北师大版初三数学知识点总结

1、初三知识整理第一章 勾股定理j勾股定理： 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。j勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。j勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾

2、股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，请熟记。j勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，j直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长j直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方

3、法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，j勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项j 勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形

4、求解，第二章 实数j 无理数：无限不循环小数叫做无理数。说明：1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上25=5是有理数而不是无理数。4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如2是无理数，而它的近似值1.4，1.41，1.414，1.4142都是有理数。j 无理数与有理数的区别：（1）有理数

5、是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n不等于0，m、n是整数）表示。j 实数：有理数与无理数统称为实数。j实数的分类：有理数和无理数。有理数包括（正有理数、0、负有理数）。无理数包括（正无理数、负无理数）。正有理数包括（正整数、正分数）。负有理数包括（负整数、负分数）。正无理数和负无理数都是无限不循环小数。a（a0）（a在此处键入公式。）j 实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是1a（a0）。0 （ a = 0）123j 实数a的绝对值a=-a （ a

6、< 0）j 实数的绝对值性质：a0；a=a； ab=ab； ab=ab（b0）；a2=a2j 实数的大小：正数大于0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。j 实数的运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同：先乘方、开方，再算乘除，最后算加减同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。j 实数和数轴上的点的

7、对应关系：任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，j 比较实数大小的方法：实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。1、数轴法在数轴

8、上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、计算法：直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。3、特殊性质法：利用某些数的特殊性质，如：（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小。（2）若ab0，则na>nb>0，（n为正整数）。4、作差法：对实数a、b，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，则ab。5、作商法：（1）对a>0，b>0，若a/b1，则a>b；若a/b1，则a<b；若a/b=1

9、，则a=b。（2）对a<0，b<0，若a/b>1，则a<b；若a/b<1，则a>b；若a/b=1，则a=b。说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。j 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即0=0。j 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a即x²=a，那么这个数x和它的相反数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根。j 平方根的性质：

10、一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。j 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。j 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。j 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。j 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。j 确定平方根或立方根的大致范围有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算43的大小，要求误

11、差小于o1首先找出43邻近的两个完全平方数，如36<43<49，则36<43<49，即6<43<7，由此可见43的整数部分应是6，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56得42.25<43<43.56，得6.5<43<6.6，从而知43的十分位上的数应为5，即436.5或6.6j 通过估算比较两个数的大小对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根

12、）越大；(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小j 涉及三种非负数的问题非负数是正数和零的统称，初中数学学习中，常见的非负数有三种；实数的绝对值、实数的平方、非负实数的算术平方根，灵活运用它们值的大小或等于o的特性，对一些问题可找到很好的解决途径。第三章 图形的平移与旋转j 平移：平移是图形变换的一种基本形式在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. (1)图形的平移是指整个图形在平面内的平行移动，包括图形上的每一条线、每个点，它由移动的方向和距离决定；(2)确定一个图形平移后的位置的条件是：平移的方向、平移的距离、图形原来的位置；(3)图形的平移是图形

13、的一种变换平移变换，简称平移；(4)平移前后图形的形状、大小都不发生变化j 平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等(1)在图形的平移变换过程中，要注意图形上的点的对应关系，即要找准对应点，然后找出对应的线（线段）、角、边等；(2)平移后的图形与原图形全等，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应点所连的线段既能反映图形平移的方向，也能表示平移的距离（线段的长度）平移作图的条件：平移作图是常见的作图，根据平移的定义可知，要确定一个图形平移后的位置需要三个条件：(1)图形原来的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距离三个条件必不可少，若缺少一个条

14、件并不是无法作出平移后的图形，而是作出的图形不惟一。平移作图的方法：平移作图的一般步骤为：(1)确定平移的方向和距离，并确定一组对应点；(2)确定图形中的关键点，关键点一般为端点、转折点、交点等，如三角形的三个顶点为关键点，四边形的四个顶点为关键点，圆的关键点为圆心等；(3)利用第一组对应点和平移的性质确定图形中所有关键点的对应点，注意其方法不惟一；(4)按原图形的方式依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形，j 利用平移设计图案的一般思路是：(1)确定“基本图案”；(2)把“基本图案”按一定方向、一定距离连续平移，完成图案的设计；(3)设计的图案的主旨和含义要适当、明确，图案设计的自主性

15、很强，同时为了美感和一定的目的要求，是有一定难度的。j 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角对图形旋转的概念，我们应从以下几个方面理解：(1)旋转中心在旋转的过程中保持不动；(2)图形的旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向来决定的；(3)将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每一点绕这个定点同时按相同的方向旋转相同的角度；(4)这里“一个角度”指的是大于0°而小于360°的角；(5)图形的旋转不改变图形的形状、大小j 旋转的性质：由旋转的概念可知旋转的性质为：(1)旋转后

16、的图形与原图形的大小和形状都一样；(2)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；(3)图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度j 平移与旋转的区别和联系：联系：平移和旋转都是在平面内进行的图形变换，变换前后的图形是全等的，对应线段相等、对应角相等、对应点的排列次序相同区别：平移是在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它应同时满足的条件是：有原图形；平移的方向；平移的距离。而旋转是在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，它应同时满足的条件是：有原图形；旋转中心；旋转的方向；旋转角度 j 旋转作图满足的条件：要确定一个图形旋转后的位置需要满足三个条件：(1)图形

17、原来的位置，(2)旋转中心及旋转方向；(3)旋转角只有上述三个条件同时具备了，一个图形旋转后的位置才惟一确定。j 旋转作图的步骤：图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，这既是旋转的基本规律，也是我们旋转作图的依据：旋转作图的步骤：确定旋转中心及旋转方向、旋转角；找出表示原图形的关键点；将原图形上的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到这些关键点的对应点；按原图形的方式连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形j 图形的三种基本变换：到目前为止，我们主要学习了三种基本的图形变换：平移、旋转、轴对称，三者既有区别，又有联系

18、区别：(1)运动方式不同平移是沿某方向平行移动；旋转是绕一定点转动；轴对称是沿一条直线翻折；(2)对应点的连线的性质不同，两个具有平移关系的图形对应点连接的线段平行且相等；两个具有旋转关系的图形对应点连接的线段没有特殊关系；两个成轴对称的图形的对应点连接的线段被对称轴垂直平分；(3)三种变换所需条件不同平移变换需要知道平移方向和平移距离；旋转变换需要知道旋转中心、蕨转方向和旋转角；轴对称变换需要知道对称轴联系：三者都是平面内的图形变换，而且都不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置，每种变换需要满足的条件不同，其分析侧重点也不同。一般有以下几种分析方法：(1)平移变换。分析每次平移变换的方向

19、、距离，再分析平移变换的次数；(2)旋转变换分析每次旋转变换的旋转中心、旋转方向、旋转角，再分析旋转变换的次数；(3)轴对称变换，确定对称轴进行轴对称变换；(4)平移变换与旋转变换的组合，一般先进行旋转变换，再进行平移变换；(5)旋转变换与轴对称变换的组合。一般先进行旋转变换，再进行轴对称变换；(6)轴对称变换与平移变换的组合，一般先进行轴对称变换，再进行平移变换，j 图案的欣赏与分析：欣赏与分析图案特别强调了两个方面：一方面强调体会图案的艺术美和其反映的设计意义；另一方面通过分析图案的形成过程，意在思考图案的设计思路，也就是平移、旋转、轴对称及其组合是如何进行合理运用的对于较为复杂的图案的分

20、析要运用“整体思想”，即从整个图案着手，分析图案的组成一共有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变换的j 简单图案设计的一般方法：图案的设计是利用图形的基本变换来进行图案设计，图形的基本变换有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，但较多的图形变换形式都是经过组合变化而成的利用图形变换设计简单图案的一般方法是：(1)确定设计图案的表达意图；(2)分析设计图案所给定的基本图形；(3)对基本图形综合运用平移变换、旋转变换、轴对称变换，力求设计的图案内容清晰，寓意明确，在进行图案设计时注意弄清设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设计要求及设汁目的的前提一f，才能合理地进行图案设计，j

21、 图案分析的一般步骤：(1)分割原图案，找出“基本图案”；(2)确定“基本图案”运动的形式，简单图案的设计要求做到主题明确，具有较好的艺术效果，与环境能够和谐统一，能够运用平移、旋转或轴对称等图形运动形式第四章 四边形性质探索j 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。j 平行四边形的对角线： 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。j 平行四边形的性质：1、平行四边形的对边分别相等；2、平行四边形的对角分别相等；3、平行四边形的对角线互相平分。说明：（1）平行四边形的定义也是性质，即平行四边形的对边平行。（2）平行四边形相邻的两个角（邻角）互补。（3）平行四边形的两条对

22、角线将其分成4个三角形，相对的两个三角形分别全等，且4个三角形面积相等。j 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。j 平行四边形的判别：1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定）2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。j 菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。j 菱形的性质：（1） 菱形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。（2） 菱形的

23、四条边都相等。（3） 菱形的两条对角线互相垂直且平分每组对角。说明：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的两条对称轴。j 菱形的判别：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。j 菱形的面积公式：如果菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积s=12ab。j 矩形：有一内角是直角的平行四边形叫做矩形。（也叫长方形）j 矩形的性质：1、矩形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。2、矩形的四个角都是直角。3、矩形的对角线相等。说明：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在直线是它的两

24、条对称轴。（2）由矩形性质可得直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。j 矩形的判别：（1）三个角是直角的四边形是矩形；（2）一个角是直角的平行四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形。j 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。j 正方形的性质：1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。说明：1）正方形既可以看做特殊的菱形，也可以看做特殊的矩形，所以它具有菱形的所有性质（当然也具有平行四边形的所有性质）。2）根据正方形四个角都是直角且对角线平分对角可知，正方形对角线与边的夹角为450。3）正方

25、形是轴对称图形，两条对角线所在直线和对边中点连线所在直线是它的四条对称轴。j 正方形的判定：（1）有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；j 梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。j 等腰梯形：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。j 等腰梯形的性质：1、等腰梯形的两腰相等。2、等腰梯形在同一底上的两个角相等。3、等腰梯形的对角线相等。说明：等腰梯形是轴对称图形，通过上、下底中点的直线是它的对称轴。

26、j 等腰梯形的判别：1、两腰相等的梯形是等腰梯形。2、在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形。说明：成轴对称图形的梯形是等腰梯形。j 直角梯形：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。j 研究梯形问题的主要方法：在研究有关梯形的问题时，常常通过添加辅助线，把梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决。说明：常用的梯形辅助线的添加方法：（1）作两条高；（2）作两条对角线；（3）平移一腰；（4）平移一条对角线；（5）延长两腰；（6）过一顶点和一腰中点作直线。j 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。j 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两

27、底和的一半。说明：设梯形的上底、下底、高的长度分别为a、b、h、l，则梯形的面积s=12（a+b）h=lh。j 梯形的一般梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法：一般梯形：一组对边平行，另一组对边不平行；中位线平行于底边，且等于两底和的一半；s=1/2（a+b）h，（其中：a、b、h分别是梯形的上、下底的长和高）。j 直角梯形的性质：除一般梯形的性质外，还有：一底角是直角。j 平行四边形的面积：（1）平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。（3）菱形的面积等于对角线乘积的一半j 特殊

28、的四边形的边、角、线关系平行四边形：边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：两条对角线互相平分。矩形：边：对边平行且相等；角：四个角都是直角；对角线：两条对角线互相平分且相等。菱形：边：对边平行，四条边都相等；角：对角相等；对角线：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形：边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角；对角线：两条对角线互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。等腰梯形：边：两底平行，两腰相等；角：同一底上的两个角相等；对角线：两条对角线相等。j 四边形和多边形的内角和、外角和：四边形：内角和等于360°；外角和等于360°，j 平行四边形的

29、面积：平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。j 三角形、梯形的中位线定理：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。j 与平行四边形（包括矩形、菱形）相关的一些辅助线的作法：有平行线时，常作平行线构造平行四边形；有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；是矩形、菱形时，常用连结对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题；垂直时，常可作垂线构造矩形。j 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连

30、组成的封闭图形叫做多边形。说明：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。j n边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）1800。j 正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。j 多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。j 多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。j 多边形的外角和：多边形的外角和都等于3600。j 多边形的对角线：在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。说明：（1）过n边形的一个顶点可作（n

31、-3）条对角线（n3）。（2）n边形的对角线的总条数为12n（n-3）（n3）。j 中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。j 中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。j 平面图形的镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌又称做平面图形的密铺用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌，因为三角形的内角和为180°，所以用6个形状、大小完全相同的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面用形状、大小

32、完全相同的四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，可以观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°，用边长相等的正六边形可以镶嵌，因为正六边形的每个内角都是（6-2）×180°/6=120°，在每个拼接点处，恰好能容纳3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。正五边形的每个内角都是108°，360°不是108°的整数倍，所以正五边形不能镶嵌。j 长方形的折叠问题：解决图形折叠问题时，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，角的度数保持不变。第五章 位置的确定j 平面

33、直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点o称为直角坐标系的原点。j 直角坐标系的三个要素：原点、正方向、单位长度。j 坐标平面：建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。j 象限两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。j 点的坐标对于平面内任意一点p，过点p分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点p的坐标

34、。j 点的坐标确定点的位置已知点p的坐标是(a，b)，在x轴上找到表示实数a的点m，过m作x轴的垂线l1，再在y轴上找到表示实数b的点n，过n作y轴的垂线l2，则l1与l2的交点就是点p。坐标平面内的点与有序实数对一一对应横坐标为零的点在y轴上，纵坐标为零的点在x轴上j 图形平移与图形坐标变化之间的关系：在平面直角坐标系中，图形的平移是一种常见的变化，因此我们要熟悉图形平移与图形坐标变化之间的关系：(1)当图形上、下平移时，横坐标不变，向上平移a（a>o）个单位，纵坐标就增加a，向下平移a（a>0）个单位，纵坐标就减少a，比如已知点a(2，3)、b(3，1)，线段ab向上平移1个单

35、位，点a变为a'(2，4)，点b变为b'(3，2)，线段ab向下平移1个单位，点a变为a”(2，2)，点b变为b”(3，0).反之，当图形上点的横坐标不变，纵坐标增大或减小时，图形会相应地向上或向下平移(2)当图形左、右平移时，纵坐标不变，而横坐标发生变化，向左平移时，横坐标变小，向右平移时，横坐标变大反之，当图形上点的纵坐标不变，横坐标减小或增大时，图形就会相应地向左平移或向右平移j 图形的伸长、压缩与图形坐标变化之间的关系当图形各点的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小时，图形被纵向拉长或压缩；同样的，当图形各点的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小时，图形被横向拉长或压缩j 图形轴对称与

36、图形坐标变化之间的关系图形关于x轴或y轴对称，是坐标平面内常用到的一种变化，当图形关于x轴对称时，对应点的连线被x轴垂直平分，因此，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，比如点a(2，-3)和点b(2，3)关于x轴对称，同样的，图形关于y轴对称时，对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变反之，当图形上的各点横坐标相同，纵坐标互为相反数时，图形关于x轴对称；当图形上的各点纵坐标相同，横坐标互为相反数时，图形关于y轴对称当两点关于原点对称时，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，比如点j 直角坐标系中点的坐标特征及应用 在平面直角坐标系中，(1)若点p(a，b)在第一象限内，则其横、纵坐标均为正数，即a&

37、gt;0，b>0;反过来，若a>0，b>0，则点p(a，b)在第一象限内(2)若点p(a，b)在第二象限内，则a<0，b>0；反过来，若a<0，b>0，则点p（a，b）必在第二象限内(3)若点p(a，b)在第三象限内，则a<0，b<0;反过来，若a<0，b<0，则点p(a，b)必在第三象限内(4)若点p(a，b)在第四象限内，则a>0，b<0;反过来，若a>0，b<0，则点p(a，b)必在第四象限内，(5)若点p(a，b)在x轴上，则b=0;反过来，若b=0，则点p(a，b)必在x轴上(6)若点p(a，b

38、)在y轴上，则a=0；反过来，若a=0，则点p(a，b)必在y轴上第六章 函数j 函数：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有惟一确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量，y也叫做因变量。j 函数的表示方法：表示两个变量之间的关系常用的方法有三种：(1)列表法；(2)图象法；（3）代数关系式法列表法能清楚地反映两个变量的具体数值，但不可能列出全部的对应值；图象法直观、形象，但不能准确的刻画两个变量的具体对应值；代数关系式法能准确地反映出两个变量之间的关系j 判断两个变量之间是否存在函数关系的依据是：函数的定义j 函数的图像：函数关系式是

39、两个变量之间的对应关系，因此可在平面直角坐标系中画出函数的图象把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象，利用函数的图象可研究函数的性质 j 函数图象的画法：用描点法画函数的图象一般分为三个步骤：(1)列表：给出自变量和因变量的一些对应值；(2)描点：以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连起来j 函数概念的三个要素：自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应法则。判断两个函数是否相同，应从这三个要素进行考察。j 自变量的取值范围：

40、如果用解析式表示函数，那么自变量的取值范围是使解析式有意义的自变量取值的全体。如果函数关系是实际问题，则必须使实际问题有意义。说明：用解析式表示的函数的自变量取值范围的求法：（1）若函数的解析式是整式，则自变量的取值范围是任意实数；（2）若函数的解析式是分式，则自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数；（3）若函数的解析式是二次根式，则自变量的取值范围是使被开方数大于等于零的自变量的所有值；（4）若函数的解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点，则求自变量的取值范围时，先按（1）（3）所述方法分别求出它们的取值范围，再求它们的公共部分。j 一次函数：若两个自变量xy之间的关系式可以表示成y=kx

41、+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。j 一次函数的图像： y=kx+b （k0）的图像是过（0，b）且与直线y=kx（k0）平行的一条直线。 说明：（1）作一次函数图像时，只要确定图像上的两个点，再过两点作直线即可。（2）直线y=kx+b （k0）与y轴交于（0，b），与x轴交于（-bk，0）。j 一次函数的性质：（1）k>0时，y随x的增大而增大，即从左至右直线上升。（2）k<0时，y随x的增大而减小，即从左至右直线下降。（3）当k越大，则y的值增大或减小的速度越快。j 直线的平移：直线y=k

42、x+b （k0）的图像可由直线y=kx（k0）沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位得到。j 用待定系数法求解析式的步骤：（1）设出含有待定系数的解析式。（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式中，得到关于待定系数的方程（组）。（3）解方程（组），求出待定系数的值。（4）将求得的待定系数代回所设的解析式中。说明：用待定系数法确定一次函数解析式，常将函数设为y=kx+b （k0），其中k、b为待定系数。再将x、y的两组对应值（或直线上任意两点的坐标）代入解析式，得到两个关于k和b的一次方程，解两个方程组成的方程组，即可确定k、b的值。一元一次方程与一次函数的关系：

43、一元一次方程ax+b=0(a、b为常数，且a0)可看做是一次函数y=ax+b（a、b是常数，a0）的值是0的一种特例，其解是直线y=ax+b(a、b是常数，a0)与x轴交点的横坐标，所以解一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a0)可以转化为当一次函数y=ax+b(a，b是常数，a0)的值为0时，求相应自变量的值因此可利用函数图象来解一元一次方程第七章 一元二次方程组j 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含有的未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。j 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。j 二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一

44、组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。j 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。j 二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消去一个未知数转化成一元一次方程求解。j 二元一次方程组的解法有三种：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)图象法j 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用只含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，将二元一次方程组化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做代入消元法，简称代入法。j 用代入法解二元一次方程组的步骤：1、求表达式：选取一个系数较为简单的方程进行变形，用含有一个未知

45、数的代数式表示另一个未知数。2、代入消元：将求得的表达式代入另一个方程，得到一个一元一次方程，求解该方程可得一个未知数的值。3、解这个一元一次方程。4、将求出的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。j 加减消元法：使两个方程的某一未知数的系数绝对值相等，然后将两个方程相加或相减，消去其中此未知数，转化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做加减消元法，简称加减法。j 用加减法解二元一次方程组的步骤：1、变换系数：将每个方程分别变形，用适当的数乘以方程的两边，使两个方程中某个未知数系数的绝对值相等。2、加减消元：把两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到

46、一个一元一次方程，求解可得一个未知数的值。3、代回求解：将求出的未知数的值代入任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。j 二元一次方程与一次函数的关系：二元一次方程kx-y+b=o(ko)与一次函数y=kx+b(k0)的关系是一一对应的，每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，反之亦然；二元一次方程kx-y+b=o(ko)的解与一次函数y=kx+b(ko)图象上的点的坐标是一一对应的。j 用图象法解二元一次方程组二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数的图象的交点坐标，同样，两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解因此，先把二元一次方程组中的两个方程化为y=

47、klx+b1 (k1o)和y=k2x+b2 (k2o)的形式，然后画出图象，找到交点的坐标，该交点的坐标就是二元一次方程组的解。 j 列二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审清题意，设出两个未知数,(2)找到两个等量关系；(3)列出二元一次方程组；(4)解方程组，求出方程组的解；(5)判断解的合理性，解决实际问题。第八章 数据的代表j 算术平均数一般地，对于n个数xl，x2，xn我们把1/n（x1+x2+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为j 加权平均数在n个数据中，如果xl出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（这里fl+f2+fk=n），那么这n个数据的平均数为=l/n

48、 (x1f1+x2f2+xkfk)就叫做这n个数据的加权平均数算术平均数是加权平均数的特殊情况。j 中位数将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则最中间的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数就是该组数据的中位数.j 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。j 平均数、中位数和众数的区别与联系： 联系：平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们能充分反映一组数据的“平均水平”区别：(1)平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关，所以最为重要平均数的优点是所有数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，在实际生活中

49、经常利用，但易受极端值的影响。(2)中位数受极端值的影响较小，当一组数据的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势中位数的优点是计算简单，不受极端值影响较小，缺点是不能充分利用数据所提供的信息。(3)众数只与数据出现的次数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的众数的优点是它是人们尤为关心的，它是一组数据中出现次数最多的一个数，缺点是当各个数据出现次数大致相等时，众数就没有什么意义了。人教版 体系框架（79年级）七年级上册（61） 第1章 有理数（19） 第2章 整式的加减（8） 第3章 一元一次方程（18） 第4章 图形认识初步（16）七年级下册（62） 第5章 相交线与平行线（14）

50、第6章 平面直角坐标系（7） 第7章 三角形（8） 第8章 二元一次方程组（12） 第9章 不等式与不等式组（12） 第10章 数据库的收集整理与描述（9）八年级上册（62） 第11章 全等三角形（11） 第12章 轴对称（13） 第13章 实数（8） 第14章 一次函数（17） 第15章整式的乘除与因式分解（13）八年级下册（61） 第16章 分式（14） 第17章 反比例函数（8） 第18章 勾股定理（8） 第19章 四边形 （16） 第20章 数据的分析（15）九年级上册（62） 第21章 二次根式（9） 第22章 一元二次方程（13） 第23章 旋转（8） 第24章 圆（17） 第25

51、章 概率初步（15）九年级下册（48） 第26章 二次函数（12） 第27章 相似（13） 第28章 锐角三角函数（12） 第29章 投影与视图（11）全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了课程标准的四个领域。包含以下章节：第21章 二次根式 第22章 一元二次方程 第23章 旋转 第24章 圆 第25 章 概率初步本册书内容分析如下：第21章 二次根式学生已经学

52、过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：（1）是一个非负数；（2） 0）；（3） (a0)注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a0，b0)， (a0，b>0

53、)，并运用它们进行二次根式的化简。“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章 一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元

54、二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，“22.2降次解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一

55、元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。第23章 旋转学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例