高数极限与连续

1、本章的主要内容第二章 极限与连续2.1 极限的概念2.2 极限的运算 2.3 两个重要极限2.4 函数的连续性2.1 极限的概念一、数列的极限1.数列的定义2.数列极限的定义 nnxxxxx记为称为一个数列。排成的无穷多个数：【定义】按照一定规律,321,21, 0, 1, 0:1) 1(5, 1, 1, 1, 1:) 1(4,2421:231,43,32,21:12,1,31,21, 1:11111nxxxnnnnxnnxnnnnnnnnn）（）（，）（，）（）（的例子【例子】以下都是数列观察这5个数列，当n无限变大时，数列的值有什么变化规律（趋势）？ AxAxAxnxnnnnnlim为极限

2、。记为以常数则称数列，的常数无限接近于某一个确定无限增大时，数列，如果当【定义】对于数列收敛与发散说明上述5个数列的极限情况）无极限）、（）（）（）（43,01) 1(lim5,11lim2,01lim1nnnnnnnn二、函数的极限的极限时，函数)(. 1xfx【例题】【备注】时的极限。当称为函数今后，将常数。无限接近于无限增大时，函数从图象可以看出，当的变化趋势。时，观察函数【引例】当xxyxyxxyx10011）（公式同样有：）（公式由引例得：记为：时的极限。当为函数则称。常数无限接近于某个确定的无限增大时，函数定义，如果当无限增大时总有当【定义】设函数2101)(lim)()()(li

3、mlimCCxAxfxxfAAxfyxxxfyxxx不存在从图象观察：的极限。时，函数】分析当【例从图象观察：时的极限当】求函数【例xxxxxxxxyxxxxy2lim2lim02lim221)11 (lim11122AxfxfxAxfxfxxx)(lim)()(lim)(的极限：时，函数的极限：时，函数的极限时，函数)(. 20 xfxx 【引例】【定义】【例题】求下列极限【备注1】-单侧极限的概念左极限右极限时的极限。当称为函数今后，将常数。都无限接近于，函数还是从右侧趋近于，从左侧趋近于自变量从图象可以看出，无论的变化趋势。时，观察函数当244222422xyyxxxyx424)(lim

4、)()()(2000lim00 xxAxfxxxfAAxfyxxxxfyxxxx由引例得：记为：时的极限。当为函数则称。常数无限接近于某个确定的时，函数无限接近于有定义，如果当心）点的某邻域（可以是空在设函数xxCxxxxxxxcoslim)4(sinlim)3(lim)2(lim10000）（）（公式）（公式4lim3lim000CCxxxxxxAxfxx)(lim-0Axfxx)(lim0点的左、右极限。在【例】求符号函数0010001sgnxxxxxy【备注2】极限与单侧极限的关系-【定理】存在且相等。要条件是左、右极限都即：极限存在的充分必AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(li

5、m)(lim000【备注3】求分段函数在分界点处的极限，须先计算左、右极限，然后再判断极限的情况。点的极限。在】求函数【例33331xxxxy点的极限。在】求函数【例00102xxxxxy点的极限。在【练习】求函数0010 xxxxeyx三、无穷大量与无穷小量1.无穷小量【定义】在某一变化过程中，以0为极限的变量统称为无穷小量。【说明】【性质】过程相关。小量，必须与某一变化】一个变量是否是无穷【“很小很小的数”。为极限的变量，而不是】无穷小量是以【201)0(1 . 0)4()0() 3()(2)2()(111002xyxxyxyxxyx）（是否为无穷小量？在给定的变化过程中【例题】判断下列函

6、数仍是无穷小量。）常数与无穷小量之积（之积仍是无穷小量。）有界函数与无穷小量（。、差、积仍是无穷小量）有限个无穷小量的和（321xxxxxx1sinlim)2(sinlim10）（【例题】求下列极限2.无穷大量 【定义】【说明】【无穷大量与无穷小量的关系】”和“同样，可以定义“或记为量。变大的量统称为无穷大对值可以无限在某一变化过程中，绝-.limlim0yyxxx)(2)2()0(11xyxxyx）（大量？变化过程中是否为无穷给定的【例】判断下列函数在在的一种特例。）无穷大量是极限不存（过程相关。大量，必须与某一变化）一个变量是否为无穷（。不是“很大很大”的数以无限变大的变量，而）无穷大量是

7、绝对值可（321一定是无穷大量。是无穷小量，则若一定是无穷小量；是无穷大量，则若程中，【定理】在同一变化过yyyy11211limxx求【例】2.2 极限的运算【复习】三个基本的函数极限公式：【极限的运算法则】【说明】（1）参与运算的函数，其极限必须为确定的常数（极限存在）；（2）商的运算中，除第一条外，分母的极限不能为零。CCxxxxxxlim)3(01lim2lim100）（）（) 0()(lim)(lim)()(lim) 3 ()(lim)(lim)()(lim) 2()(lim)(lim)()(lim1,)(lim,)(limBxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfBxgAx

8、f）（则：若【推论】nnxfxfxfCxCfnCxf)(lim)(lim),(lim)(lim)(lim21为常数，则：、存在，）若（情况。函数的代数和及乘积的到有限个）上述法则，可以推广（)53(lim121xxx】求下列极限【例22023211lim)3(39lim)2(12lim12xxxxxxxxx）（】求下列极限【例3lim)3(53122lim)2(15123lim13343222xxxxxxxxxxxxxx）（】求下列极限【例)()(lim)(100 xfxfxfxx则为多项式函数，】如果函数【注），再代入求值。（分解因式、有理化等等变形）当分母为零时，先恒（求函数值即可；代入）

9、当分母非零时，直接（分两种情况：时，分式函数的极限，】计算【注2120 xx nmnmbanmbxbxbaxaxaxnnnmmmx001101100lim3分三种情况：时，分式函数的极限，】计算【注2.3 两个重要极限【说明】公式 的条件（1）“sin”符号后面的函数与分母必须为统一函数；（2）在极限过程中，分母以0为极限。【公式1】【例题】求下列极限【练习】求下列极限1sinlim0 xxxxxxxxxxxx5sin3sinlim)3(cos1lim)2(3sinlim) 1 (0200 xxxxxxtanlim)2(33sinlim) 1 (00【公式2】【说明】公式2的条件：（1）底数必

10、须为“1+”的形式；（2）与指数必须为倒数关系；（3）在极限过程中，底数必须以1为极限。等价公式：【例题】求下列极限【练习】求下列极限exxx)11 (limexxx10)1 (lim1210)21 (lim) 3()31 (lim)2()31 (lim1xxxxxxxxx）（5210)11 (lim)3()1 (lim)2()2-1 (lim1xxxxxxxxx）（2.4 函数的连续性函数的连续性一、连续的定义二、间断点及其种类 三、初等函数的连续性一、连续的定义1.增量的概念2.连续的定义3.连续的等价定义由此定义，可以推出连续的条件：)()(000 xfxxfyxxx函数增量：自变量增量

11、：点连续。在则称函数的某邻域内有定义，若在设函数000)(, 0lim)(xxfyyxxfyx点连续在【例】证明函数12xxy点连续。在则称函数的某邻域内有定义，若在设函数000)(),()(lim)(0 xxfyxfxfxxfyxx【备注1】连续的条件：).()(lim3;)(lim2)(1)(00000 xfxfxfxxfxxfxxxx）（存在）极限（点有定义；在）函数（：点连续的充分必要条件在函数0001)()4(0101)()3(010)()2(1)(10 xxxxfxxxfxxxexfxxfxx）（点是否连续？【例】判断下列函数在【备注2】左连续与右连续点左连续。在则称函数若00)(

12、),()(lim0 xxfyxfxfxx点右连续。在则称函数若00)(),()(lim0 xxfyxfxfxx【备注3】函数在区间连续的概念上连续：在函数内连续：在函数,)(),()(baxfbaxf的值。点连续，求参数在【练习】若函数kxxkxxxxf00201)(2二、间断点及其种类断点】点的连续性。【可去间在】讨论函数【例断点】点的连续性。【跳跃间在】讨论函数【例点】点的连续性【无穷间断在】讨论函数【例111111)(300202)(2111)(12xxxxxxfxxxxxxfxxxf【备注1】第一类间断点与第二类间断点：【第一类间断点】：左极限与右极限都存在；【第二类间断点】：左极限、

13、右极限中至少有一个不存在。函数在某一点不连续，就称为间断。三、初等函数的连续性1.基本初等函数的连续性： 2.连续函数的运算法则：3.初等函数的连续性：【定理1】一切基本初等函数在其定义域内都是连续函数。【定理2】一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。点也连续。在则其复合函数连续，在点连续，在】设函数【法则点也连续。在、则点连续，在和】若函数【法则00000000)()()()(2)0()()()()()()()()(1xxfyxuuufyxxuxxgxgxfxgxfxgxfxxgxf【备注】利用初等函数的连续性可以求函数的极限。xxxxxxxx)1ln(lim)3(12lnlim)2(coslim110220）（】求下列函数极限【例的连续区间】求函数【例1)2lg(2xxy变量的极限。为把所求极限转化为以时，当则【提示】令【练习】求ttxtxetxexxx00) 1ln(11lim0【备注备注】求函数极限的基本方法求函数极限的基本方法（基本类