中考复习——特殊四边形中的综合性问题

1、难点探究专题（选做）:特殊四边形中的综合性问题类型一 特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1. （2016枣庄中考）如图，把 EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E, F, P分别在线 段 AB, AD , AC 上，已知 EP= FP = 6, EF = 63，/ BAD = 60° 且 AB>6护.求/ EPF的大小；（2）若 AP = 10,求 AE + AF 的值；若 EFP的三个顶点E, F, P分别在线段 AB, AD, AC上运动，请直接写出 AP的 最大值和最小值.二、图形的变换问题2. 如图，点 O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G, O

2、C到点E,使OG= 2OD , OE= 2OC，然后以OG , OE为邻边作正方形 OEFG，连接AG , DE.（1）求证：DE丄AG ;正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转 a角（0 < a<360 °得到正方形 OEF'G',如图. 在旋转过程中，当/ OAG 是直角时，求a的度数； 若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求 AF '的最大值和此时 a的度数，直接写出结果不必说明理由.GGLE图图类型二 四边形间的综合性问题3. (2016德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边 形叫中点四边形

3、.如图，四边形 ABCD中，点E, F , G, H分别为边AB, BC, CD, DA的中点.求 证：中点四边形 EFGH是平行四边形；(2)如图，点 P是四边形 ABCD内一点，且满足 PA = PB, PC = PD，/ APB = Z CPD , 点E, F, G, H分别为边AB , BC, CD , DA的中点，猜想中点四边形 EFGH的形状，并证 明你的猜想；若改变 中的条件，使/ APB =Z CPD = 90 °其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.参考答案与解析1. 解：如图，过点 P作PG丄EF于点G , H为PE的中点，连接 GH ,二/ PGE1

4、1=90° GH = PH = HE = 2PE = 3.T PF = PE ,二/ FPG =Z EPG , FG = GE = qEF =咖在Rt PGE 中，由勾股定理得 PG = .'PE2- GE2= ；62-( 3一3) 2= 3. a PG = GH = PH，即 GPH 为等边三角形，/ GPH = 60° / FPE = Z FPG + Z GPE = 2/ GPE = 2X 60° =120 °.(2) 如图，过点P作PM丄AB于点M，作PN丄AD于点N,ANP=Z AMP = 90 °.v AC1为菱形 ABCD

5、的对角线，/ DAC = Z BAC = q/ DAB = 30° PM = PN.在 RtA PME 和 Rt PNF 中，PM = PN , PE = PF , Rt PME 旦 Rt PNF , ME = NF. v/ FAM = 30 : AP 1 _=10, PM = 2AP = 5.由勾股定理得 AM = .'PA2 PM2= 5 .'3.在厶 ANP 和厶 AMP 中，/ NAP = / MAP ,/ ANP = / AMP = 90°, ANPA AMP , AN = AM = 5 '3. AE + AF = (AM + ME) +

6、AP= AP ,(AN NF)= AM + AN + ME NF = 10 ,'3.(3) 如图, EFP的三个顶点分别在 AB , AD , AC上运动，点P在P1 , P之间运动.P1O =PO = ：PE= 3 , AE= EF = 6 .'3 , AO = :AE2 EO2= 9. AP 的最大值为 AO+ OP = 12 , AP 的最小值为AO OP1= 6.2. (1)证明：如图，延长ED交AG于点H.v四边形 ABCD与OEFG均为正方形， OA =OD , OG = OE ,/ AOG = / DOE = 90° , Rt AOG 也Rt DOE ,

7、 AGO =/ DEO.v/ AGO + / GAO = 90° , DEO + / GAO = 90° ,AHE = 90° 即 DE 丄 AG ;I图(2)解：在旋转过程中，/ OAG成为直角有以下两种情况：1 1a. a由0°增大到90。过程中，当/OAG为直角时，/ OA= OD = _OG = ?OG ； / AG'O=30° / AOG = 60°. v OA丄OD , / DOG = 90° / AOG = 30° 即 a= 30°b. a由90。增大到180。过程中，当/ OAG为

8、直角时，同理可求的/ AOG'= 60 °二a= 90°+Z AOG = 150。综上，当/ OAG 为直角时，a= 30。或 150 °AF长的最大值是2+舌2，此时a= 315°3. 证明：如图中，连接 BD.T点E, H分别为边AB, DA的中点，二EH / BD ,1 1EH = qBD.T点 F, G 分别为边 BC, CD 的中点，二 FG / BD , FG = qBD ,二 EH / FG , EH =GF ,中点四边形 EFGH是平行四边形.解：四边形EFGH是菱形.理由如下：如图中，连接AC, BD.vZ APB = Z CPD ,/ APB + / APD = / CPD + /APD ,即 /APC = / BPD.在 APC 和 BPD 中,AP= PB ,/ APC = Z BPD ,APC 也厶 BPD, AC = BD.v 点 E, F , G 分别为边 AB, BC, CD 的PC = PD,中点， EF = |aC, FG = 2bd, EF = FG. ：四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH 是菱形.解：四边形EFGH是正方形.理由如下：如图中，设AC与BD交于点O.AC与PD 交于点 M , AC 与 EH 交于点 “. APC BPD，/