投资组合理论马克维茨均值方差模型CAPM

1、 投投 资资 学学现代投资组合理论第 8 章主讲：丁辉关主讲：丁辉关第8章现代投资组合理论哈里 马科维茨生于美国伊利诺伊州。在芝加哥大学1950年获得经济学硕士、1952年博士学位。马科维茨是享誉美国和国际金融经济学界的大师，曾任美国金融学会主席、管理科学协会理事、计量学会委员和美国文理科学院院士。 1989年美国运筹学会、管理科学协会联合授予马科维茨、冯?诺伊曼运筹学理论奖，以表彰他们在证券组合选择理论、稀疏矩阵技术、SIMSCRIPT程序语言等方面所作的理论突破和技术创新工作。哈里哈里 马科维茨马科维茨（Harry M. Markowitz）(1927年年8月月24日日-)第8章现代投资组

2、合理论 1952年在学术论文资产选择：有效的多样化中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其资金，以在风险一定时取得最大收益。马科维茨的学术活动基本上是专注于金融微观分析领域。1959年其代表作资产组合：有效的多样化的出版是其学术生涯的顶峰，以后他继续进行他的研究工作，但基本上是对他五十年代证券组合选择理论的完善，及一些技术、方法方面的工作，没有重大的理论突破。第8章现代投资组合理论Ch.8 Ch.8 现代投资组合理论现代投资组合理论Modern Por

3、tfolio Theory (MPT) 8.1 8.1 资产组合理论资产组合理论 8.2 8.2 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM） 8.3 8.3 套利定价理论（套利定价理论（APTAPT） 8.4 8.4 有效市场假说（有效市场假说（EMHEMH）第8章现代投资组合理论蒙代尔(Robert A. Mundell)米尔顿弗里德曼(Friedman，Milton)萨缪尔森Samuelson第8章现代投资组合理论 现代投资理论的产生以现代投资理论的产生以1952年年3月月Harry.M. Markowitz发表的发表的投资组合选择投资组合选择为标志为标志 1964、1965、

4、1966年林特纳（年林特纳（John Lintner）、布）、布莱克（莱克（Fischer Black）和摩森（）和摩森（Jan Mossin）三人）三人分别独立提出资本资产定价模型。分别独立提出资本资产定价模型。1962年，年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了对资产组合模型进行简化，提出了资本资产资本资产定价模型定价模型（Capital asset pricing model，CAPM） 1976年，年，Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的的套利定套利定价模型价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。）。 上述的几个理论均

5、假设市场是有效的。人们对市场上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，年，Eugene Fama在其博士论文中提出了在其博士论文中提出了有效市场假说有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）第8章现代投资组合理论8.1 8.1 资产组合理论资产组合理论.1资产组合理论的基本假设资产组合理论的基本假设.2资产组合的风险与收益资产组合的风险与收益.3资产组合的可行集和有效集资产组合的可行集和有效集.4最优风险资

6、产组合的决定最优风险资产组合的决定第8章现代投资组合理论.1资产组合理论的基本假设资产组合理论的基本假设1.1.现代证券组合理论现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于是关于在收益不确定条件下投资行为在收益不确定条件下投资行为的理论，的理论， 它由美国经济学家哈里它由美国经济学家哈里马科维兹马科维兹在在19521952年率先提出。年率先提出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者指明了一个获得最佳投资决策的方向。者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收

7、益则可能面临风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是，高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是，分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾风险和收益这一矛盾而提出的。而提出的。第8章现代投资组合理论马柯维茨的资产组合理论马柯维茨的资产组合理论F 马柯维兹马柯维兹(Harry Markowitz)1952(Harry Markowitz)1952年在年在 Journal of Journal of Finan

8、ceFinance发表了论文发表了论文资产组合的选择资产组合的选择，标志着现代标志着现代投资理论发展的开端。投资理论发展的开端。F 马克维茨马克维茨19271927年年8 8月出生于芝加哥一个店主家庭，大月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长师是芝大商学院院长财务学杂志财务学杂志主编凯彻姆教授。主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论投资价值理论一书。一书

9、。F 马想为什么投资者并不简单地选马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大内在价值最大的股的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益收益，还担心，还担心风险风险，分散投资是为了分散风险。分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，同时考虑投资的收益和风险，马是马是第一人第一人。当时主流意见是。当时主流意见是集中投资。集中投资。第8章现代投资组合理论 马克维茨运用马克维茨运用线性规划线性规划来处理收益与风险的权衡问来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，19591959年出版了专著，不

10、仅分析了分散投资的重要性，还年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。给出了如何进行正确的分散方法。F 马的贡献是开创了马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法行资产组合投资的理论和方法，第一次采用，第一次采用定量定量的方法的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。最大收益的资产组合。获获19901990年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济

11、学奖。第8章现代投资组合理论2.2.现代证券组合理论的基本假设：为了弄清资产是如何现代证券组合理论的基本假设：为了弄清资产是如何定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将注意力集中在注意力集中在最主要的要素最主要的要素上，因此需要通过对环上，因此需要通过对环境作一些假设，来达到一定程度的抽象。境作一些假设，来达到一定程度的抽象。 投资者都是以投资者都是以期望收益率期望收益率和和方差（标准差）方差（标准差）来评价来评价资产组合（资产组合（PortfolioPortfolio）的效用大小划或风险大小。）的效用大小划或风险大小。 投资者是投资者是永不满足

12、永不满足的和的和风险厌恶风险厌恶的，即是理性的。的，即是理性的。因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。 单一资产都是单一资产都是无限可分的无限可分的，可按一定比例购买一定，可按一定比例购买一定数量的资产。数量的资产。 投资者可按相同的投资者可按相同的无风险利率无风险利率借入或贷出资金。借入或贷出资金。 税收税收和和交易费用成本交易费用成本均忽略不计。均忽略不计。第8章现代投资组合理论 所有投资者都有所有投资者都有相同的投资期限相同的投资期限，即投资者的投资为，即

13、投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 对于所有投资者，对于所有投资者，无风险利率相同无风险利率相同； 对于所有投资者，对于所有投资者，信息信息是免费的且是立即可得到的；是免费的且是立即可得到的； 投资者具有投资者具有相同的预期相同的预期（同质期望），所有投资者对（同质期望），所有投资者对期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证通过这些假设，模型

14、将情况简化为一种极端的情形：证券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方式来分析和处理信息，式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态度每一个人采取同样的投资态度，通过市场上通过市场上投资者的集体行为投资者的集体行为，可以获得每一，可以获得每一证券的证券的风险和收益之间均衡关系风险和收益之间均衡关系的特征。的特征。第8章现代投资组合理论.2资产组合的风险与收益资产组合的风险与收益1.1. 资产组合资产组合（portfolioportfo

15、lio）：是使用不同的证券和其他）：是使用不同的证券和其他资产所构成的集合。资产所构成的集合。 任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴随着较大的风险。资产组合的目的是：随着较大的风险。资产组合的目的是：通过多样化来通过多样化来分散或减少风险分散或减少风险，在适当的风险水平下获得最大的预，在适当的风险水平下获得最大的预期回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。期回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。100万万60万万房地产房地产20万万政府公债政府公债20万万股票股票第8章现代投资组合理论2.2. 资产组合的预期收益：是组合中资产组合的预期

16、收益：是组合中各种证券的预期各种证券的预期收益收益(ri)(ri)的的加权平均数加权平均数。其中每一证券的权重。其中每一证券的权重(wi)(wi)等于该证券在整个组合中所占的等于该证券在整个组合中所占的投资比例投资比例。 假设组合的收益为假设组合的收益为rprp，组合中包含，组合中包含n n种证券，每种种证券，每种证券的收益为证券的收益为riri，它在组合中的权重是，它在组合中的权重是wiwi，则组，则组合的投资收益为：合的投资收益为：1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw（）（）其中第8章现代投资组合理论3.3. 资产组合的风险：资产组合的风险： 作为风险测度的方差是回报相对

17、于它的预期回报作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报的离散程度，的离散程度， 资产组合的方差不仅与其资产组合的方差不仅与其组成证券的方差组成证券的方差有关，有关，还与还与组成证券之间的相关程度组成证券之间的相关程度有关。有关。 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协协方差方差COV和和相关系数相关系数来表示。来表示。第8章现代投资组合理论（1 1）协方差协方差(covariance)(covariance)：是测量：是测量两个随机变量两个随机变量之间之间的的相互关系相互关系或或互动性互动性的统计量。的统计量。 资产组合的协方差是测度两种资产收益互

18、补程度的资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标。它测度的是指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方两个风险资产收益相互影响的方向与程度向与程度。 协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为负则意味着反方向变动。相对小的或负则意味着反方向变动。相对小的或0 0值的协方差表值的协方差表明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关系或没有任何互动关系。系或没有任何互动关系。协方差的计算公式为：协方差的计算公式为：jjiijiijijRERREREcov第8章现代投资组合理论（2 2）相关系数相关系

19、数： 为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把协方差协方差正规化正规化，使用证券，使用证券i i和证券和证券j j的相关系数的相关系数 ijij。 相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。准差之积等于它们的相关系数。 相关系数范围在相关系数范围在1 1和和+1+1之间，之间，1 1表明完全负相关，表明完全负相关，+1+1表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之间。间。 相关系数的计算公式为：相关系数的计算公式为：ji

20、ijijijjiijij：cov则有第8章现代投资组合理论（3 3）资产组合的风险资产组合的风险：1covjicovjicovjicov22112ijjiijjiijijijjNiNjiijpxx，即时，当存在下列关系：协方差与相关系数关程度。的相在一个共同周期中变动反映了两种证券的收益的收益的协方差，证券表示证券时，其中当第8章现代投资组合理论n222i 11,1,1nnnpiiijijijijij i ji jWWWww 资产组合方差的计算公式资产组合方差的计算公式221121 12 211222111222( )( )().( )( ) .( ) ( )( ) .( )pppnni ii

21、 iiin nnnnnnD rE rE rEwrEwrE wrwrwrwE rw E rw E rE w rE rw rE rw rE r 证明：证明：证明：将平方项展开得到将平方项展开得到第8章现代投资组合理论211122222111,22111,1222 ( )( ) .( )( )( ) ( )( ), ( ) (nnnnnniiiijiijjiiji jnnniiijijiiji jnijiji jiiiiiiiiEw rE rw rE rw rE rwE rE rww E rE rrE rwwwwwE rE rE rE r ( )jjijijrE r第8章现代投资组合理论331,13

22、33112233,1,1,112121313212123233131323212121313232322211,1()()()222, ijijiji jjjjjjjji jji jji jnnnpiiijijiiji jw ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww wi jnww w 同理，当时2211,1nnniiijijijiiji jww w 总结对于包含对于包含n n个资产的组合个资产的组合p p，其总收益的期望值和方差，其总收益的期望值和方差分别为：分别为：1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw（）（）其中第8章现代投资组合理论4.4.

23、分散原理分散原理（1 1）当组合中只有）当组合中只有两种两种证券（证券（N=2N=2）时）时21_2_1_1_rrrrxxixpNii211221222221211122covxxxxxxjNiNjiijp) 10 , 10 , 11()()(22122122211212122222121xxxxxxxx组合的风险变小第8章现代投资组合理论不同相关系数下的组合的标准差不同相关系数下的组合的标准差211221122222211222112211221()01()pppxxxxxxxxxx 当，表明两种证券的收益完全负相关当，表明两种证券的收益完全无关当，表明两种证券的收益完全正相关 由此可见，当

24、相关系数从由此可见，当相关系数从-1-1变化到变化到1 1时，证券组合的风险时，证券组合的风险逐渐增大。除非相关系数等于逐渐增大。除非相关系数等于1 1，二元证券，二元证券投资组合的风险投资组合的风险始始终终小于小于单独投资这两种证券的风险的单独投资这两种证券的风险的加权平均数加权平均数，即，即通过证通过证券组合，可以降低投资风险券组合，可以降低投资风险。第8章现代投资组合理论例题例题 假定投资者选择了假定投资者选择了A A和和B B两个公司的股票作为两个公司的股票作为组合对象，有关数据如下：组合对象，有关数据如下： ；时，当；时，当；时，当时当02. 01045. 0006. 01001.

25、002. 004. 02215. 02121,21xx04. 0,08. 0,18. 0,25. 0222222_BA_rpABpABpABABABBABABBAApBAxxxxBApBArrrr第8章现代投资组合理论（2 2）组合中证券种类）组合中证券种类N N大于大于2 2时时NoImageijNNiNNNxxxxxNiNjijijiNijNiNjijiijiNiijNiNjiijpcov_11221211212112121cov)1()1()(covcov如果等权重投资p组合中证券数量系统性风险非系统性风险总风险第8章现代投资组合理论总结：总结：组合的收益是各种证券收益的组合的收益是各种

26、证券收益的加权平均值加权平均值，因，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两只要组合中的资产两两不完全正相关不完全正相关，则，则组合组合的风险就可以得到降低的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是只有当组合中的各个资产是相互独立相互独立的且其的且其收收益和风险相同益和风险相同，则随着组合的，则随着组合的风险降低风险降低的同时，的同时，组合的组合的收益等于各个资产的收益收益等于各个资产的收益。第8章现代投资组合理论.3资产组合的可行集和有效集资产组合的可

27、行集和有效集1. 可行集与有效集可行集与有效集 可行集可行集：资产组合的机会集合（：资产组合的机会集合（portfolio opportunity set），即），即资产可构造出的所有组合资产可构造出的所有组合的期望收益和方差的期望收益和方差。 有效组合有效组合（efficient portfolio ）：根据）：根据既定风既定风险下收益最高险下收益最高或者或者既定收益下风险最小的原则既定收益下风险最小的原则建建立起来的证券组合。每一个组合代表一个立起来的证券组合。每一个组合代表一个点点。 有效集有效集（efficient set） ：又称为：又称为有效边界有效边界（efficient fro

28、ntier）,它是它是有效组合的集合有效组合的集合（点（点的连的连线线） ，即在坐标系中即在坐标系中有效组合的预期收益和有效组合的预期收益和风险的组合风险的组合形成的形成的轨迹。轨迹。第8章现代投资组合理论2. 2. 两种两种风险资产构成的组合的风险与收益（风险资产构成的组合的风险与收益（可行集可行集）（1 1）若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的）若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为：之期望收益和方差为：1 12 222222112212122222112212121

29、21211 112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprw rw rwww wwww wwwrww rw rwwwww 由于，则由此就构成了资产在给定条件下的由此就构成了资产在给定条件下的可行集可行集！第8章现代投资组合理论 注意到：两种资产的相关系数为注意到：两种资产的相关系数为1 112121 1。 因此，分别在因此，分别在12121 1和和12121 1时，可以得到资产时，可以得到资产组合的可行集的组合的可行集的顶部边界顶部边界和和底部边界底部边界。其他所有的可其他所有的可能情况，在这两个边界之中。能情况，在这两个边界之中。 组合的风险收益二维表示如下

30、：组合的风险收益二维表示如下：收益收益rp P风险风险p第8章现代投资组合理论（2 2）两种完全正相关资产构成的组合的可行集：）两种完全正相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全正相关，即两种资产完全正相关，即12 1 1，则有，则有p1111211 1121p111p221122()(1)()(1)10pppwwwrww rw rwrrwrrrr当 时，当 时，所以，其可行集连接两点（ ，）和（ ，）的直线。第8章现代投资组合理论1111212121 112212121221212221212()(1)()/()()(1)()/()(1 ()/()pppppppwwwwrwrw rrrrrr

31、rr 则 从而故命题成立，证毕。命题命题8.18.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。条直线。证明：由资产组合的计算公式可得证明：由资产组合的计算公式可得第8章现代投资组合理论结论：结论：两种资产组合两种资产组合完全正相关完全正相关（ 12 1 1 ），当权），当权重重w1w1从从1 1减少到减少到0 0时可以得到一条直线，该时可以得到一条直线，该直线直线就构就构成了两种资产完全正相关的成了两种资产完全正相关的可行集可行集（假定不允许买假定不允许买空卖空空卖空）。）。A收益收益 Erp风险风险p11( ,)r22( ,)rB12 1 1第8章现代

32、投资组合理论（2 2）两种完全负相关资产构成的组合的可行集：两）两种完全负相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全负相关，即种资产完全负相关，即12 =1，则有则有2222p111121112111211 11221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)() (1)pwwwwwwwrww rwrwwwwwwwww =当时,当时，=当时，=第8章现代投资组合理论命题8.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号条直线，其截距相同，斜率异号。证明：证明：2112111121()(

33、1)()ppwwwwwf当时， 则 可 以得 到， 从 而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr第8章现代投资组合理论2112112111212221212,()(1)()ppppwwwwrrrrrr 同理可证当时，则命题成立，证毕。第8章现代投资组合理论两种证券完全负相关两种证券完全负相关，其构成的可行集是两条直线，其构成的可行集是两条直线，图示如下：图示如下：收益收益rp风险风险p122212r rr 22( ,)r11( ,)rAB12 -1-1第8章现代投资组合理论（3 3）两种不完全相关的风险资产的组合的可行集）两种不完全相关的风险资产的组合的可行集

34、11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 当1时尤其当 时这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。第8章现代投资组合理论总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组合的合的可行集可行集收益收益Erp风险风险p=1=1=0=0=-1=-111( ,)r22( ,)r122212r rr BA第8章现代投资组合理论1212121212121111 由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的增大，弯曲程度增加；当 时，呈现折线状，也就是弯曲

35、度最大；当 时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。第8章现代投资组合理论3 3。三种风险资产的组合二维表示（。三种风险资产的组合二维表示（可行集可行集） 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是设两种资产之间是不完全相关不完全相关（一般形态）。（一般形态）。收益收益rp风险风险p1234第8章现代投资组合理论4 4。n n种风险资产的组合二维表示（种风险资产的组合二维表示（可行集可行集）

36、 类似于类似于3 3种资产构成组合的算法，我们可以得到种资产构成组合的算法，我们可以得到一个一个月牙型月牙型的区域为的区域为n n种资产构成的组合的可行集。种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示第8章现代投资组合理论总结：可行集的两个性质总结：可行集的两个性质1)1)在在n n种资产中，如果种资产中，如果至少存在三项资产至少存在三项资产彼此不完全相关彼此不完全相关，则可行集合将是一则可行集合将是一个个二维的实体区域。二维的实体区域。2)2)可行区域是可行区域是向左侧向左侧凸出凸出的。因为任意的。因为任意两项资产构成的投两项资产构成的投资组合都位于两项资组合都

37、位于两项资产连线的左侧。资产连线的左侧。不可能的可行集不可能的可行集收益收益rp风险风险pAB第8章现代投资组合理论5 5。风险资产组合的有效集。风险资产组合的有效集 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会益水平这两个角度来评价，会明显优于明显优于另外一些另外一些投资组合，其特点是投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。提供最小风险。我们把我们把满足这两个条件（满足这两个条件（均方准均方准则则）的

38、资产组合，的资产组合，称之为称之为有效资产组合有效资产组合； 由所有由所有有效资产组合有效资产组合构成的集合构成的集合，称之为称之为有效集有效集或有效边界或有效边界。 投资者的投资者的最优资产组合最优资产组合将从将从有效集有效集中产生，而对中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。第8章现代投资组合理论6 6。二元证券组合（。二元证券组合（A A，B B）下的）下的有效边界有效边界A（1，0）0.18组合预期收益D（1/3,2/3）CFGB（0，1）组合标准差E1AB1AB0AB0.020.2150.0450.06X0.080.25第8章现

39、代投资组合理论7 7。多元证券组合下的。多元证券组合下的有效边界有效边界（N2N2）pr_pO有效边界有效边界GPSG可行域可行域SPBAHM整个可行集中，整个可行集中，G点为点为最左边最左边的点（具有最小标准差）。从的点（具有最小标准差）。从G点点沿可行集右上方的边界直沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点到整个可行集的最高点S（具（具有最大期望收益率），这一边有最大期望收益率），这一边界线界线GPS即是即是有效集有效集。如：。如：自自G点向右上方的点向右上方的GPS上的点上的点所对应的投资组合如所对应的投资组合如，与可，与可行集内其它点所对应的投资组行集内其它点所对应的投资组合（如点）

40、比较起来，在相合（如点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与的预期收益率；而与点比较点比较起来，在相同的收益水平下，起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。点承担的风险又是最小的。第8章现代投资组合理论总总 结结A A、两种资产的可行集、两种资产的可行集 完全正相关是一条直线完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线其他情况是界于上述情况的曲线B B、两种资产的有效集、两种资产的有效集 左上方的线左上方的线 C C、多个资产的有效边界、多个资

41、产的有效边界可行集：月牙型的区域可行集：月牙型的区域D D、多个资产的有效边界、多个资产的有效边界( (有效集有效集) ) ：左上方的线：左上方的线第8章现代投资组合理论8 8。马克维茨的数学模型。马克维茨的数学模型*均值均值- -方差（方差（Mean-varianceMean-variance）模型）模型是由哈里是由哈里马克马克维茨等人于维茨等人于19521952年建立的，其目的是年建立的，其目的是寻找有效边界寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。害怕风险和收益多多益善。 因此，根据上一章的占优原则这

42、可以转化为一因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即个优化问题，即（1 1）给定收益的条件下，风险最小化）给定收益的条件下，风险最小化（2 2）给定风险的条件下，收益最大化）给定风险的条件下，收益最大化第8章现代投资组合理论1111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=( , ,., )w=( ,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知资产组合收益、方差 协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有第8章现代投资组合理论对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉

43、格朗日乘子朗日乘子和和来解决这一优化问题。构造来解决这一优化问题。构造拉格朗拉格朗日函数日函数如下如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw上式左右两边对上式左右两边对wiwi求导数，令其一阶条件为求导数，令其一阶条件为0 0，得，得到方程组到方程组第8章现代投资组合理论111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niiiniiw rcw第8章现代投资组合理论这样共有这样共有n n2 2方程，未知数为方程，未知数为wiwi（i i1 1，2,2,n,n）、）、和和，共有，共有n n2 2个未知量，其解是存在的。个

44、未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。数加以解决。例：例：假设三项不相关的资产，其均值分别为假设三项不相关的资产，其均值分别为1 1，2 2，3 3，方差都为，方差都为1 1，若要求三项资产构成的组合期望收，若要求三项资产构成的组合期望收益为益为2 2，求解最优的权重。，求解最优的权重。100010001 由于1=(1 ,2,3) ,2Tc r第8章现代投资组合理论3111113222123332133123131231020302321jjjjjjjjji iiiiLwrwwLwrwwLwrwww rwwww

45、www第8章现代投资组合理论12301/31/31/31/3www课外练习课外练习： 假设三项不相关的资产。其均值分别为假设三项不相关的资产。其均值分别为1 1，2 2，3 3，方差都为方差都为1 1，若要求三项资产构成的组合期望收，若要求三项资产构成的组合期望收益为益为1 1，求解最优的权重。，求解最优的权重。由此得到组由此得到组合的方差为合的方差为213第8章现代投资组合理论.4最优风险资产组合的决定最优风险资产组合的决定1 1。由于假设投资者是。由于假设投资者是风险厌恶风险厌恶的，因此，最优投资的，因此，最优投资组合必定位于组合必定位于有效集边界有效集边界上，其他非有效的

46、组上，其他非有效的组合可以首先被排除。合可以首先被排除。2 2。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的则取决于投资者的风险规避程度风险规避程度。3 3。度量投资者风险偏好的。度量投资者风险偏好的无差异曲线无差异曲线与与有效边界有效边界共共同决定了最优的投资组合。同决定了最优的投资组合。第8章现代投资组合理论4.4.无差异曲线：无差异曲线：描述理描述理性投资者对性投资者对风险偏好风险偏好程度程度的曲线。的曲线。同一条无差异曲线同一条无差异曲线, ,

47、给投给投资者提供的资者提供的效用效用（即满足（即满足程度）是无差异的，程度）是无差异的，无差异曲线无差异曲线向右上方向右上方倾斜倾斜, ,高风险被其具有的高收高风险被其具有的高收益所弥补。益所弥补。对于每一个投资者对于每一个投资者, ,无差无差异曲线异曲线位置越高位置越高，该曲线，该曲线上对应证券组合给投资者上对应证券组合给投资者提供的提供的满意程度越高满意程度越高。第8章现代投资组合理论不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度第8章现代投资组合理论 5 5、最优投资组合的确定：最优投资组合的确定：投资者效用无差异曲投资者效用无差异曲线线和和有效边界有效边界的的切点

48、切点A就是多元证券组合的最就是多元证券组合的最佳组合点。佳组合点。Opr_p3I2I1IASG 最优资产组合位于无最优资产组合位于无差异曲线差异曲线I2与有效集与有效集相切的相切的切点切点A处。处。 由由G点可见，对于点可见，对于更更害怕风险害怕风险的投资者，的投资者，他在有效边界上的点他在有效边界上的点具有具有较低的风险和收较低的风险和收益益。第8章现代投资组合理论 6 6、资产组合理论的优点、资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行首次对风险和收益进行精确的精确的描述，解决对描述，解决对风险风险的衡量的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。问题，使投资学从一个艺术迈向科学。 分散投资的合理

49、性分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。 从单个证券的分析，转向从单个证券的分析，转向组合组合的分析的分析第8章现代投资组合理论 7 7、资产组合理论的缺点、资产组合理论的缺点 当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。用受到限制。 解的不稳定性。解的不稳定性。 重新配置的高成本。重新配置的高成本。因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是的方法，这就是CAPM。第8章

50、现代投资组合理论8.2 8.2 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）8.2.1 CAPM的假设条件的假设条件8.2.2分离定理分离定理8.2.3资本市场线（资本市场线（CML）8.2.4证券市场线（证券市场线（SML）8.2.5 CAPM的扩展形式的扩展形式第8章现代投资组合理论8.2.1 CAPM的假设条件的假设条件1.资本资产定价模型资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）:是由美国是由美国Stanford大学教授大学教授夏普夏普等人在等人在马马克维茨克维茨的的证券投资组合理论证券投资组合理论基础上提出的一种证券投基础上提出的一

51、种证券投资理论。资理论。 它是它是现代金融学现代金融学的奠基石，该模型对于的奠基石，该模型对于资产风险与其收益资产风险与其收益率之间的关系率之间的关系给出了给出了精确的精确的预测。预测。 CAPM解决了所有人按照组合理论投资下，解决了所有人按照组合理论投资下，资产的收益与资产的收益与风险风险的问题。的问题。CAPM 理论包括两个部分：理论包括两个部分：资本市场线资本市场线（CML）和）和证券市场线证券市场线（SML）。）。 它提供了一种对潜在投资项目它提供了一种对潜在投资项目估计其收益率估计其收益率的方法。模型的方法。模型使得我们能对不在市场交易的资产同样做出使得我们能对不在市场交易的资产同样

52、做出合理的估价合理的估价。 Markowitz, Sharpe, Lintner 与与 Mossin等做出了非常重等做出了非常重要的贡献。要的贡献。第8章现代投资组合理论夏普的夏普的CAPM模型模型 夏普夏普(William Sharpe)是美国斯坦福大学教授。是美国斯坦福大学教授。夏普夏普1934年年6月出生于坎布里奇，月出生于坎布里奇，1951年，夏普进入年，夏普进入加大伯克莱分校学医，后主修经济学。加大伯克莱分校学医，后主修经济学。1956年进入兰年进入兰德公司，同时读洛杉矶分校的博士学位。在选择论文德公司，同时读洛杉矶分校的博士学位。在选择论文题目时，他向同在兰德公司的马克维茨求教，在

53、马克题目时，他向同在兰德公司的马克维茨求教，在马克维茨的指导下，他开始研究维茨的指导下，他开始研究简化马克维茨模型简化马克维茨模型的课题。的课题。 19611961年他写出博士论文，提出年他写出博士论文，提出单因素模型单因素模型。这极。这极大地简少了计算数量。在大地简少了计算数量。在15001500只股票中选择资产组合只股票中选择资产组合只需要计算只需要计算45014501个参数，而以前需要计算个参数，而以前需要计算100100万个以上万个以上的数据。的数据。第8章现代投资组合理论 1964年提出的年提出的CAPM模型。它不是用模型。它不是用方差方差作资产的作资产的风险度量，而是以风险度量，而

54、是以证券收益率证券收益率与与全市场证券组合的收全市场证券组合的收益率益率的的协方差协方差作为资产风险的度量作为资产风险的度量(系数系数)。这不仅简。这不仅简化了马模型中关于风险值的计算工作，而且可以对过化了马模型中关于风险值的计算工作，而且可以对过去难以估价的证券资产的风险价格进行定价。他把资去难以估价的证券资产的风险价格进行定价。他把资产风险进一步分为产风险进一步分为“系统系统”和和“非系统非系统”风险两部分。风险两部分。提出：投资的分散化只能提出：投资的分散化只能消除非系统风险，而不能消消除非系统风险，而不能消除系统风险。除系统风险。 诺贝尔经济学评奖委员会认为诺贝尔经济学评奖委员会认为C

55、APM已构成已构成金融金融市场的现代价格理论的核心市场的现代价格理论的核心，它也被广泛用于经验分，它也被广泛用于经验分析，使丰富的金融统计数据可得到系统而有效的利用。析，使丰富的金融统计数据可得到系统而有效的利用。它是证券投资的实际研究和决策的一个重要基础。它是证券投资的实际研究和决策的一个重要基础。 第8章现代投资组合理论2. Markowitz的证券组合理论指出了如何通过选择的证券组合理论指出了如何通过选择风风险资产险资产建立资产组合，从而降低风险，它是一种建立资产组合，从而降低风险，它是一种规范性规范性（normative）的研究，即告诉投资者）的研究，即告诉投资者应该应该如何进行如何进

56、行投资选择投资选择。 当投资者都采用当投资者都采用Markowitz的组合理论选择最优的的组合理论选择最优的资产组合，那么，资产组合，那么，资产的均衡价格资产的均衡价格将如何在收益将如何在收益和风险的权衡中形成？和风险的权衡中形成？ CAPM阐述了当投资者都采用阐述了当投资者都采用Markowitz的理论进的理论进行投资管理的条件下行投资管理的条件下市场均衡状态的形成市场均衡状态的形成，把资，把资产的产的预期收益预期收益和和预期风险预期风险之间的理论关系用一个之间的理论关系用一个简单的简单的线性方程线性方程表达出来了。表达出来了。第8章现代投资组合理论3. CAPM的假设条件的假设条件: CA

57、PM以证券投资组合理论为基础，以证券投资组合理论为基础，其假设条件对其假设条件对CAPM仍然适用仍然适用，但，但CAPM的有关假设的有关假设更为严格更为严格。基本假设如下：。基本假设如下：投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和方差来评价投资组合（理性）方差来评价投资组合（理性）所有投资者均是理性的，追求投资资产组合的方差最所有投资者均是理性的，追求投资资产组合的方差最小化小化.投资者用不满足：当面临其他相同的两种组合时，他投资者用不满足：当面临其他相同的两种组合时，他们将选择具有较高预期收益率的组合；们将选择具有较高预期收益率的组合；资本市

58、场不可分割，所有投资者都可以免费和不断获资本市场不可分割，所有投资者都可以免费和不断获得有关信息（市场有效）得有关信息（市场有效）资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币不存在税收和交易费用不存在税收和交易费用第8章现代投资组合理论 存在着大量投资者，每个投资者的财富相对于所有投存在着大量投资者，每个投资者的财富相对于所有投资者的财富总和来说是微不足道的。所有投资者都只资者的财富总和来说是微不足道的。所有投资者都只是是价格的接受者价格的接受者（price takers），单个

59、投资者的交），单个投资者的交易行为对证券价格不发生影响（即易行为对证券价格不发生影响（即完全竞争市场完全竞争市场）. 只考虑只考虑单期单期（Single-period）投资，即所有投资者都）投资，即所有投资者都在在同一证券持有期同一证券持有期计划自己的投资行为资产组合计划自己的投资行为资产组合. 投资对象仅限于公开市场上交易的金融资产，还假定投资对象仅限于公开市场上交易的金融资产，还假定投资者可以在固定的投资者可以在固定的无风险利率无风险利率基础上基础上借入借入或或贷出贷出任任何额度的资产何额度的资产. 一致性预期一致性预期（homogeneous expectations） ：由于：由于投资

60、者均掌握了马克维茨模型，即所有投资者对证券投资者均掌握了马克维茨模型，即所有投资者对证券和经济局势的看法都一致，他们对证券的预期收益率和经济局势的看法都一致，他们对证券的预期收益率和标准差和协方差的看法一致。和标准差和协方差的看法一致。第8章现代投资组合理论1. 前面讨论了由前面讨论了由风险资产风险资产构成的组合，但未讨论资产中构成的组合，但未讨论资产中加入加入无风险资产无风险资产的情形。投资者可以将一个风险投资的情形。投资者可以将一个风险投资与无风险证券（如国库券）构成组合。与无风险证券（如国库券）构成组合。 无风险资产的具有无风险资产的具有正的期望收益正的期望收益，且其，且其方差为方差为0