第27课 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)

1、1直线与圆的位置关系：(1)设 r 是O 的半径，d 是圆心 O 到直线 l 的距离直线与圆的位置公共点个数d 与 r 的关系图形直线名称相交2 个dr割线相切1 个dr切线相离0 个dr(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径(3)切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2圆与圆的位置关系：设 R，r 是两圆半径，d 为圆心距两圆位置公共点个数d 与 R，r 的关系图形外离0 个dRr(Rr)外切1 个dRr(Rr)相交2 个RrdRr(Rr)内切1 个dRr(Rr)内含0 个dRr(Rr)3三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆

2、心是三角形三条角平分线的交点，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内切圆的半径是内心到三边的距离4从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角1(2012嘉兴)如图 271，AB 是O 的弦，BC 与O 相切于点 B，连结 OA，OB.若ABC70，则A 等于()A15B20C30D70图 271【答案】B2(2013南京)如图 272，O1，O2的圆心 O1，O2在直线 l 上，O1的半径为 2cm，O2的半径为 3cm，O1O28cm.O1以 1cm/s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动，在此过程中，O1与O2没有出现的位置关系是()A外切B相

3、交C内切D内含图 272【答案】D3(2013毕节)如图 273，在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点 O 为 BC 的中点，以 O 为圆心作O交 BC 于点 M，N，O 与 AB，AC 相切，切点分别为D，E，则O 的半径和MND 的度数分别为()A2，22.5B3，30C3，22.5D2，30图 273【答案】A4(2012雅安)如图 274，AB 是O 的直径，O 是圆心，BC 与O 相切于点 B，CO 交O 于点 D，且 BC8，CD4，那么O 的半径是图 274【答案】65(2012兰州)如图 275，已知O 是以坐标原点 O 为圆心，1 为半径的圆，AOB45，点 P 在

4、x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，设 P(x，0)，则 x 的取值范围是图 275【答案】 2x 2题型一直线与圆、圆与圆的位置关系的判定题型一直线与圆、圆与圆的位置关系的判定在判定直线与圆、圆与圆的位置关系时，可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较(或根据两圆的圆心距与半径的数量关系来确定)，在判定其关系时，要结合题目的已知条件选择正确的方法【典例 1】(1)(2012无锡)已知O 的半径为 2，直线 l 上有一点 P 满足 PO2，则直线 l 与O 的位置关系是()A相切B相离C相离或相切D相切或相交(2)(2013烟台)如图

5、276，已知O1的半径为 1cm，O2的半径为 2cm，将O1，O2放置在直线 l 上，如果O1在直线 l 上任意滚动，那么圆心距 O1O2的长不可能是()A6cmB3cmC2cmD0.5cm【解析】(1)当 OP 垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d2r，O 与 l 相切；当 OP 不垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d2r，O 与直线 l 相交故直线 l 与O 的位置关系是相切或相交(2)根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系O1的半径为 1cm，O2的半径为 2cm，当两圆内切时，圆心距为 1 cm.O1在直线 l 上任意滚动，两圆不可能

6、内含，圆心距不能小于 1 cm.【答案】(1)D(2)D【类题演练 1】 (1)(2013白银)已知O1与O2的半径分别是方程 x24x30 的两根，且 O1O2t2，若这两个圆相切，则 t；(2)(2011天门)如图 277 所示，已知 O 为原点，点 A 的坐标为(4，3)，A 的半径为 2，过点 A 作直线 l 平行于 x轴，交 y 轴于点 B，点 P 在直线 l 上运动当点 P 在A 上时， 请你直接写出它的坐标；设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与A 的位置关系，并说明理由【解析】(1)2 或 0O1，O2的半径分别是方程 x24x30 的两根， 解得O1，O2的半径分别

7、是 1 和 3.当两圆外切时，圆心距 O1O2t2134，解得 t2；当两圆内切时，圆心距 O1O2t2312，解得 t0.t 为 2 或 0.(2)点 P 在A 上，APr2.又点 P 在直线 l 上，点 P 的坐标为(2，3)或(6，3)连结 OP，过点 A 作 ACOP 于点 C，如解图，则 APPBAB1248.OB3，OP 12232 153.ACPOBP90，APCOPB，APCOPB，ACOBAPOP，AC38153，AC241531.942，直线 OP 与A 相交题型二圆的切线性质题型二圆的切线性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”，所以连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有

8、关证明和计算的常用方法【典例 2】(2012丽水)如图 278，AB为O 的直径，EF 切O 于点 D，过点B 作BHEF于点H， 交O于点C，连结 BD.(1)求证：BD 平分ABH；(2)如果 AB12，BC8，求圆心 O 到BC 的距离【解析】(1)连结 OD，如解图.EF 是O 的切线，ODEF.又BHEF，ODBH，ODBDBH.ODOB，ODBOBD，OBDDBH，即 BD 平分ABH.(2)过点 O 作 OGBC 于点 G，则 BGCG12BC4.在 RtOBG 中，OG OB2BG2 624225.【类题演练 2】(2012泰州)如图 279，已知直线 l 与O 相离，OAl

9、于点 A，OA5，OA 与O 交于点 P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C.图 279(1)试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由；(2)若 PC25，求O 的半径和线段 PB 的长；(3)若在O 上存在点 Q，使QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求O 的半径 r 的取值范围【解析】(1)ABAC.理由如下：连结 OB，如解图.AB 切O 于点 B，OAAC，OBAOAC90.OBPABP90，ACPCPA90.OPOB，OBPOPB.OPBAPC，ACPABC，ABAC.(2)延长 AP 交O 于点 D，连结 BD，如解图.设O 的半径为 r，则

10、 OPOBr，由 OA5，得 PA5r.又PC25，AB2OA2OB252r2，AC2PC2PA2(25)2(5r)2.由(1)得 ABAC，52r2(25)2(5r)2，解得 r3.ABAC4.PD 是直径，PBD90PAC.DPBCPA，DPBCPA.CPPDAPBP，即2562BP，解得 PB655.(3)作线段 AC 的垂直平分线 MN，作OEMN 于点 E，如解图，则 OE12AC12AB1252r2.O 要与直线 MN 有交点，OE1252r2r，r 5.又O 与直线 l 相离，r5.O 的半径 r 的取值范围为 5r5.题型三切线的判定题型三切线的判定当已知条件中给出的直线与圆有

11、公共点时，常连结圆心和公共点，证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可判定直线与圆相切；当已知条件中直线与圆的公共点没有确定时，则应过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径【典例 3】 (2013南宁)如图 2710，ABC 中，BAC90，ABAC，AB 是O 的直径，O 交BC 于点 D，DEAC 于点 E，BE交O 于点 F， 连结 AF， AF 的延长线交 DE 于点 P.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)求 tanABE 的值；(3)若 OA2，求线段 AP 的长【解析】(1)连结 AD，OD，如解图.AB 是O 的直径，ADB90.ABAC，AD 垂直平分 BC，D

12、CDB，OD 为BAC 的中位线，ODAC.DEAC，ODDE，DE 是O 的切线(2)ODDE，DEAC，BAC90，四边形 OAED 为矩形ODOA，四边形 OAED 为正方形，AEAO，tanABEAEAB12.(3)AB 是O 的直径，AFB90，ABFFAB90.EAPFAB90，EAPABF，tanEAPtanABE12.在 RtEAP 中， AE2， tanEAPEPAE12， EP1， AP AE2EP2 5.【类题演练 3】(2012聊城)如图2711， O是ABC的外接圆，ABAC10，BC12，P 是BC上的一个动点，过点 P 作 BC 的平行线交 AB 的延长线于点 D

13、.(1)当点 P 在什么位置时，DP 是O 的切线？请说明理由；(2)当 DP 为O 的切线时，求线段 DP 的长【解析】(1)当点 P 是BC的中点时，DP 是O 的切线，理由如下：如解图，连结 AP.ABAC，ABAC.又PBPC，PBAPCA，PA 是O 的直径PBPC， BAPCAP.又ABAC， PABC.DPBC，DPPA，DP 是O 的切线(2)如解图，连结 OB，设 PA 交 BC 于点 E.由垂径定理，得 BE12BC6.在 RtABE 中，由勾股定理，得 AE AB2BE2 102628.设O 的半径为 r，则 OE8r.在 RtOBE 中，由勾股定理，得 r262(8r)

14、2，解得 r254.DPBC，ABEADP，BEDPAEAP，即6DP82254，解得 DP758.1判定一条直线是圆的切线除了用切线的判定定理外还有：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线是圆的切线技技 法法 联联 通通2圆中常用辅助线的规律：(1)当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直证直线到圆心的距离等于圆的半径；(3)连结圆心和切点，构造直角三角形解题3分类讨论思想：(1)由于点在圆周上的位置不确定而分类讨论；(2)由于弦所对弧的优劣情况不确定而分类讨论；(3)由于弦的位置不确定而分类讨论；(4)

15、由于直线与圆的位置关系不确定而分类讨论；(5)由于两圆的大小关系不确定而分类讨论【典例】相交两圆的公共弦长为 16cm，若两圆的半径分别为 10cm 和 17cm，则这两圆的圆心距为【错解】填 21cm，理由：如图 2712，连结 O1A，O2A.O1O2垂直平分 AB，O1O2 17282 1028215621(cm)2712【析错】以上解法只考虑到相交两圆的圆心在公共弦两侧这一种情况，而漏掉相交两圆圆心还有可能在公共弦同侧的情形，如图 2712.图 2712【纠错】当两圆心位于公共弦两侧时，如图 2712，由上可得O1O221 cm.当两圆心位于公共弦的同侧时，如图 2712，延长 O2O

16、1交 AB于点 C，连结 O1A，O2A，则 O1O2 17282 102821569(cm)这两圆的圆心距 O1O2为 21cm 或 9cm.名师指津画两圆相交的图形时，同学们往往习惯把公共弦画在两圆圆心之间，忽略了公共弦可能在两圆圆心同旁的情况解答几何题时，若条件没有加以设定，应该将各种情况都考虑进去， 避免出错1已知O1的半径 r12，O2的半径 r2是方程3x2x1的根，O1与O2的圆心距为 1，那么两圆的位置关系为()A内含B内切C相交D外切【解析】解方程3x2x1，得 x3.r12，O1与O2的圆心距为 1，321，两圆内切【答案】B2 如图 2713， AB 为半圆 O 的直径，

17、AD， BC 分别切O 于 A，B 两点，CD 切O 于点 E， AD 与 CD 交于点 D，BC 与 CD 交于点 C，连结OD，OC，有下列结论：OD2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD12CDOA；DOC90.其中正确的是()ABCD【答案】A【解析】连结 OE，如解图.AD 与O 相切，DC 与O 相切，BC 与O 相切，DAODEOOBC90，DADE，CECB，ADBC，CDDEECADBC，选项正确在 RtADO 和 RtEDO 中，ODOD，RtADORtEDO(HL)，AODEOD.同理：RtCEORtCBO，EOCBOC.又AODDOEEOCCOB180，2(

18、DOEEOC)180，即DOC90，选项正确DOCDEO90.又EDOODC，EDOODC，ODDCDEOD，即 OD2DCDE，选项正确S梯形ABCD12AB(ADBC)12ABCDCDOA，选项错误由 OD 不一定等于 OC，知选项错误3如图 2714，在 RtAOB 中，OAOB32，O 的半径为 1， 点P 是 AB 边上的动点， 过点 P 作O的一条切线 PQ(点 Q 为切点)， 则切线 PQ 的最小值为【解析】连结 OP，OQ，如解图.PQ 是O 的切线，OQPQ.根据勾股定理，知 PQ2OP2OQ2，当 OPAB 时，线段 PQ 最短在 RtAOB 中，OAOB3 2， AB 2OA6，OPOAOBAB3，PQ OP2OQ2 321222.【答案】224如图 2715，O 的半径为 4cm，直线 l 与O交于 A，B 两点，AB4 3 cm， P 为直线 l 上一动点，以 1 cm 为半径的P 与O 没有公共点 设 POd(cm)， 则 d 的取值范围是【解析】连结 OP，如解图O，P 的半径分别为4cm，1cm，P 与O 没有公共点，当 d5 时，两圆外离；当两圆内切时，过点 O 作 ODAB 于点 D，连结 OP，则 OP413(cm)，OD 42（23）22(cm)，当两圆内含时，2d3.【答案】d5 或 2d35 如图 2716， AD 是O 的切线