岩体不连续面尖端应力强度因子的获取岩体不连续面是否会发生扩展，以及不连续面会往哪个方向扩展都与不连续面尖端的应力强度因子有关。因此，与其它断裂力学理论一样，在岩体断裂力学中，应力强度因子的计算非常重要。岩体断裂力学中不连续面应力强度因子的计算一般沿用理论断裂力学的结果。对于线弹性体，应力强度因子和载荷成线性关系。确定应力强度因子的方法可分为解析法、数值分析法和实验法。解析法又可分为复变函数法和积分变换法等，数值方法广泛采用的是有限单元法、边界元法和边界配置法。实验法中有光弹法、激光全息法 散斑干涉法等。在以上提的方

13、法中，解析法所能求解的问题范围是有限的，而数值方法则由于其适用性强、分析方便而得到较广泛的应用，并取得了很好的成果。在有限单元法中，可以利用奇异单元来模拟裂纹尖端的应力集中现象，如目前已经有通用有限元程序如 ANSYS 可以直接计算应力强度因子并且能满足一定的精度，从而使分析计算变得更加容易。其它如边界元法、边界配置法是一种半解析半数值方法，由于它只在边界上进行离散，因而使裂纹应力强度因子的计算变得更为方便，而且其结果精度也很高。2.3 岩体中裂纹的相互作用岩体中的不连续面数量往往是很巨大的，它们之间的贯通并进而形成宏观破坏面是岩体破坏的主要方式。在岩体断裂力学中，有大量的研究对裂纹之间的相互

14、作用进行研究。不连续面的存在使岩体呈现各向异性，不连续面的周围的应力场发生改变，因此，受力岩体中裂纹的应力强度因子必然要受到周围其它裂纹的影响。不连续面相互作用的研究有很多。研究表明，岩体中不连续面大小、各不连续面的相对位置关系对不连续面的应力强度因子影响很大，从而进一步影响裂纹的扩展方式与岩体的破坏方式。由于裂纹的存在使其周围产生应力集中与应力减弱区，因此在不连续面的周围，都存在对其它裂纹应力的加强区与削弱区，当其它裂纹处于应力加强区时，其应力强度因子将加大，而当裂纹处于应力削弱时，其应力强度因子将减小。裂纹的相对大小在岩体破坏中所起的作用是不同的，大尺寸裂纹对小尺寸裂纹有屏蔽作用，即当岩体

15、中存在不同尺寸的不连续面时，尺寸较大的不连续面更容易发生扩展。对于不连续面的相互作用，难点是不连续面尖端应力强度因子的求得。许多研究对不同形状、不同组合方式的不连续面的应力强度因子的求解提出了很多方法，得出了许多重要的结论。Y.P. Li 等利用改进的 Kachanov 方法来分析计算不同形状、不同分布形式的岩体不连续面之间的相互作用，从理论上为计算多裂纹相互作用下的应力强度因子提供了方法。但总体来说，理论解能解决的问题毕竟是有限的，这样就迫使人们寻求新的方法。其中最常用的是数值方法及半解析半数值方法。2.4 岩石断裂判据及裂纹的扩展方向综合受力状态下的裂纹起裂及扩展路径一直是令人关注的一个问

16、题。这些又与断裂判据相关。在综合应力环境下，裂纹的扩展准则有：（1） 最大周向应力准则（MTS） 该准则假设裂纹起裂始于裂纹尖端表面最大周向应力的方向。当裂纹应力强度因子达到其断裂韧度时，裂纹将会扩展。由此可以得出K Ic， KIIc之间存在如下关系：（2）M 准则 该准则认为裂纹沿应力三轴比最大的方向扩展； （3）最小应变能密度准则（S 准则） 该准则认为裂纹扩展方向为最小应变能方向；在这些准则的基础上，也有一些研究者结合具体的岩体问题提出一些改进的断裂准则。一般认为，由于岩石的抗拉强度远远小于其抗压/抗剪强度，岩石更容易发生受拉破坏，因此，对于拉/拉剪扩展，最大拉应力准则是适合的。压剪断裂

17、的扩展方式存在翼裂纹与次生裂纹，可以认为，翼裂纹的起裂与扩展基本满足最大拉应力准则。而在综合作用下的断裂判据则一般可以按下式来选取：2.5 岩体断裂力学与破坏区的研究对于围岩稳定性的研究，一般采用传统的弹塑性理论，即将进入塑性的岩体范围做为围岩的破坏区。因此，在选取适当的破坏准则与岩体破坏后的本构模型，即可分析出围岩中的破坏区形状与深度。但破损后的岩体的本构模型与破坏准则的选取却是一件很困难的事情。岩体损伤理论将岩体中的节理裂隙看成是岩体内部的初始损伤，通过引入损伤变量来描述受损岩体内部的力学行为。因此，可以用来模拟岩体中大量裂纹的作用。因此，将岩石断裂与损伤力学结合，是围岩稳定性研究的一个研

18、究新方向。许多研究已经在该领域取得了很大的成就。但如何将岩石的断裂与岩体的损伤本构方程建立联系，却还是一个没有很好解决的问题。一些研究者从岩体断裂的角度，来考虑围岩的破坏区，并进行了一些实验研究。得出了围岩破坏区以及不连续面的破坏方式与侧向压力以及不连续面分布之间的关系。这些研究为理解围岩的破坏方式提供了新的思路。三、断裂力学的基本概念3.1 断裂力学研究现状与进展断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件（荷载、温度、介质腐蚀、中子辐射等）作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构

19、的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。例如断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率、环境问题和应力腐蚀问题、动态断裂以及确定试验中高温和低温的影响，并且由于有了这些进展，在设计有断裂危险性的结构时，利用断裂力学对设计结果有较大把握。断裂力学研究的方法是：从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。断裂力学始于 Griffith（1921）的脆性材料的强度理论，他从能量的角度得出了物

20、体强度与材料性质及裂纹长度之间的表达式。然后是 Irwin（1957）提出了应变能释率 G与应力强度因子 K 的概念，并逐步进行了线弹性断裂力学的理论体系。对于大范围塑性材料，Dugdule（1960）提出的 COD 法，Rice（1968）提出的 J 积分原理，又为弹塑性断裂力学奠定了基础。断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。3.2 Griffith断裂判据 我们知道研究断裂的目的主要是防止构件断裂，这个任务长期以来人们已经积累了丰富的经验，建

21、立了许多强度理论条件:式中：根据外载计算的工作应力； 许用应力； 、由实验得到的不同材料的极限强度、屈服极限、持久极限； 、对应于、的安全系数；但是对于有裂纹的物体上述强度理论已经不再适用，为此本世纪二十年代英国著名的科学家，提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。能量释放率：指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。用符号表示。表面自由能：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。用符号表示。由此提出了著名的断裂判据： 假定为一材料常数，若此值大于或等于 ，就会发生断裂；若小于 ，则不发生断裂，此时

22、值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。3.3 能量平衡理论在Griffith弹性能释放理论的基础上，和按照热力学的能量守恒定律提出在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。 假设W为外界对系统所做的功，U为系统储存的应变能，T为动能，D为不可恢复的消耗能，则- 能量平衡理论可用公式表达如下假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展，则动能不变化，即dT/dt=0。若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积，则 ：其中：为裂纹总面积，为表面能。由上得Irwin -Orowan

23、断裂判据为： 此式包括塑性变形的带裂纹物体断裂判据。综上所述Irwin-Orowan断裂判据和Griffith断裂判据在本质上等价的，因为代表外界对系统做功的变化量，代表系统弹性能的变化量，所以为在裂纹尖端释放而使裂纹扩展的能量。因此就是Griffith能量释放率。3.4 应力强度因子3.4.1裂纹问题的三种基本类型a. 第一种称为张开型（opening mode）或拉伸型（tension mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向)。许多工程上常见的都是I型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。 b. 第二种裂纹型称为同平面剪切型（inplane shear

24、 mode）或者滑移型（sliding mode），简称II型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方向，另一个向负x方向。c. 第三种裂纹型称为反平面剪切型（antiplane shear mode），简称III型，裂纹面一个向正z方向，另一个向负z方向，属弹性力学空间问题。 图一：裂纹的三种基本类型 根据弹性力学的理论和方法，我们可以求出带裂纹体附近的应力场和位移场。下面是根据（椭圆孔口问题）的解析解，得到二维I型裂纹裂端的应力场恒为应变场为： 同样我们也可以得到II型和III型裂纹。对于II型和III型裂纹，裂端区的应力场和位移场的形式也是恒定的，而且其表达式与I型裂纹相似。我们发

25、现三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性。在工程实践中，应力总是有界的不可能达到无限大。受力物体中的应力达到一定的大小，材料就会屈服，再增大就会断裂。由于应力的奇异性这一明显的矛盾，使我们不能运用裂纹尖端处的应力数值来判断材料是否具有足够的强度。对于处于不稳定的扩展阶段，我们从上面二维I型裂纹裂端区应力场和应变场公式可得，其强度完全由值的大小来决定，因此我们定义为I型裂纹的应力强度因子。同样我们也可以得到II型和III型裂纹的应力强度因子和。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量

26、。3.4.2 利用应力强度因子提出的断裂判据实验表明当应力强度因子达到一个临界值时，裂纹就会失稳扩展，而后就会导致物体的断裂。这个临界值我们称之为断裂韧度，用符号表示。在材料力学中我们可以用产生的应力小于许用应力来判断物体受力是否安全，而在断裂力学中则利用： 这就是线弹性断裂力学的断裂判据，也就是带裂纹体失稳扩展的临界条件。当 时 裂纹即失稳扩展；当 时 裂纹不会扩展；当 时 裂纹处于临界状态。 对于I型裂纹，断裂判据可以写成： 通过实验可知 是中的最低值，故一般都测出材料的数值。被称为材料的平面应变断裂韧度。目前，材料的已经成为破损安全、裂纹体断裂控制和发展选用新型材料的重要参数，在工程实践

27、中得到广泛的应用。3.5 J积分以上提出的Griffith断裂判据、能量释放率判据、应力强度因子判据，这些都是建立在线弹性力学的本构关系和脆性断裂基础上的理论，不允许裂端有较大的塑性变形。由于弹性应力场在裂纹前端的奇异性使弹性体裂纹前端不可避免的出现塑形区，当塑形区较小只属于小范围屈服时线弹性断裂力学公式一般能使用（或经过修正能适用）。但实际工程中往往应用的材料是塑形或者韧性材料，属于“大范围屈服”甚至是“全面屈服“，性弹性断裂力学不再适用。这时积分的提出就成为衡量有塑性变形时裂端区应力应变场强度的力学参量。这个参量在理论上易于计算，又能通过实验来测定，使之能作为弹塑性条件下的断裂判据！这也是积分对断裂力学的重大贡献。3.5.1 J积分简介 积分代表一种能量积分，对于二维问题Rice提出的 积分是如下定义的线积分 这里是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。是弹性应变能密度，和分别为线路上作用于积分单元上方向的面力分量和位移分量。 3.5.2 J积分断裂判据在弹塑性断裂分析中我们可以用积