0803曲面及其方程PPT课件

1、1一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、小结与教学基本要求五、小结与教学基本要求第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程2水桶的表面、地球的表面等等水桶的表面、地球的表面等等在空间解析几何中在空间解析几何中,曲面被看成曲面被看成曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念空间点的几何轨迹空间点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：:0),(有有如如下下关关系系与与三三元元方方程程如如果果曲曲面面 zyxfs上的点的坐标上的点的坐标曲面曲面s)1(上的点的坐标上的点的坐标不在曲面不在曲面s)2(是是则则称称方方程

2、程0),( zyxf是是称曲面称曲面s,的方程的方程曲面曲面s.0) ,(的的图图形形方方程程 zyxf;都满足方程都满足方程,都不满足方程都不满足方程3 研究空间曲面的研究空间曲面的两个基本问题两个基本问题：1. 1. 已知曲面的形成条件，已知曲面的形成条件， 求曲面的方程求曲面的方程; ;2. 2. 已知曲面方程，已知曲面方程， 研究曲面的形状研究曲面的形状4解解,|0rmm ,202020rzzyyxx ,2202020rzzyyxx 特殊地特殊地,球心在原点时方程化为球心在原点时方程化为:.2222rzyx 例例1,),(是是球球面面上上任任意意一一点点设设zyxm.),(0000的的

3、球球面面方方程程半半径径为为建建立立球球心心在在点点rzyxm,不不满满足足上上述述方方程程不不在在球球面面上上的的点点的的坐坐标标又又.球球面面方方程程上上述述方方程程即即为为所所要要求求的的5 2202020rzzyyxx 展展开开关于球面方程的说明关于球面方程的说明: :; 0222 dczbyaxzyx,反之反之? 0 222的的图图形形任任给给 dczbyaxzyx),4(41)2()2()2(222222dcbaczbyax , 04 222 dcba若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 dcba若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 dcba若若方方程程的的图图形形

4、;球球面面;一个点一个点.不存在不存在6解解例例2? 042 222的的图图形形认认识识方方程程 tyxzyx:,方方程程化化为为配配方方 222)2()1(zyx,5t , 05 )1(时时当当 t方方程程的的图图形形是是球心为球心为),0 , 2, 1( 半径为半径为;5t , 05 )2(时时当当 t方方程程的的图图形形是是, 05 )3(时时当当 t方程的图形方程的图形);0 , 2, 1( 点点,球面球面.不存在不存在球面方程的特点球面方程的特点: :三元二次方程，平方项前系数相三元二次方程，平方项前系数相等，且不含混合二次项等，且不含混合二次项. .7,),(是是中中垂垂面面上上的

5、的任任意意一一点点设设zyxm 222321 zyx ,412222 zyx又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 07262 :, zyx得得化化简简解解例例3.),4 , 1, 2(),3 , 2 , 1(的的中中垂垂面面方方程程求求线线段段已已知知abba 所以所以, 上述方程即为所求的中垂面方程上述方程即为所求的中垂面方程.|,|mbma 8解解,21|0 mmmo ,21432 222222 zyxzyx即即 ,911634132222 zyx又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,例例4.2:1)

6、4 , 3 , 2(0所所组组成成的的曲曲面面方方程程的的点点的的全全体体的的距距离离之之比比为为及及求求与与原原点点mo,),(是曲面上的任意一点是曲面上的任意一点设设zyxm所以所以,上述方程即为所要求的曲面方程上述方程即为所要求的曲面方程.9二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .10,)1(1zz 22yxd旋转曲面的方程的求法：旋转曲面的方程的求法：如图如图:,221

7、yxy , 0),(22 zyxf|,|1y 0),( zyfxozy), 0(111zym m.即为所求即为所求轴的距离轴的距离到到点点zm)2(, 0),( 11 zyf显显然然又又),(zyx), 0 , 0(1z11; 0),(22 zxyf 0, yxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y; 0) ,(22 yzxf 0, zyf轴轴绕绕z, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y 0, zxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕z. 0) ,(22 zyxf旋转曲面的方程的一般结果：旋转曲面的方程的一般结果：12解解例例1.,2222的的形形成成研研究究球球面面根根据据

8、上上述述结结论论rzyx 222ryx 轴轴绕绕 x 轴轴绕绕 y 222rzx 轴轴绕绕 x 轴轴绕绕 z 222rzy 轴轴绕绕 y 2222rzyx 轴轴绕绕 z 13绕绕 z 轴：轴：解解例例3. 0 所所成成的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转轴轴和和分分别别绕绕平平面面上上的的曲曲线线求求yzyzyoz , 022 yxz , :22yxz 即即, 022 yzx, :22zxy 即即绕绕 y 轴：轴：圆锥面圆锥面; 222yxz 或或. 222zxy 或或14绕绕 z 轴：轴：解解例例3. 0 所所成成的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转轴轴和和分分别别绕绕平平面

9、面上上的的曲曲线线求求yzyzyoz , 022 yxz , :22yxz 即即圆锥面圆锥面; 222yxz 或或点点 o 称为圆锥的顶点称为圆锥的顶点15xozyoxzy 16解解例例3)20(, 半半顶顶角角为为轴轴为为旋旋转转轴轴为为顶顶点点求求以以zo,cot 轴轴旋旋转转面面成成的的旋旋转转曲曲面面绕绕面面上上的的直直线线此此圆圆锥锥面面可可视视为为zyzyoz :所求方程为所求方程为,cot22 yxz .cot)( 2222 yxz 或或; 0),( 2222均均表表示示圆圆锥锥面面方方程程 ayxaz; 0),( 2222均均表表示示圆圆锥锥面面方方程程 axzay. 0),(

10、 2222均均表表示示圆圆锥锥面面方方程程 azyax.的的圆圆锥锥面面的的方方程程17练习练习: 轴轴绕绕 x122222 czbyx将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程; 1 )1(2222轴轴轴轴和和分分别别绕绕面面上上的的双双曲曲线线zxczbxxoz 122222 czybx: 轴轴绕绕 z18: 轴轴绕绕 x122222 czbyx旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面; 1 )1(2222轴轴轴轴和和分分别别绕绕面面上上的的双双曲曲线线zxczbxxoz : 轴轴绕绕 z旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面xyz122222

11、czybx19122222 cxzby122222 czbyx旋转椭球面旋转椭球面; 1 )2(2222轴轴轴轴和和分分别别绕绕面面上上的的椭椭圆圆zyczbyyoz : 轴轴绕绕 y: 轴轴绕绕 z2022yxz 旋转抛物面旋转抛物面. )3(2轴轴绕绕面面上上的的抛抛物物线线zyzyoz xyzo21xyz的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆c, 222ryx 222ryx 平行于平行于 z 轴的直线沿曲线轴的直线沿曲线c平移所形成的曲面称为平移所形成的曲面称为圆圆故在空间故在空间222ryx 过此点作过此点作柱面柱面. .对任意对任意 z ,平行

12、平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示表示圆柱面圆柱面oc在圆在圆c上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm点点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 . .222ryx 在空间中在空间中22定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .cl,叫叫准准线线曲曲线线c.叫叫母母线线直直线线l23柱面举例：柱面举例：xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面xozy422 yx圆柱面圆柱面

13、),(zyxm m )0 ,(yx24从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：:同同的的特特征征是是以以上上各各柱柱面面的的方方程程的的共共 .,zyx而缺而缺只含只含,一般地一般地 ,0),(,表表示示一一条条曲曲线线方方程程平平面面上上若若在在 yxfxoy在在空空间间的的图图形形是是则则方方程程0),( yxf,轴轴的的柱柱面面母母线线平平行行于于z.0),(是是该该柱柱面面的的准准线线平平面面曲曲线线 yxf)0( 2 aaxyaxy )0( 222 aayx平面平面抛物柱面抛物柱面圆柱面圆柱面 12222 byax椭圆柱面椭圆柱面所以所以/ / 轴轴z25其他情形类似其他情形类

14、似: :实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 / / 轴轴x双曲柱面双曲柱面 / / 轴轴y抛物柱面抛物柱面 / / 轴轴x12222 czby12222 bzax)0( 2 aayz12222 byax双曲柱面双曲柱面 / / 轴轴z26 1、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角 坐标系中分别表示什么图形？坐标系中分别表示什么图形？练习题练习题平面中平面中空间中空间中2 x422 yx1 xy方方 程程直线直线平面平面圆圆圆柱面圆柱面直线直线平面平面12122 yx椭圆椭圆椭圆柱面椭圆柱面27._,_,92. 222其名称为其名称为所生成的曲面的方程为所生

15、成的曲面的方程为轴旋转一周轴旋转一周绕绕面上的曲线面上的曲线将将zzxxoz 922222 zyx旋转椭球面旋转椭球面._4,. 322名名称称为为的的图图形形方方程程在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中 xzx圆柱面圆柱面._0,. 42名称为名称为的图形的图形方程方程在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 yx抛物柱面抛物柱面._3,. 5名名称称为为的的图图形形方方程程在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中 y平平面面28二次曲面的定义：二次曲面的定义：认识二次曲面的常用方法认识二次曲面的常用方法：四、二次曲面四、二次曲面截痕法；截痕法；伸缩变形法伸缩变形法.二次曲面的种类：二次曲面的种类：

16、要求知道几种常见的二次曲面要求知道几种常见的二次曲面方法方法1：方法方法2*：三元二次方程三元二次方程 所表示的图形所表示的图形0),( zyxf相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面29认识二次曲面的常用方法认识二次曲面的常用方法：截痕法；截痕法；伸缩变形法伸缩变形法.方法方法1：方法方法2*：截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即考察其交线（即截痕截痕）的形状，通过综合截）的形状，通过综合截痕的变化来想象这个曲面的形状。痕的变化来想象这个曲面的形状。30zyx(1)范围：范围：czbyax ,(2)与坐标面的交

17、线：椭圆与坐标面的交线：椭圆,012222 zbyax,012222 xczby 012222yczax)1(1 222222 czbyax椭球面椭球面31)1(1 222222 czbyax椭球面椭球面作截线作截线1 222222 czbyaxtz 1)(1)(1 222222 ctbyctaxtz 时时ct | 椭圆椭圆时时ct | )., 0 , 0(t点点32)1(1 222222 czbyax椭球面椭球面122222 czbyx旋转椭球面旋转椭球面2222azyx 球面球面33)2(1 222222 czbyax作截线作截线1 222222 czbyaxtz 1)(1)(1 2222

18、22 ctbyctaxtz 椭圆椭圆 xo z y34)2(1 222222 czbyax作截线作截线1 222222 czbyax0 x1 2222 czby0 x双曲线双曲线 xyo z35)2(1 222222 czbyax作截线作截线1 222222 czbyax0 y1 2222 czax0 y双曲线双曲线 xyo z单叶双曲面单叶双曲面36)3(1 222222 czbyaxyxoz双叶双曲面双叶双曲面371 222222 czbyax单叶双曲面单叶双曲面yo z双叶双曲面双叶双曲面1 222222 czbyaxyxoz122222 czbyx旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面12222

19、2 czybx旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面38)4(zbyax 2222 xyzo椭圆抛物面椭圆抛物面39)5(zbyax 2222 双曲抛物面双曲抛物面,马鞍面马鞍面*yxzo,2222atzby ,截此曲面截此曲面以以t x ;抛物线抛物线,0截截此此曲曲面面以以 y,22axz ;抛物线抛物线,2222tbyax ,)0(截此曲面截此曲面以以 tt z.双曲线双曲线40椭圆抛物面椭圆抛物面zbyax 2222 xyzo双曲抛物面双曲抛物面,马鞍面马鞍面*zbyax 2222 )(222yxaz 旋转抛物面旋转抛物面4122222 (6)zbyax 作截线作截线22222 zbyax tz

20、 1)()( 2222 btyatxtz 时时0 t椭圆椭圆作截线作截线22222 zbyax 0 xybz|1 0 x直线直线4222222 (6)zbyax xyz作截线作截线22222 zbyax 0 yxaz|1 直线直线0 y.时时，曲曲面面变变为为圆圆锥锥面面当当ba 椭圆锥面椭圆锥面431 )7(2222 byax椭圆柱面椭圆柱面1 )8(2222 byax双曲柱面双曲柱面ayx 2 )9(抛物柱面抛物柱面44一、柱面一、柱面二次曲面类型总结二次曲面类型总结二、椭球面二、椭球面三、双曲面三、双曲面五、椭圆锥面五、椭圆锥面四、抛物面四、抛物面45一、柱面一、柱面1 )1(2222

21、byax椭圆柱面椭圆柱面1 )2(2222 byax双曲柱面双曲柱面ayx 2 )3(抛物柱面抛物柱面46二、椭球面二、椭球面1 222222 czbyax122222 czbyx旋转椭球面旋转椭球面2222azyx 球面球面47三、双曲面三、双曲面1 222222 czbyax单叶双曲面单叶双曲面yo z双叶双曲面双叶双曲面1 222222 czbyaxyxoz122222 czbyx旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面122222 czybx旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面48四、抛物面四、抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面zbyax 2222 xyzo双曲抛物面双曲抛物面,马鞍面马鞍面*zbyax 2222

22、 )(222yxaz 旋转抛物面旋转抛物面49五、椭圆锥面五、椭圆锥面22222 zbyax xyz.时时，曲曲面面变变为为圆圆锥锥面面当当ba 50:称称写写出出下下列列方方程程的的图图形形名名练习练习平面平面球面球面椭球面椭球面椭圆柱面椭圆柱面圆柱面圆柱面抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面上半椭圆锥面上半椭圆锥面圆锥面圆锥面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面12 . 1 yx1)1()1( . 2222 zyx13)1(2)1( . 3222 zyx12 . 422 xy122 . 522 xy032 . 62 xy132 . 822 xy2232 .10y

23、xz 1322 .11222 zyxzyx 2232 .12222233 . 9zxy zyx 22 .13222332 . 7zxy 椭圆锥面椭圆锥面51下面介绍下面介绍伸缩变形法伸缩变形法*：1、平面图形的、平面图形的伸缩变形法伸缩变形法：,平平面面上上在在xoycm的轨迹的轨迹则点则点.cyc 倍倍变变成成图图形形轴轴方方向向伸伸缩缩沿沿上上述述工工作作称称为为把把图图形形 oaabmcc m xy),(),(yxmyxm 将将点点,cm 的的轨轨迹迹点点. 0)1,(:0),(: yxfcyxfc 52, 0),( yxfc的的方方程程为为已已知知问题：问题：.的方程的方程求求c ,)

24、,(11cyxm cyxm ),(设设,1,11yyxx , 0),(11 yxf又又. 0)1,( yxf ,:222ayxc 已知圆已知圆例：例： 倍倍轴伸缩轴伸缩沿沿aby:c ,)(222aybax , 1:2222 byaxc即即.椭椭圆圆求解：求解：53, 的的轨轨迹迹点点的的轨轨迹迹则则点点mm. 倍变成图形倍变成图形轴方向伸缩轴方向伸缩沿沿上述工作称为把图形上述工作称为把图形 y2、空间图形的、空间图形的伸缩变形法伸缩变形法：),(),(,zyxmzyxmoxyz 将将点点中中在在空空间间, 0),( zyxf的的方方程程为为已已知知问题：问题：.的的方方程程求求 ,),(11

25、1 zyxm ),(zyxm设设,1,111zzyyxx , 0),(111 zyxf又又. 0),1,( zyxf 求解：求解：54, 0),( zyxf的的方方程程为为已已知知问题：问题：.的的方方程程求求 ,),(111 zyxm ),(zyxm设设,1,111zzyyxx , 0),(111 zyxf又又. 0),1,( zyxf ,:2222zayx 已知圆锥面已知圆锥面例：例：倍倍方向伸缩方向伸缩沿沿aby: ,)(2222zaybax ,:22222zbyax 即即.椭椭圆圆锥锥面面求解：求解：55以下用以下用伸缩变形法伸缩变形法讨论几种特殊的二次曲面：讨论几种特殊的二次曲面：2

26、2222xy(1)zab椭圆锥面椭圆锥面oxzy2222xyza 圆锥面圆锥面伸缩变形法：伸缩变形法：22222xyzab 椭椭圆圆锥锥面面bya沿 轴方向伸缩倍沿 轴方向伸缩倍56222222xyz(2)1abc椭球面椭球面伸缩变形法伸缩变形法1：2222xzxoz1zac将平面上的椭圆绕 轴旋转将平面上的椭圆绕 轴旋转22xyz1c 2 22 2旋旋转转椭椭球球面面a abya沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍222222xyz1abc椭球面椭球面57伸缩变形法伸缩变形法2：2222xyza 球球面面cza沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍bya沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍222222xyz1a

27、bc椭球面椭球面1 22222 czayx旋旋转转椭椭球球面面58222222xyz(3)1abc 单单叶叶双双曲曲面面伸缩变形法：伸缩变形法：2222xzxoz1zac 将将平平面面上上的的双双曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转222xyz1c 2 22 2旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面a abya沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍222222xyz1abc 单单叶叶双双曲曲面面59222222xyz(4)1abc双叶双曲面双叶双曲面伸缩变形法：伸缩变形法：2222xzxoz1xac 将将平平面面上上的的双双曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转222xyz1c 2 22 2旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面a abyc沿

28、沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍222222xyz1abc 双双叶叶双双曲曲面面602222xy(5)zab椭圆抛物面椭圆抛物面22xxozzza 将将平平面面上上的的抛抛物物线线绕绕 轴轴旋旋转转2xyz 2 22 2旋转抛物面旋转抛物面a abya沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍2222xyzab椭圆抛物面椭圆抛物面伸缩变形法：伸缩变形法：61练习题练习题问问: 方程组方程组 3254222xzyx表示怎样空间图形？表示怎样空间图形？解解 3254222xzyx,316422 xzy双曲线双曲线. .62曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及其方程的求法，旋转曲面的概念及其方程的求法， 常

29、见旋转曲面及其方程常见旋转曲面及其方程;柱面的概念，常见柱面及其方程柱面的概念，常见柱面及其方程.; 0),( zyxf五、小结与教学基本要求五、小结与教学基本要求: :掌握掌握: :常见二次曲面的方程的图形常见二次曲面的方程的图形. .会用会用截痕法截痕法认识方程的图形认识方程的图形. .63习题习题 8-3 ( p31 ):1,5,8(1,4),10(2),11(3).64p31 p31 题题1010答案答案在在 xoy 面上面上 ;194)1(22轴轴旋旋转转一一周周绕绕椭椭圆圆xyx ;14)2(22轴轴旋旋转转一一周周绕绕双双曲曲线线yyx ;1)3(22轴旋转一周轴旋转一周绕绕双曲

30、线双曲线xyx .,)4(轴轴旋旋转转一一周周绕绕直直线线面面上上在在zayzyoz 65二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .66二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面

31、旋转曲面. .67二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .68二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .69二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平

32、面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .70二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .71二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线

33、叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .72二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .73二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .74二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定直线叫旋转曲面的轴轴,该曲线叫旋转曲面的该曲线叫旋转曲面的母线母线.所成的曲面称为所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .75二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周该定直线叫旋转曲面的该定