复变函数教学—习题课副本学习教案

1、会计学1复变函数教学复变函数教学习题课副本习题课副本第一页，编辑于星期一：十二点 八分。2重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算第1页/共14页第二页，编辑于星期一：十二点 八分。3有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数第2页/共14页第三

2、页，编辑于星期一：十二点 八分。4 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方的两个可能方向中的一个作为正方向向( (或正向或正向), ), 那末我们就把那末我们就把C理解为带有方向理解为带有方向的曲线的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为第3页/共14页第四页，编辑于星期一：十二点 八分。5, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分

3、点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 第4页/共14页第五页，编辑于星期一：十二点 八分。6,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增

4、加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 第5页/共14页第六页，编辑于星期一：十二点 八分。7（1 1）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则第6页/共14页第七页，编辑于星期一：十二点 八分。8;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;

5、d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线第7页/共14页第八页，编辑于星期一：十二点 八分。95. 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理) . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那

6、末积分析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数第8页/共14页第九页，编辑于星期一：十二点 八分。10. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是因此因此zffzFzz . )(一个常数

7、一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )第9页/共14页第十页，编辑于星期一：十二点 八分。11 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析

8、内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值值.则有则有是圆周是圆周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf第10页/共14页第十一页，编辑于星期一：十二点 八分。12. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 第11页/共14页第十二页，编辑于星期一：十二点 八分。13. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部和虚部都是它的实部和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.第12页/共14页第十三页，编辑于星期一：十二点 八分。14. . , , 的共轭