数形结合思想方法的教学设计研究—以初中数学函数为例

1、 齐鲁师范学院齐鲁师范学院本科毕业论文本科毕业论文( (设计设计) ) 题目：数形结合思想方法的教学设计研究以初中数学函数为例 Several form combining ideas teaching design research methods-In junior high school math functions, for example 学学 院院 数学学院 专专 业业 数学与应用数学 班班 级级 2011 级 2 班 学学 号号 20110811093 姓姓 名名 商 指导教师指导教师 李 齐鲁师范学院教务处制二一五年六月 齐鲁师范学院学士学位论文原创性声明齐鲁师范学院学士学位论

2、文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日齐鲁师范学院关于论文使用授权的说明齐鲁师范学院关于论文使用授权的说明本人完全了解齐鲁师范学院有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日

3、 年 月 日数形结合思想方法的教学设计研究以初中数学函数为例摘要摘要数学的精髓便是数学思想方法，而数形结合思想方法在数学思想中占据重要的地位，在初中数学中经常会用到。掌握数学思想方法可以加深对数学概念、公式、定理的理解，从而为解题打下坚实的知识基础，还可以提高思维能力。“数”与“形”是紧密相连的两个重要部分，它们之间经常相互转化，相辅相成。本文在对有关数形结合思想教学设计研究的进行综述基础上，提出了进一步研究数形结合思想方法的意义及价值，分析了数形结合思想方法在教学中存在的主要问题，结合具体案例提出了数形结合在初中函数教学中应用策略。关键字：关键字：初中；函数；数形结合；思想方法；教学设计Se

4、veral form combining ideas teaching design research methods-In junior high school math functions, for example ABSTRACTMathematics is the essence of mathematics thought method, and the number form combining ideas method occupies important position in the mathematical thought, in the junior middle sch

5、ool mathematics we often used.To grasp the method of mathematical thinking can deepen the understanding of mathematical concepts, formulas, theorems, thus to lay a solid basis of knowledge for problem solving, can also improve the ability of thinking.Number and form is closely linked to two importan

6、t parts, often reciprocal transformation between them, supplement each other.Based on the number form combining ideas were summarized based on the study of the teaching design, proposed further study number in combination with the significance and the value of ideas, analyzes several form combining

7、ideas in the main problems existing in the teaching, according to the specific case application in number form combined with the function of the junior high school teaching strategies.KeywordsKeywords：Junior high school；Functions；The number of combination form；Thinking method；The teaching design 目 录

8、1、数形结合思想教学设计研究的综述.1（1）以形助数.1（2）以数辅形.1（三）数形转换.1 2、数形结合思想方法的研究意义及价值.1（1）数形结合思想在国内外研究的现状.1（2）数形结合思想方法的研究意义.2（3）数形结合思想方法的研究价值.2 1、激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣.2 2、提高课堂效率，有效地达教学目标.2 3、提高解题能力，促进思维发展.23、数形结合思想方法在教学中存在的问题.3（1）“灌输式”教学束缚了学生思维发展 .3（二）“题海战术”让学生思维停留在操作层面.3（3）“识图”与“作图”能力的规范性与整体性思考.3（四）知识本身的认识困难.34、数形结合思想方

9、法教学设计策略.4（1）由“数”到“形”，将条件直观化.4 1、案例一：一次函数在教学中的应用.4 2、案例二：二次函数在教学中的应用.5 3、案例三：三角函数在教学中的应用.5 4、案例四：反比例函数在教学中的应用.6 （二）从“形”到“数，寻求等量关系 . .7 1、案例一：一次函数在教学中的应用.7 2、案例二：二次函数在教学中的应用.8 3、案例三：三角函数在教学中的应用.8 4、案例四：反比例函数在教学中的应 . . 9 参考文献.9 1、数形结合思想教学设计研究的综述华罗庚先生说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

10、切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”从华罗庚先生这短短的几句话可以看出数形结合是十分重要的。数学中存在两个最基本的概念，即“数”与“形”，数学就是围绕着它们而展开，数学教育也是围绕他们进行一系列的教学设计和课堂教学活动。利用数形结合会带给学生们意想不到的结果，可以使许多抽象的数学问题在视觉，感觉上变得十分地直观、生动，使学生能更好地掌握数学的内在本质。学生们做作业时学会运用数形结合，可以让许多看似复杂的问题变得一目了然，在解题过程中就会变得很容易，迎刃而解。数形结合让学生解题时减少了复杂的数学计算，可以起到降低难度，减少论证复杂程度的作用。数形结合思想始终是国内外学者和一线教师们研究

11、的焦点问题，有关数形结合思想的教学设计研究成果众多，涉及面广。查询 cnki 期刊数据库和在网上搜索，研读相关文献，总结数形结合教学设计研究大致可以分为以下三类：（1）以形助数 “以形助数”就是指“借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质。”在利用数学思想解决实际问题时，通过运用简单的几何图形，可以将抽象的题意、数据具体化。将抽象化为具体，使复杂的问题转化为简单的问题，这样就达到了事半功倍的效果。当学生面对一些实际问题中的许多代数式时, 比如说有关方程或着是不等式的问题，如果我们用图形的形式把这些问题直观的表示出来, 问题的结果

12、便可以清楚地看出来，在教学过程中提高了教学效率，同时，还这样还可以让学生的抽象思维得到发展。此外，“以形助数”对学生的逻辑思维能力的培养起了至关重要的作用，提高了学生解决问题的思维想象空间。（二）以数辅形 “以数辅形”就是指“借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性。”随着数学的发展，人们对其研究不单单仅限于图形的研究，通过研究图形的外表，能够发现问题本身内在的某些数量关系，从而探索出将图形转化到数量时，它们之间的联系以及规律。这样就将数学中的图像信息转化为代数信息，将很难想象的几何图形问题转化为容易理解的代数问题，减

13、少几何图形中所用到的逻辑推理部分。（三）数形转换 “数形转换”就是指：“将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化。”我们应该做到心中有图，看见代数就能想像出图形来。只有这样在解决数学问题当中，才能够轻松地完成数与形之间的转换。根据具体的实际问题将画图推理的问题转化成代数问题，或者是将代数问题转化成几何问题，哪一种转化更适合，我们就用哪一种，使得问题更加简单化。二、数形结合思想方法的研究意义及价值（一）数形结合思想在国内外研究的现状 在数学教育教学的过程中，经常会公道很到教学方法，数形结合便是其中一种重要的教学方法。有关于对其研究

14、，很早就吸引了许多国内外学者的兴趣。笛卡尔创造了直角坐标系，以坐标为桥梁，通过将点与数建立某种关系，方程与曲线之间建立起某种联系，使数形结合思想发展迅速。我国宋元时期，数形结合的思想方法就已经被运用了。近年来，我国数学家有关对数形结合思想的教学研究论文很多，有代表性的研究，如 2003 年徐龙炳提出数学教育既要培养“数感”也要培养“形感”；2005 年，罗新兵在其论文中总结了数形结合的基本特点；2010 年傅学府在期刊中发表了论文数形结合在中学解题中的应用，他指出根据问题的条件和结论的内在联系，分析其中的代数含义，揭示它的几何意义，并且将数量关系和空间形式有效地，灵活地结合了起来。数形结合思想

15、的应用范围并不仅限于做题，在其他地方也经常会用到，范围广泛，目前对它的研究仍学要我们去不断地探索。（2）数形结合思想方法的研究意义 数学中有两大块基石，它们便是“数”与“形”，它们是数学中最基本的两个研究对象，同时也是数学发展中的两个最重要的内在因素,对于数形结合的研究可以让学生们在实践应用中占据有利的位置。当学生在解决实际应用问题时，“数”与“形”之间进行语言信息转换,他们之间相互渗透,相互转化，不仅能使学生在解决问题时简捷明快,同时还拓宽了学生思考问题的思路。数形结合把抽象的问题转化为直观的问题，让学生可以更加直观的看清并且解决问题，揭示问题的内涵，拓宽了学生的视野与思路。数形结合思想的教

16、学，可以培养学生的形象上的思维、抽象上的思维、直观感觉上的思维能力，而初中阶段正是学生数学思维开始形成和发展的起始时期，在初中阶段中适当的向学生渗透数形结合思想，对于学生的思维能力的培养具有重要的意义。（3）数形结合思想方法的研究价值1、激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣 学生缺少学习动机，缺少对数学学习的激情与热爱，就会使数学变得暗淡无色。数形结合的思想方法却可以充分的调动学生们的学习热请，使他们融入到学习当中去。随着科技的发展，计算机已在我们的生活中必不可少，我们可以利用电脑等媒体将一些抽象的空间几何物体通过动画的形式展现给学生们。这样数与形的结合，清晰直观的展示，可以激发他们的学习动

17、机，将课堂充分的调动了起来，培养了学习兴趣。 2、提高课堂效率，有效地达成教学目标 数与形相结合，将其融会到课堂中，不仅有利于揭示数学学科的本质，也将生动形象的情景也融入到题意当中，打破沉闷的课堂氛围，振奋学生的精神，避免学生走神，使其集中了上课的注意力。数学的学习过程本身就带有枯燥色彩，上课时，学生们也很容易走神，不会把精力全神贯注到浩瀚的数学海洋中。数形结合的思想方法的运用，使得枯燥的课堂变得更加积极活跃，学生参与学习过程的积极性更高，更有利于提高课堂的教学效率和效益，有效地达成教学目标。 3、提高解题能力，促进思维发展 面对一道抽象的题意，学生们会感到茫然，不知所措，百思不得其解。数形结

18、合思想方法应用，可将复杂、抽象难以理解的实际问题变得不管是在视觉还是解题上简单化、直观化，使学生能够把握题意的内涵，建立研究对象之间的关联关系，形成问题解决模型，使学生的解题能力得到有所提高。对于初中生而言，逻辑思维能力已经基本形成，运用数形结合，将学生的抽象思维向形象思维过渡、发展，拓展学生思维发展的空间。三、数形结合思想方法在教学中存在的问题（一）“灌输式”教学束缚了学生思维发展 虽然现在一直在倡导素质教育、新课改，但传统的教学模式影响还是处处存在的。面对四十五分钟的课堂，教师们上课时间十分地紧张并且上课时间有限，他们面对如此繁重的教学任务，经常会越俎代庖，一味的单项灌输知识，缺乏从数形结

19、合的角度深刻剖析知识产生的来源和形成过程。课堂教学中常常会出现老师大量的讲解练习题，忽略了让学生们自己动脑去思考，动手去画图；由老师自己动手画图讲解，束缚、禁锢了学生的思维，一味的讲解一个个实际问题，造成了学生对数形结合思想方法上升不到更高的阶段，以及思维空间想象的训练与指导也会造的忽略。有些老师担心让学生画图耽误时间，老师自己画图和讲解就可以多讲一些题目，以至于老师自己解题，替代学生，导致学生不会思考，不会解决问题。这样就造成了学生对老师具有依赖性，每次面对有画图的问题就不会去思考，只想着老师来给绘画，动口不动手，这样，限制了学生的思维发展，同时也阻碍了数形结合的思想的进步，一些有效的效果就

20、得不到体现了。（二）“题海战术”让学生思维停留在操作层面 传统的应试教育最突出的特点就是“练”，即让学生做大量的练习。“题海战术”是传统的应试教育中最突出也是最常见的表现形式之一，是目前我国中小学，尤其是一些名牌学校（包括一些大学）的主要教育方式。学生们整天大部分的时间就是进行大量的训练，这样的方式并没有促进学生思维的发展，只是让学生的逻辑思维停留在了操作层面上。学生们面对大量的练习，只是走马观花，不会深入思考，更别提什么举一反三了。虽然题海战术提高了学生们的成绩，但从长远看，打击了学生们的学习动机，降低了积极性。学生们的大脑只是停留在把题完成，却没有更好的利用数形结合的思想。因此，这样的“题

21、海战术”妨碍了数形结合的思想方法的发展，对其起了冲击作用。同时也将阻碍数形结合的思维发展。（三）“识图”与“作图”能力的规范性与整体性思考学生运用数形结合在解决问题时在“识图”与“作图”上常常会存在一系列的误区。学生在做作业时，不管是形转化成数，还是将数转化成形，经常会因为绘图的不规范或者是绘图的不全面是问题得不到正确的解决，从而对学生们学习的效率，学习成绩造成了阻碍。譬如，学生们画图时不用铅笔，画错了不能修改，在原图上继续绘画；不利用直尺或着其它的绘图工具，学生们只是凭着自己的感觉作图。这样就造成了在解决函数值域、定义域等问题时存在错误的可能性。利用数形结合思想方法将代数转化成图形时应该画整

22、体的图形，局部的图形有时并不能表示整体的特征，往往会将问题简化，解错。（四）知识本身的认知困难 有关数形结合的知识，其本身带有一定的困难性，学生们对数形结合的掌握与解决问题时所用的方法无非就是两个方面：“形”到“数；“数”到“形”。在探究的过程中大量实例验证了由图形转化位数字语言较为困难一些，根据所给的图形，从中我们必须发掘出有用的数学信息，往往并不是一眼就能看出的，很多都是需要我们进行推敲才能获得的。有时，我们根据所给出的数据准确的画出了相对应的图形，但是有些问题依然在图中找不到直观的表达。这样就造成了数形结合思想方法知识本身的认知困难。 四、数形结合在初中函数教学中的应用 数学中有许多重要

23、的部分，其中函数在数学中地位颇为重要。初中生已经具备了逻辑思维能力，学生们在学习过程中经常会遇到关于利用数形结合来求解的问题。从初一开始接触函数，建立直角坐标系(x,y)，x 与 y 一一对应，慢慢的到了初二正式引入函数的概念，学习了一次函数。在初中的最后一年，学生们又学到了三角函数，此外还有二次函数，函数问题在整个数学当中必不可少，解决该类问题方法虽然很多，但数形结合是一种比较有效，快速地方法。一次函数是反映数量关系和变化规律的数学模型；是初中数学最基本和简单的一种函数，课本是在给函数描述性定义之后，按照“解析式图象性质应用”来展开的。学习一次函数就要学会运用待定系数法、数形结合方法。而且数

24、形结合思想在一次函数中的应用是中考的一个热点，解一次函数应用问题时，如果能将“数”与“形”结合，就可以使一些看似比较复杂的问题降低难度，变得简单点，同时也可以让一些比较抽象难理解的问题变得形象、容易理解。此外，学生学习了一次函数之后，又学习了二次函数。这类问题跟一次函数类似。初三学生开始接触三角函数、反比例函数，但并不深入，只是一些比较基础的题目。下面我们就通过一些具体的例字来具体探究一下数形结合思想在初中函数教学中的应用。（1）由“数”到“形”，将条件直观化 1、案例一：一次函数在教学中的应用 例 1-1-1：=+1 的图像在哪几个象限。面对这类问题，学生看着该函数式子根本就无从下手，yx2

25、但是，如果能够找到函数上的两个点，画出一次函数的图像，问题就一目了然了。该函数图像过（0,1），（1,3）点，依据这两个点，学生们就可以绘出图像 1-1-1。所以，我们可以清楚地看到y=2x+1 的图像在第一、二、三象限。 图 1-1-1 例 1-1-2：若经过点（ 2，-6）和点（ 5，3）的一条直线，该直线与轴的交点坐标为 x。面对这类问题，我们一开始并不能想到该直线与轴的交点为哪一个，但是我们知道两点x可以确定一条直线，根据给出的两个坐标点可以准确的画出这条直线，如图1-1-2，所以，通过图像就可以清楚地看到这条直线与轴的交点坐标为（ 4,0）。x 图 1-1-2 2、案例二：二次函数在

26、教学中的应用 例 2-1-1： 抛物线=2(-3) 的顶点在( )yx2A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上D. y 轴上 我们可以画出抛物线的图像，如图 2-1-1，这样就一目了然的看出，顶点在轴上。x 图 2-1-1 3、案例三：三角函数在教学中的应用例 3-1-1：在大海中有一艘渔船向着东行驶，在 A 处看见指路灯 C 在东北方向，又向前行驶到 B处看见指路灯 C 在北偏西 30，又向前行驶了半小时，可以看见指路灯 C 恰好在西北方向，如果渔船的速度为 20 海里/小时，那么你能求出渔船行驶了多长吗？看着题意看似很难，不知道怎么去解，但是，我们根据题意画出图形（如图 3-1-1

27、）就会很直观的看清题意，将给出的题意转化到图形中，很容易就能解答出来。 图 3-1-1通过题意可以很容易地知到 ACD 是等腰直角三角形，但是要求 AD，不能直接就利用 ACD 求得，因为 BD=201/2=10,在上述图中，我们已经找不到其他的直角三角形了，因此必须得构造直角三角形解题才能继续。所以，在上图中作 CEAD，垂足为于 E，我们只要算出 CE 的长度，就可以知道 AD 的长度，再根据两个直角三角形（BCE 和 DCE）中，BE、DE 与 BD 之间的关系以及 BE 与 CE 之间的关系就可求 CE。解作 CEAD，垂足为 E，设 CE=海里xCAD=CDA=90-45=45，CE

28、=AE=DE=x在 RtBCE 中，CBE=90-30=60，BE=CEcot60=,x33 由 DE-BE=BD 得， -=,xx332021解得=15+5x3AD=2=30+10(海里)x3答：渔船行驶了 30+10海里。3 4、案例四：反比例函数在教学中的的应用 例 4-1-1 ：反比例函数=-的图像在哪些象限，具有什么变化规律？此类问题也是数形结合yx9的问题，我们可以根据给出的函数式作出图像就会清楚的看到，它的图像在二、四象限，的值随着y的增大而增大。x（二）从“形”到“数”，寻求等量关系 1、案例一：一次函数在教学中的应用 例 1-2-1 如图，对于一个正比例函数，一个一次函数=-

29、+1，两者的图像相交于一个点 P，该yx正比例函数的表达式是_ 我们从所给图形中找取有用的数学信息，那就是相交的 p 点为（3,2），因此设=,代入ykx（3，2）可以解出=，所以解析式为：=，面对此类问题思路一般为从图像中找出有用的相k32yx32关坐标，设出方程，将点代入即可求出。 2、案例二：二次函数在教学中的应用 二次函数求解析式问题与上述一次函数类似，在这我们就不做过多的探究了，下面我们探究另一图 1-2-1 个例子。 例 2-2-1：对于一个二次函数=+，该函数的图象如下图所示，则该二次函数的对称轴y2xbxc是 ，当函数值0 时，对应的取值范围是 .yx 像这类的题目很简单，从图形中就能找到，由于二次函数是轴对称图形，在上面所给图形中交点（-3,0），（1,0）是函数与轴相交的两个点，所以对称轴就为