第7讲 两个随机变量的函数的分布ppt课件

1、二维离散型随机变量的函数分布二维离散型随机变量的函数分布 二维连续型随机变量的函数分布二维连续型随机变量的函数分布两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1;两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 设设(X,Y)为离散型随机变量，其分布率为离散型随机变量，其分布率P( X=xi, Y=yj)= pij ，又，又Z=g(X, Y) ( g(x, y)为一个已知的连续函数为一个已知的连续函数), 则则Z 是是离散型随机变量。离散型随机变量。那么如何计算那么如何计算 Z = g( X ,Y )的概率分布？的概率分布？(,)kkkijZzg xy(,)()(,),1,2,kkijkk

2、kkijg xyzP ZzP Xx Yyk 二维离散型随机变量的函数分布二维离散型随机变量的函数分布2; 例例1 1 设二维随机变量设二维随机变量( X,Y )的概率分布为的概率分布为求求X+Y，Y-X，XY，X/Y的概率分布的概率分布.3;4;5; 例例2 2 设设 X B (n, p), Y B (m, p), 且独立且独立，试证试证 X + Y B ( n+m, p). 证证 Z = X + Y 的可能取值为的可能取值为 0, 1, 2, , n + m.0(1)(1)kiin ik ik im k inmiC ppCpp (1)kkn m kn mCpp 0() ()kiP Xi P

3、Yki 0()(,)kiP ZkP Xi Yki 0kik iknmn miC CC 6; 设随机变量设随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为f(x, y)，z=g(x, y)为为R2上的连续函数，那么上的连续函数，那么Z=g(X,Y)是一连续型随机变量。是一连续型随机变量。二维离散型随机变量的函数分布二维离散型随机变量的函数分布 二维连续型随机变量的函数分布二维连续型随机变量的函数分布两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg),(),( 为求为求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函数的分布函数dzzdFzfZ

4、Z)()( 7; 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，现求，现求Z=X+Y的概率的概率密度。密度。)(zYXPzZPzFZ zDdxdyyxf),( ,)zyf x y dx dy 1. 和的分布和的分布zyx oxy 令令 ，则，则Z Z 的分布函数为的分布函数为),(zyxyxDz (, )zf uy y du dy(, )zf uy y dy duxyu8; 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，现求，现求Z=X+Y的概率的概率密度。密度。 1. 和的分布和的分布 令令 ，则，则Z Z 的分布函数为的分布函数为),(zyxyxDz (, )z

5、f uy y dy du)(zYXPzZPzFZ 由概率密度定义，即得由概率密度定义，即得Z的概率密度为的概率密度为 dyyyzfzfZ),()(由由X与与Y的对称性，又可得的对称性，又可得 dxxzxfzfZ),()(当当X与与Y相互独立时，有相互独立时，有 dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ)()()()()(其中其中 分别是分别是X和和Y的密度函数。的密度函数。 )(),(yfxfYX9; 例例3 3 设设 且独立且独立，试求试求 X + Y 的的密度函数密度函数.(0,1),(0,1)XNYN 解解 由已知由已知221( ),2xXfxe ( )( ,)Zfzf x zx dx

6、 22()221122xzxeedx 221( ).2yYfye ( )()XYfx fzx dy 22()2212xzxedx 22() 4212zzxedx 22()4212zzxeedx 10; 例例3 3 设设 且独立且独立，试求试求 X + Y 的的密度函数密度函数.(0,1),(0,1)XNYN 解解 由已知由已知221( ),2xXfxe ( )( ,)Zfzf x zx dx 224211222zteedt 221( ).2yYfye ( )()XYfx fzx dy 22()4212zzxeedx 24122ze 22ztx 2dtdx 11; 例例3 3 设设 且独立且独立

7、，试求试求 X + Y 的的密度函数密度函数.(0,1),(0,1)XNYN24122ze (0,2)ZN 一般地，可以证明：若一般地，可以证明：若 ,且相且相互独立，那么互独立，那么 2(,),1,2,iiiXNin 222121212(,)nnnXXXN 解解 由已知由已知221( ),2xXfxe ( )( ,)Zfzf x zx dx 221( ).2yYfye ( )()XYfx fzx dy 12; 例例4 4 设随机变量设随机变量R1 , R2相互独立，它们的密度函数均相互独立，它们的密度函数均为为 试求随机变量试求随机变量R=R1+R2的密度函数的密度函数10,010,( )5

8、00,xxf x 其其他他. . 解解 由已知由已知( )( ,)Rfzf x zx dx 12( )()RRfx fzx dx xzo1010z-x=0z-x=10 易知仅当易知仅当 亦即亦即 时，上时，上述积分的被积函数不等于零，如图所示，即可得述积分的被积函数不等于零，如图所示，即可得010,010,xzx 010,10 xxzx 13;其他121201010( )(), 010,( )(),1020,0, .zRRRRzfx fzx dxzfx fzx dxz 12100( )( )()RRRfzfx fzx dx xzo1010z-x=0z-x=10其他010101010, 010,

9、50501010,1020,50500, .zzxzxdxzxzxdxz 14;2331(60060),010,150001(20) , 1020,150000, .zzzzzz 其其他他其他121201010( )(), 010,( )(),1020,0, .zRRRRzfx fzx dxzfx fzx dxz 12100( )( )()RRRfzfx fzx dx 15;解解 X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为2221( )2yYfye 由于由于X与与Y相互独立，于是相互独立，于是(X, Y)的概率密度为的概率密度为 222221( , )( )( )2xyXYf x yfx fye

10、 2221( )2xXfxe 例例5 设设 且且X与与Y相互独立，相互独立，求求 的概率密度。的概率密度。), 0(), 0(22 NYNX22YXZ 16;不可能事件不可能事件 例例5 设设 且且X与与Y相互独立，相互独立，求求 的概率密度。的概率密度。), 0(), 0(22 NYNX22YXZ 22( )ZFzP ZxPXYz当当z0时，时，()0zzyyeedy ()0zzyeedy ()()zzee (),0,()00.zyXezyfzyzy ,0,( )0,0.yYeyfyy 0()( )zXYfzy fy dy 32; 解解 (3) (3) 备用的情况备用的情况 由于当系统由于当系统L1 1损坏时损坏时，L2 2才开始工作，所以此