2020年广东省揭阳市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

1、2020 年广东省揭阳市高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）1. 已知集合 M=x|-1<x<1 ，则 MN=（）A. B.C. x|0 x<1D.2. 复数 的共轭复数的虚部为（ ）A.B.C.D.3. 在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a1=3，前三项和为 21，则 a3+a4+a5=（）A. 33B. 72C. 84D. 1894. 已知向量 =（ 1， m）， =（ 3， -2），且（ + ），则 m =（ ）A.B.C. 6D. 85. 已知双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是 2，则实数 m的值为（）A.B.C.D.6.

2、某公司 2018 年在各个项目中总投资 知在 1 万元以上的项目投资中，少于 项目投资共有（ ）500 万元，如图是几类项目的投资占比情况 .已3 万元的项目投资占，那么不少于 3 万元的第 19 页，共 17 页A. 56 万元B. 65 万元C. 91 万元7. 如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为（）A.B.C.D.8. 我国古代数学专著九章算术中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚 五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日 相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目， 执行该程

3、序框图， 若输入 x=20 ，则输出的结果为（）A. 3 B. 4C. 5D. 69. 设函数 ，则下列结论错误的是（）A. 为 的一个周期B. 的图象关于直线 对称C. 的一个零点为D. 的最大值为 210. 以下四个数中，最大的是（ ）A. B. C. D.11. 设 F1、F2是椭圆的左、右焦点， P 为直线 x=2a 上一点，F2PF1是底边为 PF1的等腰三角形，且直线 PF1的斜率为 ，则椭圆 E 的离心率为 （）A. B. C. D.12. 已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存 在点 ，且 ， 关于原点对称，则实数 的取值范围是：A. B. C. D.二、填空题（本大题共

4、 4 小题，共 20.0 分）13. 若 x，y 满足约束条件，则 z=3x-2y 的最小值为 14. 展开式中 x2 的系数为 15. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S4=10，S8=36，当 nN*时， 的最大值为16. 已知底面为矩形的四棱锥 S-ABCD 的各个顶点都在半径为 2 的球面上，且 ，则四棱锥 S-ABCD 体积的最大值为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知 ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，且（1）若 C=60°且 b=1，求 a 边的值；2）当时，求 A 的大小18. 已知

5、如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，E、F 分别为 PC 的三等分点1）证明： AF/平面 EBD ；2）已知 AP=AD =1，AB=2，求二面角E-BD-A 的余弦值19. 已知抛物线 C： x2=4 y的焦点为 F，过点 P（ -2， 2）的直线 l 与抛物线 C交于 A，B 两点（1）当点 P为 A、B的中点时，求直线 AB 的方程；（2）求 |AF|?|BF |的最小值20. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值 m25m< 3515m< 25或 35m< 450< m< 1

6、5 或 45m 65等级一等品二等品三等品某企业从生产的这种产品中抽取100 件产品作为样本， 检测其质量指标值， 得到下图的频率分布直方图（同一组数据用该区间的中点值作代表）：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品 至少要占全部产品 82%”的规定？（2）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测， 产品质量指标值 X 近似满足 X N（ 31，122），则“质量提升月”活动后的质量指 标值的均值比活动前大约提升或降低多少？（3）若企业每件一等品售价 180 元，每件二等品售价 150 元，每件三等品售价 120 元，以样本中的频率代替

7、相应概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的 费用为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望21. 已知函数 f（x）=ex-m（ x+1）+1（mR）（1）若函数 f（x）的极小值为 1，求实数 m 的值；（2）当 x0时，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围22. 在直角坐标系 xOy 中，直线，圆 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求 C1，C2 的极坐标方程；（2）若直线 C3的极坐标方程为，设 C1与 C2 的交点为 O，A，圆 C2与C3的交点为 O， B，求OAB 的面积23. 已知正实数 x，y 满足 x+y=1（1）解关于 x 的不等式；（

8、 2）证明： 答案与解析 1. 答案： A解析： 解： ；故选： A 可以求出集合 N，然后进行交集的运算即可 考查描述法的定义，以及交集的运算2. 答案： B解析： 解： = = ，解析： 解： ，复数 的共轭复数为 复数 的共轭复数的虚部为 故选： B 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 答案： C解析： 【分析】本题主要考查了等比数列的性质 要理解和记忆好等比数列的通项公式， 并能熟练灵活 的应用根据等比数列 an中，首项 a1=3，前三项和为 21，可求得 q，根据等比数列的通项公式， 得 a3+a4+a5=( a

9、1+a2+a3) q2，整体代入即可得到答案【解答】解：在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a1=3，前三项和为 21故 3+3q+3q2=21 ，q=2，22a3+a4+a5=( a1+a2+a3) q =21×2 =84故选： C根据等比数列 an中，首项 a1=3，前三项和为 21，可求得 q，根据等比数列的通项公式， 分别求得 a3，a4和 a5 代入 a3+a4+a5，即可得到答案4. 答案： D解析： 【分析】 本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题求出向量 + 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m 的方程，求解即可【解答】解： 向量 =(1，m)，

10、=( 3，-2)， + =（4，m-2），又 （ + ），（ + ） =12-2（ m-2）=0，解得 m=8.故选 D5. 答案： C解析： 解： 双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是 2，实轴在 y 轴， m<0，m=-1故选： C 利用双曲线的虚轴长是 2，列出方程，可求得 m 的值 本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题6. 答案： B解析： 【分析】根据题意，在 1万元以上的项目投资中，少于 3 万元的项目投资占 ，可得不少于 3万元的项目投资占比为 ，而 1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21% ，即可得到那么不少于 3 万元的项目投资

11、本题考查了扇形图的读图识图能力，属于基础题 【解答】解：由题意，因为在 1 万元以上的项目投资中，少于 3万元的项目投资占 ，所以在 1 万元以上的项目投资中，不少于 3 万元的项目投资占比为，而 1 万元以上的项目投资占总投资的比例为 1-46%-33%=21% ，所以不少于 3万元的项目投资共有 500×21%× =65 万元，故选： B7. 答案： D解析： 【分析】 本题考查的知识点是由三视图求体积， 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是 解答本题的关键由三视图得到长方体的长宽高， 求出长方体的体积及所截三棱锥的体积， 即可得出答案 【解答】解：还原几何体如图

12、所示：由长方体 ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的多面体的三视图， 及 AB=4， BC=3，CC1=2 可得长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长宽高分别 4，3，2 故长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积为 V 长方体=4×3×2=24，截去一个角即 A-A1B1C1 的体积为 V 三棱锥 = ×（ ×4×3） ×2=4，则这个多面体的体积为 V=V 长方体-V 三棱锥=24-4=20 故选 D8. 答案： C 解析： 【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断， 利用模拟运算法是解决本题的关键 考查学生的 计算能力【解

13、答】解：若 x=20，则 T=1+1=2 ， S=0+2=2 ， S<20,是， a=2，b= ，n=2T=2+， S= +2=，S<20,是， a=4，b= ，n=3，T=4+ = ， S= + = ，S<20,是，a=8，T=8+=， S< 20,是， a=16， b= ，n=5，=T=16+， S= + = ，S< 20,否，程序终止，输出，n=5，故选： C9. 答案： D 解析： 【分析】 本题主要考查诱导公式、余弦函数的性质，属于基础题 由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的性质得出结论 【解答】解： 函数=cos2x+ cos2x=（

14、+1） cos2x，故它的周期为 =，故 A 正确；x= 对称，故 B 正确；当 x= ，求得 f（ x）=-（ +1），为最小值，故它的图象关于直线当 x= ，求得 f（x）=0，故 f（ x）的一个零点为 x= ，故 C 正确； 由于 f（x）的最大值为+1，故 D 错误，故选 D 10.答案： B解析： 解：令 f（ x） = ，则 f（ x）=，所以 xe 时， f（ x）0，f（x）在 e， +）上递减，e< 3< <15，f（e）> f（3）> f（）> f（ 15 ），即 lne >ln3 > ln >ln15 > ln

15、15 ，即 > ln > > ln15，故选： B构造函数 f（x）= ，通过求导得到 f（x）在 e，+）上递减，可得最大值 本题考查了导数的应用以及不等式比较大小，属中档题11.答案： A 解析： 【分析】 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题利用 F2PF1是底边为 PF1的的等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根据 P为直线 x=2a 上一 点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】P为直线 x=2a上一点，直线 PF1的斜率为 ，在 PDF 1中，则 ,又 PDF 2 是直角三角形， 可得 13e2+16e-20=0 ，e=

16、 = ， e=-2（舍去），故选： A12.答案： C解析： 【分析】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数关于原点对称的函数，条件转化为f（ x）=h（ x）在 x2上有解，利用数形结合是解决本题的关键先求出 g（x）关于原点对称的函数 h（x） =ax+3，条件转化为 f（ x） =h（ x）在 x2 上有解，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（ x）= ax-3 关于原点对称的函数为 -y=-ax-3，即 y=ax+3，若函数 g（x） = ax-3 的图象上存在点 Q，且 P，Q 关于原点对称，则等价为 f （ x） =ax+3 在 x2上有解即可，则 fx）即

17、 2x+ =ax+3，在 x2上有解即可， 设 h（ x）=ax+3，由 f（ x）> 0得 1<x2，此时函数为增函数，由 f（ x）<0 得 x<1，此时函数为减函数，即当 x=1 时， f（x）取得极小值同时也是最小值，为f（1）=3，即 B（ 1，3），当 x= 时， y=1+4=5 ，即 A（ ， 5），要使 f（ x） =h（x）有解，则当 h（x）过 B时， a=0，过 A 时， a+3=5，得 a=4， 即 0a 4，故选： C13.答案： 0解析： 解：由 z=3x-2y 得 y= x- ， 作出不等式组对应的平面区域如图 （阴影部分） 平移直线 y=

18、 x- ，由图象可知当直线 y= x- 经过点O 时，直线的截距最大， 此时 z最小， 将 O（ 0，0）代入目标函数 z=3x-2y， 得 z=0 故答案为： 0 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的 几何意义，即可求出结果本题考查线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法14.答案： 5 解析： 解：因为（ 1+x）4 展开式的通项为 Tr+1= xr ，所以 展开式中 x2 的系数为 - =5，故答案为： 5由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为（1+x）4 展开式的通项为 Tr+1= xr，所以展开式中 x2 的系数为 - =5，得解 本题考查了二项式定理及其展开式

19、的通项公式，属中档题=15.答案：解析：解：等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S4=10，S8=36，设首项为 a1，公差为 d，则：，解得所以： a1=d=1，： an=a1+（n-1） d=n，则：，所以：当 取最小值时， 取最大值即：当 n=3 时，故答案为：代入棱锥的体积公式计算即首先利用已知条件建立方程组， 进一步求出数列的通项公式， 再利用基本不等式的应用 求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，基本不等式 的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16.答案： 3 解析： 解：设球心为 O，矩形 ABCD 的中心为 M，则 O

20、M 平面 ABCD ，AB=3，BC= ，BM= BD= ，OM=1，棱锥的顶点 S到平面 ABCD 的最大距离为 2+1=3 ， 棱锥的最大体积为 V= =3 故答案为： 3 计算球心到平面 ABCD 的距离， 从而得出棱锥的最大高度，可本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查棱锥的体积计算，属于中档题17. 答案： 解：（ 1）由，得 ，a=2 b?sinC，C=60 °且 b=1，a=；（ 2）当时， ，= b2+c2-2bc?cosA，即，得 sin（ A+30°）=1 A（ 0°，180 °）， A+30 °（），则 A+30°

21、;=90°，得 A=60°解析：（1）由已知可得 a=2 b?sinC，把 C=60°且 b=1 代入即可求得 a边的值；（2）由求得 ，再由 结合正弦定理及余弦定理求得 sin（ A+30°）=1再由 A 的范围求解本题考查三角形的解法，考查数学转化思想方法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是 中档题18. 答案：（1）证明：连接 AC交于 BD点O，连接 EO因为 ABCD 为矩形，所以 O为AC的中点又E、F分别为 PC的三等分 点，E 为 CF 的中点，所以 AF EO因为 EO? 平面 BDE ，AF ? 平面 BDE， 所以 AF平面 EBD

22、（ 2）解：以 A 为原点， AD、AB、AP的分别为 x， y， z轴方向建立空间直角坐标系， 如图所示由条件可得 D（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0）， P（0，0，1）， 为平面 ABD 的一个法向量，设面 BDE 的一个法向量为，则，即取 y=1 ，则 x=2 ， z=-2 ， 所以所以二面角 D -AE-C 的余弦值为 解析： 本题主要考查二面角的平面角的求法， 直线与平面平行的判断定理的应用， 考查 转化思想以及计算能力（1）连接 AC交于BD点O，连接 EO证明 AFEO，推出AF平面EBD（2）以 A 为原点， AD、AB、AP 的分别为 x， y， z轴方向建

23、立空间直角坐标系，求出 平面 ABD 的一个法向量，面 BDE 的一个法向量，然后求解二面角 D-AE-C 的余弦值19. 答案： （1）解法 1：设 A（x1，y1）， B（x2，y2），显然 x1x2，两式相减得， k=-1所以直线 AB 的方程为 y-2=- （ x+2）即 x+y=0解法 2：设 A（x1，y1）， B（ x2， y2），显然直线 l 有斜率， 设 l 的方程为 y=k（x+2） +2联立方程，消去 x 整理得 y2-4（k2+k+1）y+4（k+1）2=0由 解得 k=-1（k=0 明显不成立）所以直线 AB 的方程为 y-2=-（ x+2）即 x+y=0解法 3：设

24、 A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线 l有斜率，设 l 的方程为 y=k（x+2）+2 联立方程，得 x2-4kx-8（ k+1） =0，所以 x1+x2=4k，又，解得 k=-1 ， 所以直线 AB 的方程为 y-2=- （ x+2），即 x+y=0（ 2）解法 1：显然直线 l 有斜率，设 l 的方程为 y=k（ x+2） +2设 A（x1，y1）， B（ x2， y2），由抛物线定义可知 |AF|=y1+1，|BF|=y2+1， 所以 |AF|?|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（ y1+y2）+1联立方程 ，消去 x 整理得 y2-4（k2+k+1）y+4（ k+

25、1）2=0， 所以所以当时， |AF|?|BF|取得最小值，且最小值为解法 2：由抛物线定义可知 |AF|=y1+1， |BF|=y2+1，所以 |AF|?|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（ y1+y2）+1，由（ 1）知 x1x2=-8（ k+1），得，y1+y2=k（x1+x2+4）+4=4k（ k+1） +4，所以所以当时， |AF|?|BF|取得最小值，为 解析： （1）解法 1：设 A（x1，y1）， B（ x2， y2），利用平方差法求出直线的斜率，然 后求解直线方程解法 2：设 A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线 l 有斜率，设 l的方程为 y=k（x+2

26、）+2， 联立方程 ，通过韦达定理转化求解即可解法 3：设 A（x1，y1），B（ x2， y2），显然直线l 有斜率，设 l 的方程为 y=k（ x+2）+2，联立方程，消去 y 得 x2-4kx-8k+1）=0，利用韦达定理转化求解即可2）解法 1：显然直线 l 有斜率，设 l 的方程为y=k（ x+2）+2，设 A（ x1，y1），B（ x2，推出 |AF|?|BF|=（y1+1）（ y2+1）=y1y2+x 整理得 y2-4（ k2+k+1）y+4（ k+1）2=0，y2），由抛物线定义可知 |AF|=y1+1，|BF|=y2+1，（ y1+y2）+1，联立方程，消去 利用韦达定理转化

27、，结合二次函数的性质求解即可解法 2：由抛物线定义可知 |AF|=y1+1，|BF|=y2+1，推出 |AF|?|BF|=（y1+1）（ y2+1）=y1y2+ （ y1+y2）+1，结合前边的解答，转化求解最小值即可本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20. 答案： 解：（1）根据抽样调查数据知， 样本中一等品和二等品共有： （0.5+0.18+0.12 ） ×100=80 （件） ,在样本中所占比例为 80%，因此不能认为这种产品符合规定 .（ 2）由频率分布直方图知，活动前样本的均值为： 0.02 ×10+0.18 ×20+0.

28、50 ×30+0.12 ×40+0.16 ×50+0.02 ×60=32.8 ，活动后的均值为 31，所以均值降低了 1.8；，二等品的概率3）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为三等品的概率为 ， 随机变量 X 的所有可能取值为 240，270，300，330，360所以 X 的分布列为：X240270300330360P（X）X 的数学期望解析： 本题考查频率分布直方图以及分布列的应用，期望的求法，考查计算能力，属于 中档题（ 1）根据抽样调查数据，求出样本中一等品和二等品总数，然后判断在样本中所占比例为 80%，因此不能认为这种

29、产品符合规定（ 2）由频率分布直方图，转化求解即可（ 3）求出随机变量 X 的所有可能取值为 240，270， 300，330，360，求出概率，得到 分布列然后求解期望即可21. 答案： 解：（ 1） f'（x）=ex-m，若 m0，则 f'（x）> 0，f（x）在（ -， +）单调递增，所以 f（x）无极值，若 m>0，当 x> lnm时， f'（ x）> 0，当 x< lnm时， f '（ x）< 0， f（ x）在（ -， ln m） 单调递减，在（ lnm， +）单调递增，所以 f（ x）的极小值为 f（ ln m），由 m-m（lnm+1）+1=1 ，解得 m=1（ 2）令（ x0）， 令 ， ，令 p（ x）=2（x+1）2ex-m，显然 p（x）