第2节函数求导法则PPT课件

1、二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 第1页/共26页思路思路:0()( )( )limxf xxf xfxx ( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式0 xcosx1()C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容第2页/共26页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu

2、)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv第3页/共26页此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,第4页/共26页(2)()uvu vuv证: 设( )( ) ( ),f xu x v x 则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvh

3、xuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )第5页/共26页例例1. 解:4sin x (121sin1) 3(4cossin1),yx xx1.xyy 求求及及y ()x x 31(4cossin1)2xxx2(3xx)1xy 4cos1 (34sin1)77sin12cos1223(4cossin1)xx3(4cossin1)xx 第6页/共26页0 lim() ( )h

4、v xh v x )()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3) 2uu vuvvv 证: 设( )f x 则有0()( )( )limhf xhf xfxh 0 limhh ( )( ),u xv x()()u xhv xh ( )( )u xv x hhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.2( ) ( )( ) ( )( )u x v xu x v xvx 推论: 2CCvvv ( C为常数 )第7页/共26页 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求求证证,sec)(tan2xx证: .cotc

5、sc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第8页/共26页 ( )fx 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此1( )( ),yf xxfy 设设为为的的反反函函数数1( )fy 在在1( )0fy 且且d dyx 或或0,x ()( )yf xxf x0, yx yx00,xy时时必必有有0( )limxyfxx 0 limy yxddxy 1

6、1( )fy 111( )fy 11第9页/共26页1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设arcsin,yx 则sin,xy (,),22y (arcsin )x (sin )y 1cos y 211sin y 211x 类似可求得(arccos )?x 21(arctan ),1xx 21(arccot )1xx 211x arccosarcsin2xx 利用(sin )cos0yy , 则在此开区间单调可导，且第10页/共26页2) 设设(0 ,1),xyaaa则log,(0 ,)axyy ()xa 1(log)ay 11lnyalnya ln

7、xaa (e )exx (arcsin )x 211x (arccos )x 211x (arctan )x 211x (arccot )x 211x ()lnxxaaa (e )exx 特别当ea时,小结:第11页/共26页在点 x 可导,0 limx ( )uufuxx 0dlimdxyyxx 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理3.( )ug x ( )yf u 在点)(xgu 可导复合函数 fy ( )g x且d( )( )dyfu g xx 在点 x 可导,证:( )yf u 在点 u 可导,故0lim( )uyfuu ( )yfuuu （当 时 )0u0故有( )( )fu

8、 g x uy)(uf( )(0)yuufuxxxx 第12页/共26页例如,( ),( ),( )yf uuvvxddyx ( )( )( )fuvxyuvxddyu dduv ddvx关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情此法则可推广到多个中间变量的情形形.第13页/共26页例例4. 求下列导数求下列导数:(1) () ;(2) () ;(3) (sh ) .xxxx 解: (1)ln()()xxe ln xe (ln )x x x 1x ln()()xxxxe lnxxe ( ln )xx xx (ln1)x (2)说明: 类似可得lnx

9、xaae ()xa ln.xaa 第14页/共26页例例5. 设设lncos(),xye 求d.dyx解:ddyx1cos()xe ( sin()xe xe tan()xxee 思考: 若( )fu 存在 , 如何求(lncos()xfe的导数?ddfx( lncos() )xfe (lncos()xe lncos()( )xuefu 这两个记号含义不同 练习: 设( ( ( ),yf f f x ( ),.f xy 其其中中可可导导 求求第15页/共26页例例6. 设设2ln(1),yxx.y 求求解: y211xx 12121x 2x 211x 第16页/共26页1. 常数和基本初等函数的

10、导数 (P94)( )C 0 )(x1x (sin )x xcos )(cosxsin x (tan )x x2sec )(cot x2csc x )(secxxxtansec )(cscxcsc cotxx )(xaaaxln )(xexe )(log xa1lnxa )(lnx1x )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x 第17页/共26页2. 有限次四则运算的求导法有限次四则运算的求导法则则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(

11、xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导,uyddxudd且导数仍为初等函数第18页/共26页求导公式及求导法则 (见 P94)注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x例.xx1431x对吗?2114341xx第19页/共26页P97:8(9)求解:11,11xxyxx .y 22212xxy 21xx1 y2121x )2( x211xx 第20页/共26页例例. 求解:2sin2arctan1 ,xyex.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arc

12、tan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导第21页/共26页例例. 设设求2221111arctan 1ln,2411xyxx.y解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第22页/共26页 例例. 设设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：2csc2xx2sec2112 2 x 3112()2x例 . 设,)(xfffy 解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可导, 求.y求.y第23页/共26页例例. 求下列函数的导数求下列函数的导数解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或