第2章初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.4 实物交换实物交换2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.9 天气预报的评价天气预报的评价 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么

2、初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初初 等等 模模 型型2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k

3、热传导系数热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhs

4、sQQ,22212121QQ k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比，可减少可减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系

5、数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t (min)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇

6、重空艇重w0(kg) 桨桨手数手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人) 4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系. 试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b, w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析问题分析 前

7、进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. . 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型. .模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成

8、正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 桨手数桨手数 n, 桨手功率桨手功率 p, 桨手体重桨手体重 w, 艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6

9、.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度)

10、. 模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！巧合！)问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分商定相互交换一部分. 研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量的数量. 设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0, 作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0

11、-x, y0 -y). xyy0Ox02.4 实物交换实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度具有同样的满意程度,即即p1, p2对甲是无差别的对甲是无差别的.MN将将所有与所有与p1, p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来, 得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无

12、差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）于是形成一族无差别曲线（无数条）.yxp1.yxp2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线

13、甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系坐标系xOy, 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上! !因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模A

14、B 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形内任一点矩形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.ABp0 x x0

15、, 0 y y0矩矩形内任一点形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则CDAB与与CD的的交点交点pyyo0 xo.x2.7 实物交换实物交换2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行的汽车队伍等待放行. 背景和问题背景和问题通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一已经成为城市交通工

16、程面临的重要课题之一. 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力. 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性流量流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆辆/h ) 密度密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆辆/km ) 速度速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 交通流交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形标准长度的小型汽

17、车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响. 借用物理学概念借用物理学概念, 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体流体, 用用流量、速度、密度流量、速度、密度3个参数描述其基本特性个参数描述其基本特性. vkq 3个参数之间的基本关系个参数之间的基本关系 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性速度速度v 与与密度密度k 的关系的关系 )/1 (jfkkvv线性模型线性模型 vf 畅行车速畅行车速(k=0时时)kj阻塞密度阻塞密度(v=0时时)适合车流适合车流密度适中密度适中的情况的情况

18、 对数模型对数模型 车流车流密度较大密度较大时适用时适用 )/ln(1kkvvj指数模型指数模型 )/exp(jfkkvv车流车流密度较小密度较小时适用时适用 v1 k=kj/e时的车速时的车速(理论上理论上), 由观测数据确定由观测数据确定. 车流密度加大车流密度加大 司机被迫减速司机被迫减速 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性)/1 (jfkkkvqvkq )/1 (jfkkvv)/1 (fjvvvkq速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量时的密度最大流量时的密度vm=vf/2 最大流量时的速度最大流量

19、时的速度 城市干道的通行能力城市干道的通行能力道路通行能力道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数单位时间内通过某断面的最大车辆数. 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵出现交通拥堵.饱和度饱和度流量与通行能力的比值流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度表示道路的负荷程度.城市干道的通行能力城市干道的通行能力在理想的道路和交通条件下，在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以当具有标准长度和技术指标的车辆，以

20、前后两车最小前后两车最小车头间隔连续行驶车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数最大车辆数N (辆辆/h). 城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/1000v车速车速 (km/h)， d最小车头间隔最小车头间隔(m) d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关. 43204321ddcvvtdddddd1刹车时司机在反应时间刹车时司机在反应时间t0 内汽车行驶的距离内汽车行驶的距离. d2刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.c与路面阻力、车重、湿度、坡

21、度等有关的系数与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数. d3两车之间的安全距离，两车之间的安全距离，d4车辆的标准长度车辆的标准长度. 单位时间内通过的最大车辆数单位时间内通过的最大车辆数N城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/10004320ddcvvtdv102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的专业教材交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间司机刹车的反应时间t0 =1s，系数，系数c=0.01,安全距离安全距离 d3=2m，小型车辆的标准长度，小型车辆的标准长度d4=5m. 当当t0，c，d3，d

22、4变大时最大通行能力变大时最大通行能力Nm减小减小. )(26 . 31000430ddctNm最大通最大通行能力行能力vddcvtN4306 . 31000cddv43最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.常数常数制动距离与车速的模型制动距离与车速的模型22cvd 制动距离：制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候设计制动器的合理原则：设计制动器的合理原则：刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的作的功等于汽车动能的改变，且改变，且F与车的质量与车的质量m成正比成正比.

23、 F d2= m v2/2F m22cvd模型假设模型假设信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力西西东东南南北北相位相位A相位相位B相位相位C相位相位D信号灯控制采用信号灯控制采用4相位方案相位方案 典型的十字路口典型的十字路口 东西方向有东西方向有3条车道：条车道：左转、直行、直右混行左转、直行、直右混行 南北方向有南北方向有2条车道：条车道：左转、直右混行左转、直右混行 某一相位下每小时通过停止线某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数的最大车辆数(单行道单行道) S (辆辆/h) 信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力 假设红灯时车辆在停止线后排

24、成一列等待，绿灯后假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线间间隔通过停止线. T(s)信号灯周期，信号灯周期， tg(s)某相位的绿灯时间某相位的绿灯时间.t0(s)绿灯后第绿灯后第1辆车通过停止线的时间辆车通过停止线的时间.ts(s)直行或右转车辆通过停止线的时间直行或右转车辆通过停止线的时间.) 1(36000sgtttTS 反映车辆通过路口不均匀性的折减系数反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力) 1(36000sgttt

25、TSG=tg/T绿灯时间与信号灯周期之比绿灯时间与信号灯周期之比(绿信比绿信比) Q= 3600/ts小时流量小时流量(按每按每ts(s) 通过一辆车计算通过一辆车计算)GQ每小时通过停止线每小时通过停止线的最大车辆数的最大车辆数实地调查高峰时段实地调查高峰时段 4个相位通行的实际流量个相位通行的实际流量qA, qB, qC, qD 调整调整4个相位的绿信比个相位的绿信比, 使使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆小型车辆)3.5s(大型车辆大型车辆)，对直行或右转对直行或右转 =0.9(左转更小左转更小) 2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战

26、时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行实行“核威慑战略核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量估计平衡

27、状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景与与问问题题以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核在任一方实施第一次

28、核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚导弹枚导弹,乙所需的最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0 xyy0Oxyxfyy00)(y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打击后已

29、经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击个基地未被攻击.xy甲方以甲方以 x枚导弹攻击乙方枚导弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=y

30、y0=sy乙的乙的xy个基地被攻击个基地被攻击2次次, s2(xy)个未被摧毁个未被摧毁;y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次次, s(2y x )个未被摧毁个未被摧毁.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)利用微积分知识可知利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且是一条上凸的曲线，且 y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡. s变大，变大

31、，y减小，曲线变平减小，曲线变平.xyOy0 xy, y= y0+(1s)xx=yx=2yyx50% 预报有雨预报有雨明天有雨概率明天有雨概率50% 预报无雨预报无雨 正确率正确率0.57正确率正确率0.71正确率正确率0.81正确率正确率0.93计数模型计数模型从实用角度看，更重要的是从实用角度看，更重要的是误报率误报率. 预报无雨预报无雨而而实测有雨实测有雨的概率的概率P2 预报有雨预报有雨而而实测无雨实测无雨的概率的概率P1 预报预报C2175预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨3预报预报D26预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨 0216预报预报实测实测有雨有雨

32、有雨有雨无雨无雨无雨无雨10311预报预报A设两种后果的损失之比为设两种后果的损失之比为1 : 2P1=10/16P2=3/14误报率误报率P=P1/3+2P2/3=0.35 误报率误报率P=0.20 误报率误报率P=0.06 造成预防费用浪费造成预防费用浪费 预防不足导致损失预防不足导致损失 误报率误报率P=P1/3+2P2/3 缺点缺点: : 未考虑预报概率的具体值未考虑预报概率的具体值 记分模型记分模型将预报有雨概率与实测结果比较并记分将预报有雨概率与实测结果比较并记分 模型模型1 pk第第k天天预报有雨概率预报有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0无雨无雨第第k天的预报得分天

33、的预报得分 0,5 . 01, 5 . 0kkkkkvpvps对对k 求和得到预报的分数求和得到预报的分数S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 预报有雨概率预报有雨概率0.5 得到相应的正得到相应的正分分 S1越大越好越大越好 记分模型记分模型模型模型2pk第第k天天预报有雨概率预报有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0无雨无雨kkkvps第第k天的预报得分天的预报得分 对对k 求和得到预报的分数求和得到预报的分数S2 S2越小越好越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C)

34、 = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型模型32)(kkkvps第第k天的预报得分天的预报得分 对对k 求和得到预报的分数求和得到预报的分数S3 S3越小越好越小越好 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 记分模型记分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0，

35、 S1 (D) = 6.7 模型模型1, 2对对4种预报的优劣排序、相对分差都相同种预报的优劣排序、相对分差都相同f理论上的有雨概率理论上的有雨概率 222)1 () 1()()(pfpfvpESE2)()1 (fpff模型模型3的期望分数的期望分数 p预报有雨概率预报有雨概率v=1有雨，有雨， v=0无雨无雨P(v=1)= f, P(v=0)= 1 f 比较模型比较模型3 3与模型与模型2 2的优劣的优劣 p=f 时时E(S)最小最小等价等价! nvpS)(考察一般模型考察一般模型 求求E(S)的极值的极值 此意义下模型此意义下模型3 3最佳！最佳！ 仅当仅当n=2时时p=f才能才能E(S)

36、最小最小 图形模型图形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报A(1)(1) (2) (1) (1)(3) * * * * * * (5)(6)(4)(1)(1)(2)(3) * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报C(2)(4)(4)(6)(5)(1) * * * * * * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0 (2)(1)(1)(2)(

37、3) * * * * *预报预报D (22) * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报B(9) *号几乎随机分布号几乎随机分布, 预报效果很差预报效果很差 模型模型1 *号的号的p没有变化没有变化, 毫无用途毫无用途 v=0*号在号在p=0.6左边左边,无雨预报较无雨预报较好好; v=1 *号分散号分散 ,有雨预报较差有雨预报较差 v=0 *号在号在p=0.5左边左边,v=1 *号在号在p=0.4右边右边,无雨、有雨预报都好无雨、有雨预报都好 *上上( )中数字是坐标在中数字是坐标在*的天数的天数 图形模型图形模型模型模型2 0.5* * * * * * * * * *

38、0.5p0q预报预报A*0.50.5p0q预报预报B * * * * * * * *0.50.5p0q预报预报C * * * * * * * * 0.50.5p0q预报预报Dp 预报有雨概率预报有雨概率, q实测有雨天数比例实测有雨天数比例p和和q越接近越好越接近越好 *离对角线越近越好离对角线越近越好 *几乎均匀分布几乎均匀分布,明显不好明显不好 只有一个只有一个*, 几乎在几乎在q=p上上 比比A好一些好一些 未显示出优势未显示出优势 模型缺陷模型缺陷 不能用于预报不能用于预报B的情况的情况 数据量小可能是预报数据量小可能是预报D未得到正确评价的原因未得到正确评价的原因 用用*与与q=p的竖直距离的竖直距离度量模型的优劣度量模型的优劣, 并考并考虑各个虑各个*的权重，模型的权重，模型2可量化为分数模型可量化为分数模型 .深入讨论深入讨论 评价预报的优劣，需制定评价标准评价预报的优劣，需制定评价标准 无统一看法无统一看法, 提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准 第一类标准：预报者本身的一致性第一类标准：预报者本身的一致性 指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系. 不完全一致不完