天津市第一中学数学几何模型压轴题单元试卷(word版含答案)

1、天津市第一中学数学几何模型压轴题单元试卷（word版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.探究：如图1和图2,四边形A8C。中，已知48=4。，/84） = 90。，点£、F分别在 BC. CD 上,NE4F=45° .（1）如图1，若NB、N4DC都是直角，把48E绕点八逆时针旋转90°至ADG,使 A8与4。重合，直接写出线段8E、DF和评之间的数量关系;如图2,若N8、ND都不是直角，但满足N8+ND=180° ,线段8£、DF和讦之间的 结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.（2）拓展：如图3,在川8c

2、中，N8AC=90° , AB=AC=2版.点D、E均在边8c边 上，且ND4E=45° ，若8。= 1,求DE的长.【答案】（1）EF=8E+DF；成立，理由详见解析：（2） 0£= 1 .【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出4E=AG, /BAE=/DAG, BE=DG,求出NEAF=NG4F= 45。，根据SAS推出乌G4F,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案： 根据旋转的性质作辅助线，得出八£=AG, /8=N4?G, ZBAE=ZDAG9求出C、。、G 在一条直线上，根据S4S推出根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求 出

3、答案；（2）如图3,同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出NA8C=NC= 45。，8c=4,根据旋转的性质得出 4F=4E, /F84 = NC=45。，ZBAF=ZCAE,求出 NE4D = NO4E=45。，证EADg/XEW,根据全等得出。/设。E=x,则 DF=x, BF=CE=3 -X,根据勾股定理得出方程，求出X即可.【详解】解：（1） 把M8E绕点4逆时针旋转90。至MDG,使A8与4D重合，：.AE=AG. ZBAE=ZDAG. 8E=DG, N8=N4DG=90°,NADC=90。，工 NADC+N4DG=90°：.F, D、G 共线，V

4、ZB>AD=90o, NEAF=45°,：.ZBAEZDAF= 45°,：.ZDAG+ZDAF=45°,即 NEAF=NG4F=45°,在E4F和GAF中，AF = AF ZEAF = ZGAF ,AE = AG：.AEAF/GAF (SAS),:EF=GF,8E=0G,，EF=GF=DF+DG=BE+DF,故答案为：EF=BE+DF；成立，理由：如图2,把A8E绕A点旋转到4DG,使A8和4。重合,VZB+ZDC=180°,，NADC+N4DG= 180°, ,.C、D、G在一条直线上，与同理得，ZEAF=ZGAF=45EAF

5、 和aGAF 中，AF = AF ZEAF = ZGAF , AE = AG EAF丝G4F (SAS), ：.EF=GF.9：BE=DG,:.EF=GF=BE+DF；(2)解：48c 中，AB=AC=2y2 N84C=90°, NA8C=NC=45°,由勾股定理得：bc=JaB? + AC2 =4,如图3,把44EC绕A点旋转到灯&使48和AC重合，连接DF,则NF84=NC=45°, /BAF=/CAE,VZDf=45°,/. ZFAD= /E48+N84D= NC4E+N84D= ZB AC - NOAE=90° - 45

6、6; = 45°,，N£4D=ND4E=45°,AD = AD在弘。和E4D 中 < /FAD = ZEAD ,AF = AE：.AFADEAD (SAS),：.DF=DE.设 DE=x,则 DF=x,:8C=4,：.BF=CE=4 - l-x=3-x,/的=45°,448c=45°,：.ZFBD=90由勾股定理得：df2=bf2+bd2,片=(3 -X)2+#,解得：x= | ,5H|J DE=.3【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用， 此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找

7、到规律，然后再推广到一般图 形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高.2.如图一，矩形ABCD中，AB=m, BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转6 (0°<0< 90°)得到矩形AiBCiDi,点Ai在边CD上.(1)若m=2, n=l,求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；(2)将矩形A1BCQ】继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D?在BC的延长线上，设边A?B与CD交于点E,若丝=一1,求乙的值.ECm(3)如图二，在(2)的条件下，直线AB上有一点P, BP=2,点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持

8、处=3,设AB=I，试探究点E移动过程中，PFBG ni是否存在最小值，若存在，求出这个最小值：若不存在，请说明理由.【答案】(1)好兀；(2)无：(3)存在，6 + JJ 63【解析】【分析】(1)作A】HJ_AB于H,连接BD, BDn则四边形ADA】H是矩形.解直角三角形，求出ZABAi，得到旋转角即可解决问题：CEA.D,n.J4£(2)由BCEsZBAzDz,推出方= = 一，可得 CE=一，由笠='6-1 推出CBA2BmmEC4 r22_! =推出AiC= ,推出BH二Aj_C=，然后由勾股定理建立方程，解ECmm方程即可解决问题：(3)当A、P、F, D,四点

9、共圆，作PFJ_DF, PF与CD相交于点M,作MN_LAB,此时PF 的长度为最小值；先证明fdgs/ifme,得到丝 =土 =正，再结合已知条件和解FM FE 3直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：(1)作A】H_LAB于H,连接BD, BD，则四边形ADA】H是矩形.AAD=HAi=n=l,在 RtAAiHB 中，.* BAi=BA=m=2,，BAi=2HAi,A NABA产30°,旋转角为30。，：bd=W = BAD到点D】所经过路径的长度=3°'卢=正江： 1806（2） VABCEABAzDztCE _ A2D2 _ &#

10、39;'CB A2B m，. 一 一 C£ =，in空=痣-1,EC，江3EC2AiC= ，mBH=AiC= J广=y/6 ，in.广 一fr = 6' 7, nr/. m4 - m2n2=6n4>94一- X 1 - - = 6> 7 , nr m:.上=立（负根已舍去）. m 3（3）当A、P、F, D,四点共圆，作PFLDF, PF与CD相交于点M,作MN_LAB,此时PF 的长度为最小值：四边形BEFG是矩形,.FG逐FE 3V ZDFG+ZGFM=ZGFM+ZMFE=90° ,AZDFG=ZMFEtVDF±PF, RPZDFM

11、=90° ,：.ZFDM+ZGDM=ZFDM+ZDFM=ZFDM+90° ,AZFDG=ZFME,AAFDGAFME,. FD _FG _耳 ,FM FE 3VZDFM=90" , tanZFMD = =,FM 3AZFDM=60" , ZFMD=30" , nAFM= DM： 2在矩形ABCD中，有业= Y),AB 3即当=虫，则AO = 3,3。3VMN±AB.四边形ANMD是矩形，AMN=AD=3,VZNPM=ZDMF=30° ,APM=2MN=6,np=3Q = AB，ADM=AN=BP=2,nc:.FM =2DM=

12、x2 = >/3, 22:.PF = PM +MF = 6 + A【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴 题，中考常考题型.正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进 行解题.3.如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC,CD上，且BE=DF,点P是AF的中 点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ,PD.(1)求证：AC垂直平分EF ；（2）试判断aPD。的形状，并加以证明：（3）如图2,若将4CEF绕着点C旋转180。，其余条件不变，

13、则（2）中的结论还成立吗? 若成立，清加以证明：若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2 ）4PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立：理由 见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD, Z B=Z ADF=90°,Z BCA=Z DCA=45%由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出结论：（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD$AF, PQ$AF,得出PD=PQ,再证明Z DPQ=90%即可得出结论：（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD$AF, PQ$AF,得出PD=PQ,再证明点A、F、Q、P四点

14、共圆，由圆周角定理得出N DPQ=2N DAQ=90。，即可得出结论.试题解析：（1）证明：.四边形ABCD是正方形，/. AB=BC=CD=AD, Z B=Z ADF=90°, Z BCA=Z DCA=45°,BE=DF,CE=CF,A AC垂直平分EF；（2）解：是等腰直角三角形：理由如下：,点 P 是 AF 的中点，Z ADF=90°, 1/. PD=zAF=PA,/. Z DAP=Z ADP,v AC垂直平分EF,Z AQF=90%1 PQAF=PA,Z PAQ=Z AQP, PD=PQ,: Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF=Z PAQ+Z

15、 AQP,/. Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2（Z PAD+Z PAQ） =2x450=90%PDQ是等腰直角三角形：（3）成立；理由如下：.点P是AF的中点，Z ADF=90°, 1/. PD=2AF=PA,BE=DF, BOCD, Z FCQ=Z ACD=45°> N ECQ=N ACB=450,CE=CF, Z FCQ=Z ECQ,CQJ«EF, Z AQF=90°, 1/. RQ=zAF=AP=PF,/. PD=PQ=AP=PF,.,.点A、F、Q、P四点共圆，/. Z DPQ=2Z DAQ=90°,PDQ是等腰直角三

16、角形.考点：四边形综合题.4.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积：（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你的结论.【答案】 奈（2） 22.5掳：（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时

17、停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的 面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为225掳.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明蜡D4”辐屏推CN和蜡DM”疑屏摘MN可得结论 （1）A点第一次落在DF上时停止旋转，DA旋转了45°.45蟾胭22 _>DA在旋转过程中所扫过的面积为360(2) MNII AC, /.整煽MN =鉴螭AC = 45掳量煽NM =整螭C4 = 45掳.饕斓M2 =饕斓NM . BM = BNT7. BA = BC .

18、 AM = CN , 又；DA = DC/DAM = <DCN蜡屏播CN.饕煨DM =饕烫DN. zaDM = /900-45。)= 22.5°.旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为45掳鉴?2.5掳=22.5掳不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则乙ADE = 4504ADN4，4CDN = 900-45°-Z：ADM = 45°乙ADNI， 饕脚>E =笺烫叫文:DA = DCZDAH = 180°-90° = 90° =乙DCN“'.螭虢屏持.DH = DN,AH = CN

19、又攀燧DE =凄博DN = 45°,DM = DM,.蜡DM“虢屏摘MN.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CN p = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB+ BC = 4，在旋转正方形ABCD的过程中，P值无变化.考点：1 .而动旋转问题：2.正方形的性质：3.扇形而积的计算：4.全等三角形的判定和性 质.5.综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形A3C和OEC,其中ZACB = Z£）CE = 90AC = 2,CD = 0

20、 .观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图摆放，设。石的中点是EAE的中点是的中点 是G,则NFG=度；操作证明（2）将图中的£>£（7绕点C顺时针（逆时针）旋转，使点A、C、七三点在一条直线 上，如图，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH = FG,请你帮助小明证明这 个结论.探究发现（3）将图中的aOEC绕点C顺时针（逆时针）旋转，旋转角为。（0,va<180°）, QEC在旋转的过程中，当直线FH经过点。时，如图，请求出线段FG的长.（4）在旋转过程中，在Ra48c和心七中，始终有由AC_L8C,CE_L8,你在 图中还能发现哪两条线段在旋转

21、过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90； （2）证明见解析；（3） 8。=6一1； <4） ADLBE【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解：（2）根据旋转的性质及等腰三角形48c可知A4C。三ABCE（SAS）,进而通过中位线定 理即可得到FH = FG ；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出8F的长，再由8。= 8/一。尸即可求出8。的 长：（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AO_L4E.【详解】(1) / CE = CD, AC = BC, ZECA = ZDCB = 90° ,BE = AD，./是。

22、石的中点，是4E的中点，G是8。的中点,：.HF/AD,FG/BE、'ADBE, :.HF1GF,:.ZHFG = 90° ;（2）证明：如下图，连接A。，BE,H由旋转可知 C£ = C。，ZECD = ZACD = 90°,又AC=8C,:.ACD = ABCE（SAS）9:.AD = BE，.尸是。石的中点，”是AE的中点，G是的中点，:.FH=-AD,FG = -BE, 22:.FH = FG,（3）解：由题意可得CF_LZ）E； ACFD, （?庄都是等腰直角三角形，CD =戊，：.CF = DF = 1,vBC = AC = 2, ,-.BF

23、= ylBC2-CF2 =V5>/. BD = BF-DF = S1，,6是5。的中点，.。6 =正，2:.BD = BF-DF = C-1 ；（4） AD1.BE.连接4D,由（3）知，CFIDE,EC。是等腰直角三角形，./是E。中点，又.是AE中点，:.ADHF,9： HF LED.：.ADLBE.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟 练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质 找到线段之间的关系：（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.6.如图1,点。是正方形ABCD两对

24、角线的交点，分别延长0D到点G, 0C到点E,使0G=20D, 0E=20C,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG, DE.（1）求证：DE±AG：（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转a角（0。360。）得到正方形OEFG',如图2.在旋转过程中，当NOAG，是直角时，求a的度数；若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF长的最大值和此时a的度数，直接写 出结果不必说明理由.【答案】（1）见解析：（2）30。或150。，AU的长最大值为2 +走，此时2a = 315°.【解析】【分析】（1）延长ED交AG于点H,易证AAOG与

25、ZkDOE,得到NAGO=NDE0,然后运用等量代换证 明NAHE二90。即可；（2）在旋转过程中，Z0AG'成为直角有两种情况：。由0°增大到90°过程中，当 N0AG' =90° 时,a =30° , a 由 90° 增大到 180。过程中，当N0AG' =90° 时， a =150。；F）当旋转到A、0、F'在一条直线上时，AF的长最大，AF'=AO+OF'=二+2,此时2a=315o .【详解】如图L延长ED交AG于点H,点O是正方形ABCD两对角线的交点,，OA=OD, OA&

26、#177;OD,VOG=OE,在ZkAOG 和aDOE 中，OA = OD< ZAOG = /DOE = 90°,OG = OE/.AOGaDOE,/./AGO = NDEO,ZAGO+ZGAO=90%AZGAO+ZDEO=90°,，NAHE=90。，即 DE±AG：在旋转过程中,NOAG，成为直角有两种情况:（【）a由0。增大到90。过程中，当NOAG=90。时，1 1,VOA=OD=-OG=-OG 22,，QA 1工在 Rt/kOAG由sinNAG'O=-,OGf 2，NAG'O=30。，VOA±OD,OA±AGAOD

27、/7AG；NDOGGNAG'OTO。，即 a=300：图2（n）a由90。增大至Ij 180。过程中，当NOAG'=90。时，同理可求NBOG=30。，Aa=180°-30o=150°.综上所述，当NOAG'=90。时,a=30。或150°.如图3,当旋转到A. 0、F在一条直线上时,AP的长最大,二正方形ABCD的边长为1,AOA=OD=OC=OB= 2VOG=2OD,AOGZ=OG=V2 > ，OF'=2,.-0+0，=业+2,2VZC0EM5%，此时 a=315。.【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角

28、三角函数的定义，掌握正方形的四 条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应 用.7.如图1,点。是正方形八8c。两对角线的交点.分别延长0。到点G, 0C到点E,使 0G=20D, 0E=20C,然后以0G、0E为邻边作正方形OEFG,连接4G, DE.求证：DEJ.AGt正方形A8CD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转1角（0° <«<360° ）得到正方形 0EFG：如图 2.在旋转过程中，当N°4G'是直角时，求。的度数：（注明：当直角边为斜边一半时，这条 直角边所对的锐角为30度）若正方形

29、48CD的边长为1,在旋转过程中，求力尸长的最大值和此时0的度数，直接写 出结果不必说明理由.【答案】（1）DE_LAG（2）当N°4G'为直角时，a =30°或150°.315°【解析】分析：（1）延长E。交4G于点心 证明妖°G”铝增°E,根据等量代换证明结论：（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到乙4G'° = 30。，分两种情况 求出式的度数：（3）根据正方形的性质分别求出04和OF的长，根据旋转变换的性质求出八户长的最大值 和此时。的度数.详解：0）如图1，延长ED交AG于点H,

30、点0是正方形ABCD两对角线的交点，： OA = 0D OA i OD ，t饕磕G = OE ,在铝妖°G和铝赠OE中，OA = OD44OG = ZDOE =90 °OG = OE AOGOE ,LAGO =乙DEO I N4G。+ 4G4。= 90° r /GA。+ 4E0 = 90° r /AHE = 90° /即D腌团G ；（2）如图2,在旋转过程中，整雄A"成为直角有两种情况:（I）。由°"增大到91过程中，当ZOAG' = 900时， .-OA = OD=OG=OGf tOA 1 在Rt 0/1

31、G 中，sin NAGO锦=2, N/1G'0 = 30° /v OA 1 OD OA I AG1 * /a OD/AG1 f，）OG' = 44G'。=30° t即a = 30。；（II）。由90。增大到180。过程中，当MG'= 90。时,同理可求匕8°G' = 30' .%«= 180° - 30° =150°综上所述，当乙。AG, = 9（）g时，a = 30°或150°.当旋转到人0、户在一条直线上时，力的长最大，:正方形A8CD的边长为1 ,：0

32、A = 0D = 0C=0B = m ,-：0G = 20D:.0Gf = 0G =业 f整得尸=2 ,AFr = A0 + 0Ff= + 2 rNCOS = 45 ° /，此时a = 315 ° .点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性 质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.8.如图，正方形48co的边04 0C在坐标轴上，点8的坐标为（6, 6）,将正方形48co 绕点C逆时针旋转角度a（r<a<90。），得到正方形CDEF, ED交线段A8于点G, 的延长 线交线段04于点儿连接CM CG.求证： CBG

33、gCDG；求N”CG的度数；并判断线段HG、OH、8G之间的数量关系，说明理由：连接8。、DA、AE. EB得到四边形4E8D,在旋转过程中，四边形AE8D能否为矩形？如 果能，请求出点的坐标：如果不能，请说明理由.0 H N ' x【答案】（1）证明见解析；（2）45°； HG= HO+BG； （3） （2, 0）.【解析】 试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁 定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证.（2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG, Z DCG=Z BCG.同第

34、一问的思路容易发现 CDH2 COH,也有对应边、角相等，即OH=DH,ZOCH=Z DCH.于是NGCH痣四角的和，四角恰好组成直角，所以N GCH=90。，且容易得 乙到 OH+BG=HG.（3）四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有 G为AB中点的时候.由上几问知DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即四边形 AEBD为矩形.求H点的坐标，可以设其为（x, 0）,则OH=x, AH=6 - x.而BG为AB的 一半，所以DG=BG=AG=3.又由（2） , HG=x+3,所以HGA中，三边都可以用含x的 表达式表达，那么根据勾股定理可列

35、方程，进而求出x,推得H坐标.（1）证明：二正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF, /. CD=CB, Z CDG=Z CBG=90°.在 RtA CDG 和 RtA CBG 中，：CD二CB < CGXG'.a CDG合 口 CBG （HL）；（2）解：/ CDG合 a CBG, N DCG=N BCG, DG=BG.在 RtA CHO 和 RtA CHD 中，/CE=CHOC=CD， A CHO合 A CHD （HL）, N OCH:N DCH, OH=DH,/. Z HCG=Z HCD+Z GCD±N OCD2/ DCB±N OCB=45

36、%222/. HG=HD+DG=HO+BG：（3）解：四边形AEBD可为矩形.如图，连接BD、DA、AE、EB,四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线 互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候. / DG=BG,/. DG=AG=EG=BG,即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形， 当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形. 四边形DAEB为矩形，J AG=EG=BG=DG.二 AB二6，/. AG=BG=3.设H点的坐标为（x, 0）,则HO=xOH=DH, BG=DG,HD=x, DG=3.在 RtA HGA 中，HG=x+3, GA=3, HA=6-x,.(x+3)

37、2=32+ (6-x) 2,解得 x=2./. H点的坐标为(2, 0).考点：几何变换综合题.二、初三数学圆易错题压轴题（难）9.如图，已知RS48C中，ZACB=90 AC=8. 48=10,点。是47边上一点（不与C 重合），以八。为直径作。O,过C作CE切。于E,交48于F.（1）若。0半径为2,求线段CE的长：（2）若AF=BF,求。的半径：（3）如图，若C£=CB,点8关于4c的对称点为点G,试求G、E两点之间的距离.【答案】（1） CE=4>/2 ： （2）。的半径为3； （3） G、E两点之间的距离为9.6【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出NOEC=90&

38、#176; ,然后根据勾股定理即可求得：（2）由勾股定理求得BC,然后通过证得OECsaBCA,得到第=市，即解得即可；R F（3）证得口和“重合，E和F重合后，通过证得GBEsaABC, =，即AB ACn GETo- V,解得即可.【详解】解：(1)如图,连接0E,A ZOEC= 90°,9：AC=8,。的半径为2,：.OC=69 OE=2,：CE=yJoc2_OEi =4& :（2）设）0的半径为r,在 Rt"8C 中，N4C8=90。，A8=10, AC=8,1BC= 7aB2-AC2 =6,9：AF=BF9:.AF=CF=BF,，NACF=NCAF, VC

39、E 切。于 £, ：.ZOEC= 90：.ZOEC= ZACB,:.OECsgCA,OE OC 5C " BA8-r10解得=3, A 00的半径为3：(3)如图，连接8G, OE,设EG交AC于点M,由对称性可知，CB=CG, : CE=CG,：.ZEGC= NGEC,YCE 切00 于 E,，/GEC+NOEG=90°,VZfGC+ZGMC=90% ，N0EG=NGMC, / ZGMC= NOME, ：.Z0EG=Z0ME. ：.0M=0E, .点M和点D重合， ,.G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE, ,.YD是直径， ，NAED=90°,

40、即N4£G=90°, 又 CE=CB=CG,：.ZBEG=90：.ZAEB= NAEG+NBEG=180°,.4 E、8三点在同一条直线上， ，E、F两点重合，NGEB=NACB = 90°, N8=/8,gbesaabc,.GB GE nn 12 GE =,即AB AC 108，GE=9.6,故G、E两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得 G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关10.我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形"叫做“同族三角

41、形"，如图 1,在4ABC 和4ABD 中，AB=AB, AC=AD, N B=N B,则 ABC 和 ABD 是“同族三角形（1）如图2,四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证： ABC和 ACD是同族三角形；（2）如图3, ZiABC内接于。0,。的半径为30，AB=6, ZBAC=30°,求AC的长；（3）如图3,在（2）的条件下，若点D在。0上，ZXADC与ABC是非全等的同族三角形，AD>CD,求的值.CD【答案】（1）详见解析；（2） 373+3： （3） 梨=" +炉或CD 22【解析】【分析】（1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的

42、关系，易得BC=CD, ZBAC=ZDAC,又由公共边AC,可证得：ZXABC和4ACD是同族三角形；（2）首先连接OA, 0B,作点B作BE_LAC于点E,易得AOB是等腰直角三角形，继而求 得答案：分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案.【详解】（1）证明：.,点c是弧BD的中点，即8c = 8， /. BC=CD, Z BAC=Z DAC,/ AC=AC,a ABC和 ACD是同族三角形./ 0A=0B=3 72 t AB=6, . OA2+OB2=AB2,AOB是等腰直角三角形，且N AOB=90°,Z C=Z AOB=450,Z BAC=30"

43、;, BE=AB=3,AE=AB，- BE2 =3 VJ ,/ CE=BE=3, , AC=AE+CE=3 73+3.(3)解：/ Z B=180° - Z BAC - Z ACB=180° - 30° - 45°=105% . Z ADC=180° - Z B=75%如图 2,当 CD=CB 时，Z DAC=Z BAC=30°,D：.Z ACD=75°,/. AD=AC=3V3+3, CD=BC=V2 BE=3V2 >AD 35/3 +3 _ 5/6 + 5/2A cd=7T=-；如图3,当CD二AB时，过点D作DF

44、J_AC,交AC于点F,则N DAC=Z ACB=45%, Z ACD=180° - N DAC - N ADC=60%：.DF=CD*sin60°=6x =3 / ,AD:点DF=3,AD _ 36 . = =.CD 62综上所述：空=/在或近. CD 22【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助 线进行分析证明以及求解，难度较大.11.如图、是两个半径都等于2的001和。2，由重合状态沿水平方向运动到 互相外切过程中的三个位置，00】和。2相交于4、8两点，分别连结0/、0】8、024 02B 和 48.如图，当N 40m=

45、120。时，求两圆重登部分图形的周长/：设N 4018的度数为x,两圆重登部分图形的周长为y,求y关于x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围：在(2)中，当重登部分图形的周长 = 2九时，则线段0凶所在的直线与有何位置关 系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的X的取值范【答案】(1) (2) > = X (0<x<180) (3) 0M 与相切：当。女W90 和 3450W/180时，线段。2人所在的直线与。1相交【解析】试题分析：(1)解法一、依对称性得，N 4。28=/AO】8=120°,/. / = 2 x

46、 -lx(2x2)=3 , J 3解法二、: 03=018=0=028口A 人、120Kx x 2 8n. 401802 是菱形 Z A02B= 4018=120° /=2x a =2乂=1803(2) .,由(1)知，菱形 AO/Oz 中N AOzBN 47i8=x 度,重叠图形的周长r=2x.2 以 =即J =柢工(0<x<180)当J =27l时，线段024所在的直线与。01相切！理由如下：=2立，由(2)可知： = 2n,解之卡90度45/. AOi8=90°,因此菱形 AO18O2 是正方形，. 01402=90°,即 0/_1_03，而0/

47、是。01的半径，且A为半径之外端：.024与。0】相切.还有如下位置关系：当。女490和0女180时，线段0/所在的直线与。01相交考点：直线与圆的位置关系点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大12.已知：A3C内接于。，过点3作。的切线，交C4的延长线于点。，连接0B.DDD（1）如图 1,求证：NDAB = ZDBC；（2）如图2,过点。作。于点M ,连接A。，交8C于点N,BM=AM + AD 求证：BN = CN ；（3）如图3,在（2）的条件下，点、E为。上一点,过点E的切线交。8的延长线于点 P，连接CE，交

48、A。的延长线于点。，连接P。，P。，。，点F为4N上一点，连ON 1f接。尸，若 NDCF + NCDB = 90。, tan ZECF = 2, - =PQ + OQ = 6 屈,ex 乙求c尸的长.【答案】（1）详见解析：（2）详见解析：（3） CF = 10【解析】【分析】（1）延长B0交。于G,连接CG,根据切线的性质可得可证NDBC+NCBG=90° ,然后 根据直径所对的圆周角是直角可证NCBG + NG=90。，再根据圆的内接四边形的性质可得 ZDAB=ZG,从而证出结论：（2）在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH,根据垂直平分线性质可得DH=AD,再 根据等边对

49、等角可得NDHA=NDAH,然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出 ZABC=ZC,可得AB=AC,再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC,从而证出结 论：（3）延长CF交BD于M,延长B0交CQ于G,连接0E,证出tanNBGE=tan/ECF=2,然 后利用AAS证出CFN/kBON,可设CF=BO=r, ON=FN=a,则OE=r,根据锐角三角函数和 相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据 P。+。= 6加，即可分别求出a和CF.【详解】解：（1）延长B0交于G,连接CGDAZOBD=90°AZDBC+ZCBG=90"VBG为

50、直径AZBCG=90°AZCBG4-ZG=90°Z.ZDBC=ZG四边形ABGC为00的内接四边形AZDAB=ZGAZDAB=ZDBC(2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DHADM垂直平分AHADH=ADAZDHA=ZDAHBM =AM + AD BM = MH + BHAAD=BHADH=BHAZHDB=ZHBDZDHA=ZHDB+ZHBD=2ZHBD由(1)知NDAB=NDBCAZDHA=ZDAB=ZDBCAZDBC =2ZHBDVZDBC=ZHBD+ZABCAZHBD=ZABC> ZDBC=2ZABCAZDAB=2ZABCVZDAB=ZABC4-ZC，Z

51、ABC=ZC，AB 二 AC .点A在BC的垂直平分线上 点0也在BC的垂直平分线上，AO垂直平分BC BN = CN(3)延长CF交BD于M,延长BO交CQ于G,连接OE,V ADCF + ZCDB = 90°AZDMC=90°VZOBD=90°AZDMC=ZOBD，CFOBAZBGE=ZECF, ZCFN=ZBON,AtanZBGE=tanZECF=2由(2)知OA垂直平分BCAZCNF=ZBNO=90° , BN=CNAACFNABON，CF二BO, ON=FN,设 CF=BO=r, ON=FN=at 则 OE=rON 1 _丽一 5AOQ=2aV

52、CF/ZOB.qgoaqcfOG QOCFQFNM OG 2a 1即=r la + a + a 2：.OG=-r2过点O作OE，±BG,交PE于，OE' =OG tanZBGE=r=OE.点E'与点E重合AZEOG=90°AZBOE=90"PB和PE是圆O的切线A ZOBP=ZOEP=ZBOE=90" , OB=OE=r四边形OBPE为正方形 AZBOE=90° , PE=OB=rAZBCE=- ZBOE=45° 2NQC为等腰直角三角形，NC=NQ=3a,ABC=2NC=6a在 RtACFN 中，CF=4NC? +

53、FN?=回a PQ1OQ：.PQBCAZPQE=ZBCGVPE/7BGAZPEQ=ZBGC.pqeAbcg,PQ _ PEPQ _ r即s二F2解得：PQ=4a PQ + OQ = sM，A 4a 4-23=65/10解得：a=V10A CF= 710x710=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、 锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形 的判定及性质是解决此题的关键.13.如图，ZACL=90 AC=4,动点8在射线CL, CH_L48于点H,以H为圆心，H8为 半径作圆交射线射于点D,交直线8于点匕

54、交直线8c于点巳设8C=m.(1)当NA = 30。时，求/CD8的度数；(2)当m = 2时，求8E的长度；(3)在点8的整个运动过程中，当8c=3CE时，求出所有符合条件的m的值.连接£“，FH,当tanNFHE= =时，直接写出FHD与而积比.12【答案】(1)60。：(2)(3)=2四或43：号 【解析】【分析】(1)根据题意由HB = HD. CHJ«BD可知：CH是BD的中垂线，再由N A=30。得：Z CDB =Z ABC = 60°；(2)由题意可知当m = 2时，由勾股定理可得：AB = 26, cos/ABC=4,过点H作HK_LBC于点K,利

55、用垂径定理可得结论：(3)要分两种情况：I.当点E在C右侧时，II.当点E在C左侧时：根据相似三角 形性质和勾股定理即可求得结论：根据题意先证明EFII BD,根据平行线间距离相等可得： FHD与 EFH高相等，面积比 等于底之比，再由tan/FHE=可求得詈的值即可.【详解】解：(1) VZ A=30°, Z ACB=90% , Z ABC=60", / HB=HD, CH±BD, ,CH是BD的中垂线,/. CB = CD,/. Z CDB = Z ABC = 60°；（2）如图1,过点H作HKLBC于点K,当 m = 2 时，BC = 2,AB=

56、4aC2+BC2 =2 忖BC 75COSZ ABC=，AB 5：.BH = BCcosN ABC=± , 52/. BK = BH>cosZ ABC=, 54/. BE = 2BK=-；5（3）分两种情况:I.当点E在C右侧时，如图2,连结DE,由BD是直径，得DELBC,BC=3CE = m,12CE= m, BE= m, 33DE II AC, /. DEB- ACB,DE BE 2 AC=; CD=CB = m, RSCDE中，由勾股定理得：f->l +lm （3 ） ,/ m>0,m = 2友：II.当点E在C左侧时，如图3,连结DE,由BD是直径，得DE_LBC,BC=3CE,13CE= m, BE= m, 32/ DE II AC,：.& DEB- ACB,DE _ BE _ 3* AC - BC _ 2 '3.DEAC 6.2CD=CB = m,RSCDE中，由勾股定理得：62+f