律制详解五度相生律十二平均律纯律

1、音律是指音高的决定方式。现代乐器的音律主要有三种：（1）纯律：纯律中任何两个音的频率都成整数比， 这种音律源于号角， 因为它可以 吹出大调音阶中的三和弦 （ 简谱中的 1 3 5） ，它们的频率之比为 4:5:6 。大调音阶中的 其它三和弦也可以用这种方法得到，例如简谱中的 4 6 1 和 5 7 2 。这种音律在演奏和 声时很有优势，因为频率的整数比可以产生最好的结合。 铜管乐器指法不变时遵循纯律， 所以在演奏和声时，要尽可能地使用同样的指法。由于小调以小三和弦为主 （ 简谱中的 6 1 3） ，所以频率之比正好与大调相反，为 1/6:1/5:1/4 ，即 10:12:15 ，然而没有一种

2、乐器是按照这种音律定音的。（2）五度相生律：事实上它是纯律的一部分，它规定五度音的频率之比为 2:3 ，其 他音程都由若干个五度产生，五声音阶宫商角徵羽 （ 简谱中的 1 2 3 5 6） 按照五度相生 律定音，顺序是：宫T徵T商T羽T角。实践表明，按照五度相生律的音高演奏的旋律 是最优美的，弦乐器就是典型的按照五度相生律定音的乐器。五度相生律根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系， 即由某一音开始向上 推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生 年定出的音律叫做五度，产生再次一律，如此继续相生所定出的音律叫做五度相生律。 例如五度相生律所订出的七个基本音

3、级间的音高关系， 和十二平均律中七个基本音级的 音高关系是不同的。虽然EF、BC之间亦为半音，但比十二平均律中的半音要小。其余相邻两音级之间 虽然亦为全音， 但比十二平均律中的全音要大。 这种音高的差异就是由于定律方法的不 同而产生的。 ?（3）十二平均律：简称平均律， 它是根据对数关系确定音的频率的， 然而在八度上， 频率的比值却是严格的 1:2 ，所以更完整的说法应该是“八度的十二平均律”。计算频 率时，只要对 2开 12次方根，就可以确定两个半音频率的比值了。十二平均律是由巴 赫首先倡导在钢琴上使用的， 钢琴上每个半音具有同等地位， 因此这种音律在转调频繁 的作品中很有优势。十二平均律是

4、由明朝律学家朱载堉所提出， 早於西方五百年出现。 他将三分损益法 所产生的五度相生律无法还原的问题解决了， 其实五度相生律是纯律的物理和谐倍数关 系，每个调性都会衍生不同的频率差异音阶， 为了转调的实用性， 平均律的出现虽然解 决了转调问题，却也产生另一个和音不够完美的问题。十二平均律将八度间（倍频），刻划成平均的十二个音阶，以12根号 2 为基数为音阶间格，这样完整的十二个平均音阶就可以让12个调性圆满转换，每个音阶都可以吻合应用，钢琴是十二平均律的典型乐器， 西洋音乐之父巴哈就以此十二平均律编写了 十二种调性的古典乐曲，为十二平均律完整乐曲之始。一般认为，没有受过音乐训练的人，无法辨别 2

5、0音分以内的音调差别，而对音准 非常敏感的人， 例如小提琴家或钢琴调音师， 可以辨别 5音分以内的音差。 表 5-2 就以 音分为单位比较了三种音律的差别，归纳起来有以下两点：（1）纯律的五度音和五度相生律是一样的，但三度音差别很大，大三度音程偏小， 小三度音程偏大，即大调的第三级音明显偏低，这种现象在铜管乐器上很突出 （ 详见第 七章）。（2）五度相生律和十二平均律差别不大， 就全音而言， 前者比后者多 4 音分，就半 音而言，前者比后者少 10 音分，这就是五度相生律所谓的“大全音”和“小半音”。 对人的听觉来说， 小半音是最舒适的半音， 而平均律的半音略显得大些， 这是平均律唯 一的缺陷

6、。要介绍十二平均律曲集，就得先介绍什么是“十二平均律”。而要介绍“十二 平均律”，就得先介绍什么是“律”。“律”，即“音律”（ intonation ），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组 高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的do、re 、mi、fa 、so、la 、si ，这 7个音符就组成了一组音律。 研究音律的学问叫做“律学”。 也就是研究为什么要选择do、re、mi这7个音（当然也可以选择其它音）作为规 范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。对于任何民族来说， 只要他们有着丰富的音乐体验， 只要他们想积累起关于

7、音乐的 知识，迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的 音乐形式可谓万紫千红、 百花争艳， 彼此也没有互相借鉴， 但大家的律学的基础概念却 出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。（BTW现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词， 其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（ chant ）的首音节。这些圣咏 是西方现代音乐的源头。）学过高中物理的都知道， 声音的本质是空气的振动。 而空气的振动是以波的形式传 播的，也就是所谓的声波。 所有的波（包括声波、 电磁波等等） 都有三个最本质的特性： 频率波长、振

8、幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”， 声波的振幅决定了这个声音有多“响”， 而人耳对于声波的相 位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。律学当然不考虑声音有多“响”， 所以律学研究的重点就是声波的频率。 一般来说， 人耳能听到的声波频率范围是 20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次） 之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于 20HZ 的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。（BTW人耳能分辨的最小频率差是 2HZ举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ 的声音是不同

9、的，但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同。另外，人耳在高音区 的分辨能力迅速下降，原因见后。）需要特别指出的是， 人耳对于声波的频率是指数敏感的。 打比方说， 100HZ、200HZ、 300HZ 400HZ这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ 200HZ 400HZ 800HZ这些声音，人听起 来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组声音，如果 它们的频率是严格地按照X 1、X 2、X 4、X 8，即按2n的规律排列的话，它们听 起来才是一个（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的

10、1倍、2倍、3倍16倍。 大家可以听一下， 感觉它们是不是音越高就“距离”越近。 用音乐术语来说， 这些音都 是110HZ的“谐波” （harmonics ），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。这 个ogg文件可以用“暴风影音” / StormCodec软件来试听。）由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“X2就意味着等距离”的关系是音乐 中最基本的关系。用音乐术语来说，X2 就是一个“八度音程”（octave ）。前面提到 的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度 音程的关系。也就是说，高音do的频率是do的两倍。同样的，re和高音re

11、之间也是 八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do,其 频率就是do的4倍。也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。显然，一个音的所 有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音 程”。很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众 只会觉得音变高了， 旋律本身不会有变化。 这种等效性， 其实就是“等差音高序列”的 直接结果。“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址， 曾经出土了一管距今 9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏 8个音符，其中就包含了一个八度音

12、程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。明白了八度音程的重要性, 下面来介绍在一个八度音程之内, 还有那些音是重要的。 这其实是律学的中心问题。也就是说，如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发 声是因为琴弦的振动。 而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。 如果在一根弦振动的时 候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以 1/2 长度振动的弦，我 们会听到一个比较高的音。 这个音和原来的音

13、之间就是八度音程的关系。 因为在物理上， 弦的振动频率和其长度是成反比的。由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。 他们自然会想：如果八度音程的 2:1 的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能 实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上 2:1 是最简单的比例关系了， 简单性 仅次于它的就是 3:1 。那么，我们如果按住弦的 1/3 点，会怎么样呢？其结果是弦发出 了两个高一些的音。一个音的频率是原来的 3倍（因为弦长变成了原来的 1/3），另一 个音是原来的 3/2 倍（因为弦长变成了原来的 2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关 系（因为它们彼此的弦

14、长比是2:1 ）。这样，在我们要寻找的F2F的范围内，出现了 第一个重要的频率，即3/2F。（那个3F的频率正好处于下一个八度，即 2F4F中的 同样位置。）接着再试，数学上简单性仅次于 3:1 的是 4:1 ，我们试试按弦的 1/4 点会怎样？又 出现了两个音。一个音的频率是原来的 4倍（因为弦长变成了原来的 1/4），这和原来 的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率是主 音的 4/3 倍（因为弦长是原来的 3/4）。现在我们又得到了一个重要的频率， 4/3F。同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音 F 最和谐的就是3/2F和

15、4/3F （除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别 发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯 （Pythagoras ， 约公元前6世纪）。我国先秦时期的管子地员篇、吕氏春秋音律篇也记载 了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一 留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。得到这两个频率之后，是否继续找 1/5 点、 1/6 点等等继续试下去呢？不行，因为 听觉上这些音与主音的和谐程度远不及 3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐 程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与

16、主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2 ） 2F即9/4F。 可是这已经超出了 2F 的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差音高序列” 吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把 9/4F 的 频率减半，便得到了 9/8F 。接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了 27/8F，这也在下一个八 度中，再次频率减半，得到了 27/16F。就这样一直循环找下去吗？不行， 因为这样循环下去会没完没了的。 我们最理想的 情况是某一次循环之后， 会得到主音的某一个八度， 这样就算是“

17、回到”了主音上， 不 用继续找下去了。可是(3/2)n,只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是 2 的某次方。律学所有的麻烦就此开始。数学上不可能的事， 只能从数学上想办法。 古人的对策就是“取近似值”。 他们注 意到(3/2 ) 5，和23 = 8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这 个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环 5次，得到了 5个音，加上主音和4/3F，一共是7 个音。这就是为什么音律上要取 do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音 符的原因。这7个音符的频率，从小到大分别是

18、F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi，这7个频率组成了7 声音阶。这 7 个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音(tonic )、上主音(supert onic )、中音(media nt)、下属音(subdo minant)、属 音(dominant )、下中音(submedia nt)、导音(leadi ng tone )。其中和主音关系最 密切的是第5个“属音” so和第4个“下属音” fa，原因前面已经说过了，因为它们 和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。

19、由于这个音律主要是从“属音” so 即 3/2F 推导出来的，而 3/2 这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫 做“五度相生律”。 西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯 (所以西方 把按 3/2 比例定音律的做法叫做 Pythagorean tuning )，东方是管子一书的作者(不一定是管仲本人) 。我国历代的各种音律， 大部分也都是从“三分损益律”发展出 来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。仔细看上面“五度相生律”7 声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单： dore、remi、faso、sola、lasi之间的频率比都是 9:8，这个比例被称为 全音(

20、tone ) ; mifa、sido之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音( semitone )。“五度相生律”产生的 7 声音阶，自诞生之日起就不断被批评。 原因之一就是它太 复杂了。前面说过， 如果按住弦的 1/5 点或者 1/6 点，得到的音已经和主音不怎么和谐 了，现在居然出现了 81/64 和 243/128 这样的比例， 这不会太好听吧？于是有人开始对 这 7 个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（ just intonation ）。“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来， 也就是说让各个音和主音的频率 比尽量简单。 “纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同 （今

21、意大利南部的塔兰托城） 的亚 理斯托森努斯（ Aristoxenus of Tarentum ）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的 概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前 3 世纪。他的学说的重点就是要靠 耳朵，而不是靠数学来主导音乐。 他的书籍现在留下来的只有残篇， 不过可以证实的是 他最先提出了所谓“自然音阶”。自然音阶也有 7个音，但和“五度相生律”的 7 声音阶有不小差别。 7个自然音阶 的频率分别是： F、9/8F、5/4F 、4/3F 、3/2F 、5/3F 、15/8F 。确实简单多了吧？也确实 好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。可以看出“纯律”不光用到了 3/2

22、 的比例，还用到了 5/4 的比例。新的 7 个频率中 和原来不同的就是 5/4F、5/3 （二 5/4 X 4/3） F、15/8 （二 5/4 X 3/2 ） F。虽然“纯律”的 7声音阶比“五度相生律”的 7声音阶要好听， 数学上也简单，但 它本身也有很大的问题。 虽然各个音和主音的比例变简单了， 但各音之间的关系变复杂 了。原来“五度相生律”7 声音阶之间只有“全音”和“半音”2 种比例关系，现在则 出现了 3种：9:8 （被叫做“大全音”，major tone ,就是原来的“全音”）、10:9 （被 叫做“小全音”， minor tone ）、 16:15（新的“半音”）。各位把自然

23、音阶的频率互 相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的 re 和 fa ，其频率比 是 27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修 正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取 7 个音符吗？是因为（3/2 ） 5-，和23= 8很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。 在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度， 那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。通过计算，古人发现（3/2 ） 12",和2

24、7= 128很接近，于是他们把“五度相生律” 中“按 3/2 比例寻找最和谐音”的循环过程重复 12次，便认为已经到达了主音的第 7 个八度。再加上原来的主音和 4/3F ，现在就有了 12个音符。注意，现在的“规范”音阶不是 do、re、mi等7个音符了，而是12个音符。 这种经过修改的“五度相生律”推出的 12声音阶，其频率分别是： F、2187/2046F、9/8F、 19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、 243/128F。和前面的“五度相生律”的 7声音阶对比一下， 可以发现原来的

25、7个音都还在，只 是多了 5 个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7 个音符，分别是 C、D E、F、G A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C# （读做“升C'）、D# F#、G# A# 12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C# D D# E、F、F# G G# A、A# B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有 两种： 256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”）， 2187:2048（这被叫做 “变化半音”）。也就是说，这 12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的 “距离”几乎是相等的。 （

26、当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严 格的“距离”相等了。）原来的 7声音阶中，CD D- E、FG S A、AB之间都 相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。 这也就是“全”、“半” 这种叫法的根据。既然C#被认为是从C “升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D “降”了半 音得到的，所以C#和Db （读做“降D'）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音 符也可以被写做： Db、 Eb、 Gb、 Ab、 Bb。这种 12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白 键对应的就是原来7声音阶中的C、DB,所有的黑键对应的就是

27、12声音阶中新加 入的C# EbBbo从 7声音阶发展到 12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。管子中实 际上已经提出了 12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的 12声音阶为 主。毕达哥拉斯学派也有提出这 1 2声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它 们。能不能把“五度相生律”的 12声音阶再往前发展一下呢？可以的。 12声音阶的依 据就是（3/2 ） 12，和27= 128很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。还有人真地找到了，此人就是我国西汉的着名学者京房（77 BC-47 BC o他发现（3/2 ） 53X 109,和231X 109也很接近，于是提出

28、了一个53音阶的新音律。要知 道古人并没有我们现在的计算器，计算这样的高次幕问题对他们来说是相当麻烦的。当然，京房的新律并没有流行开，原因就是 53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐 的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明 12 声音阶也不完美，也确实需要改进。“五度相生律”的 12 声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然 半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243） "。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是 256:243 "了。如果 12声音阶是真正的“等差音高序列”的话

29、，每个半音就应该是相等的，各个 音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的 12声音阶可以把一个八度“等分”成 12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越 来越觉得有“转调”的必要了。所谓转调， 其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。 比方说，如果某一个人的音域 是C高音C （也就是以前的do高音do）,乐器为了给他伴奏，得在 C高音C之内 弹奏旋律；如果另一个人的音域是 D高音D （也就是以前的re高音re），乐器得在 D高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”， 人们会觉得C高音C之内的旋律和D高音D之内的旋律不一样。特别是

30、如果旋律涉 及到比较多的半音， 这种不和谐就会很明显。 可以说，如果现在的钢琴是按“五度相生 律”来决定各键的音高， 那么只要旋律中涉及到许多黑键， 弹出来的效果就会一塌糊涂。这种问题在弦乐器上比较好解决， 因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。 演 奏者可以根据不同的音域、 旋律的要求， 有意地不在规定的指位上按弦， 而是偏移一点 按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定 的，无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能 用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就 预先准备下许多额外的发音管。

31、 以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。 这 种音律规则上的缺陷， 导致一方面作曲家觉得受到了限制， 一方面演奏家也觉得演奏起 来太麻烦。问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（ 3/2） 12毕竟和 27并 不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的对“五度相生律” 1 2声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370 AD- 447 AD）,他的做法是把（3/2 ） 12和27之间的差距分 成 12 份，累加地分散到 12 个音阶上，造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作， 并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把（ 3/2）

32、 12和 27之间的差距分散到其它 音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶 中最重要的和谐，即使是在 12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好 的结果也是 12音中至少有一个“不在调上”。 如果把差距全部分散到 12个音阶上的话， 就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的4/3比例（术语是“纯四度”）。 这样一来， 虽然方便了转调， 但代价就是音阶再也没有以前好听了。 因为一个八度之内 最和谐的两个关系纯五度和纯四度都被破坏了。一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（ Meantonetemperament），就是

33、在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2 ） 12和27之间的差距尽量分配到 12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实 都在等待新的音律出现。终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分 1 2份吗？直接就 把 2:1 这个比例关系开 12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是 21/12。 如果12音阶中第一个音的频率是F,那么第二个音的频率就是21/12F，第三个音就是 22/12F，第四个音是23/12F ,，第十二个是211/12F，第十三个就是212/12F，就 是2F，正好是F的八度。这是“转调”问题的完全解决。 有了这个新的音律， 从任

34、何一个音弹出的旋律可以 复制到任何一个其它的音高上， 而对旋律不产生影响。 西方巴洛克音乐中， 复调音乐对 于多重声部的偏爱， 有了这个新音律之后， 可以说不再有任何障碍了。 后来的古典主义 音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义 者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。这种新的音律就叫“十二平均律”。 首先发明它的是一位中国人，叫朱载埴（yu）0 他是明朝的一位皇室后代，生于 1536年，逝世于 1611 年。他用珠算开方的办法（珠算 开 12 次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于 所着的律学新书一书0很可惜，他的发明，和

35、中国古代其它一些伟大的发明一样， 被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知0西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚 50 年左右0不过很快就传播、流行 开来了0主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求0 当然，反对“十二 平均律”的声音也不少0主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度0 不过这种破坏程度并不十分明显0“十二平均律”的12声音阶的频率（近似值）分别是：F（C）、（C#kDb、（D）、 （ D#Eb）、（ E）、（ F）、（ F#Gb）、（ G）、（ G#Ab） 、（ A）、（ A#Bb）、（ B）0注意，现在所有的半音都一样了，都是 21/12，即0以前的自然半音和变化半音的区别没有了0另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是3/2 （即纯五度），现在 “十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是，和纯五度所要求的3/2 （）非常接近。 原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是4/3 (即纯四度)，现在“十二平均 律”的12音阶中，C和F的比例是，和