《圆周角》练习题

1、24.1.4 圆周角5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1 .在。中，同弦所对的圆周角（）A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C2 .如图24-1-4-1，在。中，弦人口二弦DC,则图中相等的圆周角的对数有（）图 24-1-4-1A.5对B.6对C.7对D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等 角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆,周角：MAD所对的/ 1 = /3;弧DC所对的/ 2=7 4;弧BC所对的/ 5= /6;弧AB所对的/ 7=/8.找

2、等弧所对的圆周角，因为弧 AC= M DC ,所以/ 1 = /4, / 1 二 Z2, /4=/3, /2=/3.由上可知，相等的圆周角有 8.答案：D3 .下列说法正确的是（）B.两边都和圆相交的角是圆周角D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半A.顶点在圆上的角是圆周角C.圆心角是圆周角的 2倍 思路解析：本题考查圆周角的定义 答案：D4 .（2010东北师大附中月考）如图24-1-4-2，已知A、B、C、D、E均在。O上，且AC为。的 直径，则/ A+ /B+/C二度.图 24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义，求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90°10分钟训练（强化类训

3、练，可用于课中）1 .（山东济南模拟）如图24-1-4-3,把一个量角器放在/BAC的上面，请你根据量角器的读数判断/ BAC的度数是（）A.30 °B.60°C.15°D.20°图 24-1-4-3图 24-1-4-4图 24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答 答案：C2 .（2010南京建邺一模）如图24-1-4-4, A、B、C是。上的三点，/ACB=30°，则/ AOB等 于（）A.75 °B.60°C.45°D.30°思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3 .（重庆模

4、拟）如图24-1-4-5, OB、OC是。的半径，A是。上一点，若已知/ B=20 ° , /C=30° ,则/ A=.思路解析：连结 AO,则 AO=OB , OA=OC ,所以/ A=/B+/C=20° +30 ° =50 ° . 答案：50°4 .（经典回放）在半彳仝为1的。O中，弦AB、AC分别是3和2,则/ BAC的度数是. 思路解析：如图（1）和图（2）,分两种情况，作直径 AD,连结BD,易知/ BAD=30 ° , /(2)CAO=45 ° , . BAC=15 ° 或 75（1）答案：1

5、5°或75°5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且 BP=CQ, A为BC外一动点，当点 A运动到使/ BAP=/CAQ时， ABC是什么三角形？试证明你的结论.4R F Q C 图 24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等解：当/ BAP=/CAQ时，4ABC是等腰三角形.证明：如图，作出 ABC的外接圆，延长 AP、AQ交该圆于 D、E,连结DB、CE,由/ BAP= / CAQ ,得弧 BD=弧 CE.从而弧 BDE=M CED,所以 BD=CE , / CBD= / BCE.又 BP=CQ, 则BPDCQE,这时/ D=/E

6、,由此弧 AB= M AC ,故 AB=AC, 即 ABC是等腰三角形.快乐时光某足球队队员添了一个小孩，所有队友被邀请参加洗礼，来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落，守门员果断地扑出，在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼，守门员习惯地拍了两下，接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如图24-1-4-7,已知。中，AB为直径，AB=10 cm ,弦AC=6 cm , / ACB的平分线交。 。于D,求BC、AD和BD的长.D 图 24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解： AB 是直径，AC

7、B= /ADB=90在 RtAACB中，BC= .AB2 - AC2 = 102 -62 =8.CD平分/ACB , 弧 AD=弧 BD. . . AD=BD.在 RtAADB2_中，AD=BD= 2 AB=5、2 (cm).2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图 哪一个肯定是半圆环形？24-1-4-8所表示的情形，四个工件图 24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形,可得只有B符合定 理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确,D中的直角只满足圆周角的一个特征

8、，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3 .(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9, A、C、B是。上三点，若/ AOC=40 ° ,则/ ABC的度数是()A.10 °B.20°C.40°D.80°思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答 答案：B4 .如图24-1-4-10(1),已知 ABC是等边三角形，以BC为直径的。交AB、AC于D、E.(1) 求证： DOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2),若/ A=60 ° , ABAC,则(1)中结论是 否成立？如果成立，请给出证明

9、；如果不成立，请说明理由AA图 24-1-4-10思路分析： ABC是等边三角形，所以/ B、/ C均为60。，利用60°的圆周角定理，可 知 DOB、 EOC均为等边三角形.第二种情形类似.(1)证明：. ABC为等边三角形，B= Z C=60 ° .-. OB=OC=OE=OD , . OBD 和4OEC 都为等边三角形./ BOD= / EOC=60 ° ./ DOE=60 ° . . DOE为等边三角形.(2)解：当/A=60° , AB w AC时，(1)中的结论仍然成立.证明：连结 CD. BC为。O的直径， ./ BDC=90 &

10、#176; ./ ADC=90 ° . . /A=60° , . ACD=30 ° ./ DOE=2/ACD=60 ° . . OD=OE , . DOE为等边三角形.5.四边形 ABCD 中，AB / DC, BC=b , AB=AC=AD=a ,如图 24-1-4-11 ,求 BD 的长.图 24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a 可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因 而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解： AB=AC=AD=a，点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半

11、径作。A, 并延长BA交。A于E,连结DE.1.AB /CD, 弧 BC=M DE. . BC=DE=b.BE 为。A 的直径，EDB=90 ° .在 RtAEDB 中，BD= VBE2 - DE2 = v；4a2 -b2，.二 BD 的长为 V4a2 -b2 .6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到 A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙 射门好？图 24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较

12、好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过 M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA 交。O 于 C,则/ MAN <Z MCN ,而/ MCN= / MBN ,所以/ MAN <Z MBN.因此在 B点射门为好.7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的 APBAPB= 0 ,船要在两航标灯北.侧绕过暗礁区,内有暗礁，在 A、B两点建两座航标灯塔，且/ 应怎样航行？为什么？A B 图 24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B

13、的视角小于0 ,即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔(1)在弧APB外任取一点 C,连结CA、A、B的视角小于CB ,设CA交弧0 ,即可安全绕过暗礁区APB于F,连结FB. / AFB= Z 0 , Z AFB >Z C, . . / CV。.(2)在弧APB的弓形内任取一点 D,连结AD并延长交弧E= 0 , Z ABD >Z E, . ADB > 0 .APB 于 E,连结 DB、EB. /由(1) (2)知，在航标灯 A、B所在直线北侧，在圆弧弧 APB外任一点对A、B的视角者B 小于0 ；在圆弧弧APB上任一点对 A、B的视角都等于0 ；在圆弧弧

14、APB内任一点对 A、B 的视角都大于。.为此只有当对两灯塔的视角小于 0的点才是安全点.8.(湖北恩施自治州课改区模拟 )在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种 特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：图 24-1-4-14 / AOC 是 ABO 的外角，/ AOC= / ABO+ / BAO.又 OA=OB, / OAB= / OBA. / AOC=2 / ABO,即/ ABC= - Z AOC.2如果/ ABC的两边都不经过圆心，如图 24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样？请你说明理由思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，

15、可分三种情况讨论：（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果/ ABC的两边都不经过圆心，结论/ ABC= 1 / AOC仍然成立.2对图（2）的情况，连结BO并延长交圆O于点D,由题图（1）知:/ABD= 1 Z AOD,2/ CBD= 1 / COD.2 / ABD+ / CBD= 1 / AOD+ 1 / COD,22即/ ABC= 1 Z AOC.2（2）对图（3）的情况仿图（2）的情况可证.9.（经典回放）如图24-1-4-15所示，已知AB为。O的直径，AC为弦，OD / BC ,交AC于D , BC=4 cm.（1）求证：

16、AC ± OD ;（2）求OD的长；（3）若/ A=30。，求。O的直径.图 24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算(1)证明：. AB 是。的直径，0=90° . OD/BC, ADO= / C=90° . .ACOD.(2)解：OD/BC,又 O是AB的中点，OD是4ABC的中位线.OD= 1 BC= 1 X 4=2 ( cm).22(3)解：. /A=30° ,在 RtAABC 中，/ A=30 ° , , , BC= AB.2.AB=2BC=8 (cm)，即。的直径是 8 cm.10 .(经典回放)如图24-1-4-16所示，AB是。O的直径，C、D、E都是。O上的点，则/ 1 + 7 2=.思路解析：/ 1所对的弧是弧 AE , / 2所对的弧是弧 BE,而弧AE +弧BE=M AB是半圆， 因此连结AD , /ADB的度数是90° ,所以/ ADB= / 1 + /2.本题也可以连结 EO,得到圆 心角/ EOA 和/ EOB,而/ EOA + Z EOB=180° ,所以/ 1 +