2021届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

1、2021届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1. 设集合A=xx>3t B = < x|i<oj,则(CM)nB=()A. (1, 3)B. 1, 3C. (3, 4)D. 3, 4)【答案】B【解析】求出B中不等式的解集确泄出B,找出QA与B的交集即可.【详解】由<0W(a：-1)Gv-4)<0Kx-40,x-4解得l<x<4,所以 3 = 1,4),因为 A=xh>3,所以 Ca.A = (-°o,3,所以(加)n民1, 3,故选:B【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题.2.

2、"sinx =丄”是"x = 2k;r +兰(k eZ)M的()2 6A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】sin x = o a = 2k兀+乡伙w Z)或x = 2k兀+学仗w Z),从而明确充分性2 6 6与必要性.【详解】9由 sinx =丄可得：x = 2k7t + (k v Z)或x = 2£龙 +迺伙 eZ),2 6 6龙.1即 x = 2k兀+ (k wZ)能推出 sin x = - 962但sin x =推不岀 x = 2kn + (k eZ)2 61 7Tsinx =-'堤=2炽+ 伙

3、w Z)"的必要不充分条件2 6故选B【点睹】本题考査充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.3. 下列函数既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是()A. f(x) = x=45l + tan(a_0)tan(a-0) 1 + j_x£ 5故选:C【点睹】本题考査正切的差角公式的应用,考査已知三角函数值求三角函数值问题.B. /(x) = -|x + l|C. /(x) = lnlD /(x) = 2r+2-v1 + x【答案】C【解析】试题分析：由奇函数排除B、D,在区间(0, 1)±单调递减排除A.故选C.【考点】U函数的奇偶性：2、函数的单调性

4、.2ti1冗4. 已知 tan(a-#)=-, tan(a+ )=-,则 仙“+)等于()54441822D.1322第1页共6页【答案】C【解析】由题可分析得到tan，由差角公式，将值代入求解即可.【详解】tan解：由题可得,一 (a0)tan322-tan(a-0)1-35.已知非零向量乔满足=2t且（« - S）± /?,则"与乙的夹角为【答案】B【解析】本题主要考查利用平而向量数量积讣算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转 化与化归、数学计算等数学素养.先由（方-初丄5得出向a,b的数量积与其模的关系, 再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【详解】因为（方

5、-初丄石,所以Ct-b b = a b-b =0*所以方乙=产，所以a-bl/?l21打C0S6，=TT =*所以忌与弘的夹角为亍故选氏【点睹】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出 夹角的余弦值，再求岀夹角，注意向量夹角范围为0,71,6.设ABC的边BC的延长线上一点，BC = 3CD，则（）A. AD = -AB-ACB. AD = -AB + -AC3 333 I C. AD = AB + -AC 33【答案】C【解析】利用平而向量基本左理，把而，花作为基底，再利用向量的加减法法则把向量而用基底表示出来即可.【详解】因为 BC = 3CD 所以 C

6、D = BC = (AC AB) 故选：c.I所以AD=AC+CD=AC+AC【点睛】此题考査了平而向量基本立理和向量的加减法法则，属于基础题.7.已知定义在R上的函数几丫)满足/(x)=f(x)t且函数沧)在(oo, 0)上是减函数，若( 2 u = f 2cos£/r ,b = f log, 4.1 , c = /(208)则心 b, c 的大小关系为()I 、)2 JA. a<c<bB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b【答案】A【解析】根据题意，由偶函数的左义可得函数f(x)为偶函数，结合偶函数的性质可得«

7、= /(2cos) = /(2cos) = / (1), = /(/,4.1) = /(log24.1)t 进而分析可得才(劝在 332(0,+co)上为增函数，又|iil<208<2<log24.1,据此分析可得答案.【详解】根据题意,函数f(x)满足/(-X)= /(A-),则函数/(X)为偶函数，« = /(2cos) = /(2cos) = / (1), /(14.1) = /(log24.1), “丹),3 3*2又由函数/'(X)在(YO,0)上是减函数，则/(X)在(0,+8)上为增函数，且 l<2°<2<log24

8、.1,贝 lj" <c<b；故选:A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查指数对数大小的比较，意在考査 学生对这些知识的理解掌握水平.X(ex x > 0&设函数 r 一 ，若函数g(x)=/a)-处恰有两个零点， -x2-2x-4, x<0则实数d的取值范围为()A. (0, 2)B. (0, 2C. (2, +x)D. 2, +oo)【答案】A【解析】根据题总，x = 0是函数g(x) = f)-ax的一个零点，故问题转化为当xhO时，y = «与y =图象必有一个交点，再根据导数研究y性质，数形结XX合求解即可得答案.

9、【详解】 解：根拯题意函数g(X)= /(X)-O¥恰有两个零点由于当x = 0时,g(0) = /(0)_0 = 0,故x = o是函数g(x) = f(x)-ax的一个零点,所以当xho时，与)，=丄图象必有一个交点,由于y = - = <Xx>0x<0当x>0时，y = Q厂，y，= e*+厂o,故函数),=丄巴在0,”D)上单调递增, X4 4 4xz X当xvO时，y = X- -2,卩=一1 += 一 ，所以当xv(y,_2)时，函数 XJT A"y = D 单调递减，当xe-2,0)是单调递增;X所八凹J ;5函数图象如图,x-x- -

10、2, x<0由图可知，若y = d与y =图象必有一个交点，贝Mw(0,2).故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数形结合思想与化归转化思想，是中档 题.71°9. 已知函数/(x)=2sin(v+-)(ro>0)的图象在区间0, 1上恰有3个最高点，则少的取 4值范围为()19龙27兀)B.513龙、C.L 44丿.2 ' 2 丿17龙 25/r)r 4、D. 4龙,6刃【答案】CTT【解析】根据区间0, 1,求岀3卄一的范围，由于在区间0,1上恰有3个最髙点，4建立不等关系，求解即可.【详解】函数/(X)=2sin (o)a+)(3>

11、;0),71 7171V.v0> 1上，/ cox+ G* °t4 44图象在区间0, 1上恰有3个最高点，4 兀/兀厶 兀“生 17龙<25兀 4龙 + Se+ v6龙 + ,解得：<co<.2 4244故选：C.【点睛】本题考査正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.二、填空题10. 二项式fx2-4 j展开式中的常数项为【答案】40【解析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0,得到相应的£，从而可求岀常数项.【详解】解：展开式的通项公式为：7；+严C；(F厂(_三、=(-2)'C>,0-5

12、X J令 105R=0,得R=2所以常数项为：7；+1=（-2）2C=40.故答案为：40.【点睛】本题主要考查了二项式左理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考査了 计算能力，属于基础题.11. 函数/（x）"sin（g+0）（AO,。0,岡£）的部分图象如图所示，则*0啲值为【答案】_氐【解析】由图可得/（X）的周期、振幅，即可得人少，再将（兰,0）代入可解得0,进一 6步求得解析式及/（0）.【详解】由图可得心2,W，所以7-心牛即妇2,又 /() = 0 ,即 2sin(2x + ?) = 0 , + cp = k兀、k e Z , ' 663又l

13、0lv£，故歼-牛 所以/(x) = 2sin(2x-), /(0) = 2sin(-) = -.2 333【点睛】本题考査由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.已知 n>0, b>Q 且 a+b=l9 则的最小值是【答案】91 12【解析】先利用平方差公式和a+b = l得出（-+ 1）（- + 1）,再去括号、通分得岀+ 1, abab2 根据a+b = 和基本不等式可求出ab的最大值，即千+1的最小值.ab【详解】(4 _ 1)(穆 _ 1)=(丄 +1)(- _ 1)(； +1)(； _ 1) cr Zr a a b b1 , l-i/l

14、 -b1b a=(+ 1)(- + 1)-= (- + l)-(- + l)- a a b b a a b b =(丄+i)(丄+i)=_L+±+i=Z+i, a b ab abab/«+Z? = Lci + b2jub , H卩 1$ 2jub /. ab< ,42 1+ l>9t当且仅当a = b =-时，取得等号，ab2即（丄-1）（丄-1）的最小值是9 a- b故答案为：9.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用a+b = 这个条件进行转化是关键，属于中档-x|cos( + x) + sin2i 2/则函数/（工）的单调递题.13.设函数 /(x) =

15、 2sin增区间为【答案】("Z)3 3【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式，将函数转化为/(x) = cos2x + ,然 后利用余弦函数的性质，令-7T + 2k7T< 2x < 2込求解.【详解】(3 (托、函数/(x) = 2sin -x cos( + x) + sin2 -x ,i 2丿 2)= 3cos2 x = cos 2x + ,2 2令-Tr+lkTt<2x<2k兀,解得一巴+ k兀5x5k汀，2所以/(x)的单调递增区间为一壬+ S后("Z),故答案为：-彳+ R化炽(kwZ)【点睹】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用和三角

16、函数的性质，还考查了运算求解的能 力，属于中档题.14.在等腰梯形中，AB/CD, AB = 2, AD = 1, NDAB = 60 ,若BC = 3CE,AF = XAB> KaE DF = -1» 则A.=_.【答案】74【解析】依题意得 AB/CD.AB = 2；AD = BC = 1, DAB = ZABC = 60 BC = 3CE5E-DA = -BC-DA = -|bc|-|da|cos120° = -AF = AABDF = -Z5F = (AB + BE)(Z5a + AF) = AS ZM + AB AF+BE rn + BE AF=2xlxco

17、sl20° + 2x2/l-ix- = -lr故答案为丄.4三.解答题15.已知函数/(x) = 2>/3sin(1) 求/(x)的最小正周期；7171(2) 若将/(X)的图象向左平移二个单位，得到函数gg的图象，求函数g(x)在区间0.- 上的最大值和最小值.【答案】(1)兀(2) 1；-2【解析】(1)利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期：(2)由三角函数的图象平移得到函数的解析式，结合x的范用求得函数g(x) 在区间0,兰上的最大值和最小值.【详解】44(1) f(x) = 2>/3 sin(x + )tos(x + )sin(2x + 3/r)sin

18、 2x + cos 2x) = 2 sin(2x + )223/(x)的最小正周期为=托； 由已知得g(x) = /(x + f) = 2sin2(x + t)+ f=2 sin(2a,' + H) = 2 cos(2x 4),vxe0,故-'12x + = ，即 x =时，g(x),”i” = g(亍)=一2 ：当2x+7 = p 即乳=0时，(彳)= 1.【点睛】本题考查了三角恒等变换及其应用，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的最值，属于中档题.16. 在公ABC的内角A,8,C的对边分别是M,c,满足一i_ = l_ Sm a + csin A + sin B(

19、1) 求角A的值；(2) 若a = 3, b = 2近,求sin(2B+A)的值.【答案】(1)A = -； (2) 2炉近3 6【解析】(1)根据已知条件，由正弦泄理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；(2)由正弦左理求得应并根据边的大小关系判立B为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.【详解】b t sinC解:(1) J= 1a + c sin 4 +sin 3bc由正弦定理得，=1a+ca+b化简得，b2 +c2-a2 =bc由余弦立理得，cosA= =2bc2又0 v4龙，兀A =.3(2)由(1)知，A = f3又d = 3, b = 2迈, .sinB = U

20、= a 3cosB = V1-22 sin 2B = 2 sin B cos B =3sin（23 +A） = sin 2E +cos2B = l-2shrB = -l, sin 2B cos + cos 2B sin =3 3【点睛】本题考査正余弦左理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题目关键是熟练利用正弦左理，余弦圧理和三角恒等变形计算.17. 在四棱锥 P-ABCD 中，PQ 丄平面 ABCD, AB/DC 9 AB 丄 AD,DC = AD = 9 AB = 2, ZPAD = 45°9 E 是 P4 的中点，F 在线段 AB且满足CF BD =

21、 0(1) 求证：DE平面PBC；(2) 求二面角F-PC-B的余弦值；(3) 在线段Q4上是否存在点0 ,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是若存3在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析：(2)纟；(3) 23 10【解析】【详解】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线而平行的判左立理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平而的 法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平而的法向量所成角的余弦值 来求得，第三问假设苴存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍 即可.详解：(1) iiE明：取阳

22、的中点M, AB的中点N.连接EM和CM,A CD H AB 且2E，M分别为P4，阳的中点.EW 初且 EM =-AB2:.EM /CD負EM =CD，四边形CDEW为平行四边形，:DECM、CMu 平而 PBC , £>E<z 平面 PBC ,. DE | 平而 BPC.(1) 由题意可得DA，DC, DP两两互相垂直，如果，以D为原点，D4，DC, DP分别是X, y, z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则4(1, 0,0), B(l,2,0), C(0,1,0), P(0,0,1), E(F设平而PBC的法向虽:为/n = (x, y, z)BC = (-l,-l

23、,0), CP = (O,-l,l)历.EC = 0 . x = -ym CP = - y + Z = 0 y = Z ： m DE = 0> : DE 丄 m:.DE 平面PBC（2）设点F坐标为（1昇，0）则CF = (l,r-l,O),血= (1,2,0),由乔丽=0得 = *， F（l，*'°设平而FPC的法向量为n=（x,CF =b4°"竺=0得.n-FC = 0_y+z=01 严x-y = 0rV = 7 令 X = 1 ” = (1,2,2) y = 2xm-n=-l + 2+2 = 3n| L - 亓历 3则"沪丽=远=丁

24、又由图可知，该二面角为锐角 故二而角的余弦值呼_ - 一 _ (3)设 AQ = AAP = (-A, 0, 2), 2g0, 1, :.FQ = FA + AQ = 一兄，一牙,亓.耳=兄一1cos(尸0, n=3讥与平而PFC所成角的余弦值是其正弦值为晳22-2=£,整理得:2022+82-1 = 0.解得：A = -存在满足条件的点0 入0 = (一77?，°，77?'且|(2|=k 1010 丿 1 10点睛：在解决立体几何问题时，尤苴空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法， 二是空间向量法，在应用而的法向量所成角来求二而角的时候，一沱需要分淸楚是其补

25、角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推 出矛盾就是没有.18. 若函数/aX(sinx+dg)在冷彳|上单调递增，求实数a的取值范围.【解析】先求导，再由导数在上单调递增作等价转化,fx)> 0在区间恒成立即可【详解】 由 /(x) = r (sinx + 6/cosx) => ffx) = ex sinx + cosx + o(cosx-sinx), 要使/(x)在区间 py单增，即fx)> 0在区间彳冷 恒成立,即 sinx+cosx+a(恒成立,JT当x =-时恒成立:4当"时,sin x + cos x tan x +1

26、 一 2a <= 1 +sin x-cos x tanx-1 tanx-1时，1 +1,故 1 + -G(l,+co),故 a<2tan x -1tanx-1当*彳时，*1, 综上所述，a< 故答案为：a<【点睛】本题考査利用导数和函数在左区间的单调性求解参数取值范用，属于中档题19. 已知函数f(x) = Inx.g(x) = A +-1, (a9 bWR)x(1) 当gi, b=0时,求曲线y=f(x)-g(x)x=i处的切线方程：(2) 当归0时，若对任意的xel, 2,沧)+g(x*0恒成立，求实数4的取值范围;(3) 当fl=o, bo时，若方程/(x)=g(

27、x)有两个不同的实数解E X2(X1<X2),求证:Xl+X2>2.【答案】(I) x + y-3 = o (2)二+8)(3)证明见解析2【解析】(1)求出y = /(x)-g(x)的导函数,求出函数在x = l时的导数得到切线的斜 率，然后用一般式写岀切线的方程；(2)对 Vxefl, 2, f(x) + g(x)O 都成立，则对 Vxel, 2, a-x2/nx+x2,恒成立构造函数/i(x) = -x2lnx + x2(12),求出 的最大值可得d的范围；(3) 由 f(x) = g(x),得lnx-bx+l = 0,构造函数F(x) = lnx-bx+l(x>0),将问2题转化为证明F(-x1)>0 = F(x1),然后构造函数证明 bF(-xl)> F(xJ = 0 = F(x.)即可.b【详解】(1)当 d = l 时，b = 0时,t 1 2y>X X 当x=