最新平面简谐波的波函数

1、第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版1 简谐波简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐波源的振动是简谐振动，介质中的质元都作简谐振动。振动，介质中的质元都作简谐振动。 平面简谐波平面简谐波（plane harmonic wavesplane harmonic waves） 波面是平面的简谐波。波面是平面的简谐波。波线波线波面波面平面简谐波平面简谐波等幅平面简谐波等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中介质不吸收波动的能量，介质中的质元都作振幅相等的简谐振动的质元都作振幅相等的简谐振动10-2 10-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数第十章第十章 波动波动

2、物理学物理学第五版第五版2一、（等幅）平面简谐波的波函数一、（等幅）平面简谐波的波函数波函数波函数: :能够描述波动中所有质点运动状态的函数能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t)y=y(x,t)介质中所有质点均作同频率、介质中所有质点均作同频率、同振动方向、同振幅的简谐振动。同振动方向、同振幅的简谐振动。平面简谐波函数的一般形式应为：平面简谐波函数的一般形式应为： )(cosxtay 关键问题：确定位于关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相处的质点的振动初相 ( (x) )。oxxyp右行波右行波: :沿沿x x轴正向传播轴正向传播左行波左行波: :沿沿x x轴负向传播轴负向

3、传播第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版3沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元各质元的振动相位依次落后。的振动相位依次落后。波动是振动波动是振动相位的传播相位的传播图中图中b点比点比a点的相位落后点的相位落后uluxxtab)(a a点的振动传到点的振动传到b b点需时间：点需时间： 在这段时间内在这段时间内a点的振动相位增加量点的振动相位增加量（即旋转矢量（即旋转矢量又转过的角度）又转过的角度）为：为：沿着波动传播的方向上相距沿着波动传播的方向上相距l l的两个质元间的的两个质元间的振动相位差如何？振动相位差如何？x x a ab bl lu u传播方向传播方向uxxtaba)

4、( 第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版4设原点振动表达式为：设原点振动表达式为：)cos(00 tayxypuoxut 沿波线上相距为一个波长的两点，振动的沿波线上相距为一个波长的两点，振动的相位差为相位差为2 2 。 abababxxuxxt 2)(2uxxtabbaab)( ull/| 波程差|,|abxxlx第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版5所以，所以，p 点的振动方程为：点的振动方程为：p p点的振动点的振动初相位：初相位：p p点与点与o o点的相位差为：点的相位差为： 为坐标原点为坐标原点o o点在点在t=0t=0时刻的振动相位时刻的振动相位, ,设为已知

5、设为已知. .0 xxxoppoop22uxxp 0)(cos),(0uxtatxy 右行波右行波这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程p p点在点在t t时刻的位移等于原点处质点时刻的位移等于原点处质点 在在 时刻的位移时刻的位移 uxt ux第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版6左行波的波函数：左行波的波函数：)(cos),(0 uxtatxyxypuoxp p点的相位超前于点的相位超前于o o点相位：点相位：所以所以 p p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：点的振动方程，也就是左行波的波函数为：)cos(00 tayuxxp 0)(

6、第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版7)(cos),(0 uxtatxy)(2cos),(0 xtatxy)(2cos),(0 utxatxy)(2cos),(0 xttatxy波函数的几种常用形式波函数的几种常用形式t/2 tu/第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版8演示实验安排 周三 第3节 7班 第4节 8班第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版9二二 波函数的物理含义波函数的物理含义（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）),(),(ttxytxyxtay2cosoyt 1 一定，一定， 变化变化 xt表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动方程（

7、的关系）的关系）ty x第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版10波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版11 y o xxtay2cos 2 一定一定 变化变化xt 该方程表示该方程表示 时刻波传播方向上各质点时刻波传播方向上各质点的位移的位移, 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）ttxy 第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版12yxuoyxuot时刻时刻tt时刻时刻x3. t 与与 x 都发生变化都发生变化波在波在t时刻时刻x处的相位经处的相位经 t时间后传到时间后传到x+ x处，处，传播的距离是传播的距离是

8、u t, tux总之：当总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波都发生变化时，波函数就描述了波的传播过程。波函数就是普适性的振动方程的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版13三、有关波函数的应用三、有关波函数的应用)(cos),(0 uxtatxy1 1、已知波函数、已知波函数即即 均为已知均为已知. .0, ua, ,1) 1) 从波函数表达式中求从波函数表达式中求: :0, ua, ,利用比较法利用比较法: :将所给的波函数化为标准形将所给的波函数化为标准形式式, ,再与标准式比较再与标准式比较, ,得到所求得到所求. .第十章第十章

9、波动波动物理学物理学第五版第五版14例例1 1 已知某一简谐波的波函数为：已知某一简谐波的波函数为：)(2.025cos01.0),(s si i2 2 xttxy求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相解解)()125/(25cos01.0),(s si i2 2 xttxy将原式变形为标准形式：将原式变形为标准形式：立即可得：立即可得：2).(1008.02)(25),(125,01.0 m m ( (s s) ), ,r ra ad d/ /s s m m/ /s s m m uttua)(cos),(0 uxtatxy第十章第十章 波

10、动波动物理学物理学第五版第五版152）利用波函数研究质点的运动）利用波函数研究质点的运动任意任意 x 处处质点的运动方程为：质点的运动方程为：)(cos),(0 uxtatxy该质点的速度和加速度分别为：该质点的速度和加速度分别为：)(cos),(),()(sin),(),(02220 uxtattxytxauxtattxytxv该质点的振动初相位为：该质点的振动初相位为：uxx 0)( 第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版16例例2 已知某一简谐波的波函数为：已知某一简谐波的波函数为：)(2.025cos01.0),(s si i2 2 xttxy求波线上求波线上x=10m处的质元

11、在处的质元在t=5s时的位移，速度与加时的位移，速度与加速度；再求该质元与速度；再求该质元与x=25m处质元的振动相位差。处质元的振动相位差。解解将将x=10m带入波函数：带入波函数：)(225cos01.0)(10s si i2 2 tty这就是该质元的运动方程。速度和加速度分别为：这就是该质元的运动方程。速度和加速度分别为：)(225cos25.6)()(225sin25.0)(s si i2 2s si i2 2 ttattv第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版17将将t=5st=5s分别带入三个式子，即得所求。分别带入三个式子，即得所求。uxx 0)( uxxxx1212)(

12、)( )()125/(25cos01. 0),(s si i2 2 xttxy1 12 25 5u u 2 25 5, , , , mxmx25,1021)(3125102525)()(1212r ra ad d uxxxx 第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版182 2、建立平面简谐波的波函数、建立平面简谐波的波函数已知质元的振动情况，确定波函数。已知质元的振动情况，确定波函数。难点是确定坐标原点的初相难点是确定坐标原点的初相例例3 3 已知一沿已知一沿x x轴正向传播的平面简谐波的振幅轴正向传播的平面简谐波的振幅a a、周期周期t t、波速、波速u u。t=0t=0时，时，x=0

13、 x=0处的质点位于处的质点位于-a/2-a/2处且向处且向位移的负方向运动。试求该波的波函数。位移的负方向运动。试求该波的波函数。解解)(2cos),(0 uxttatxy确定坐标原点的振动初相确定坐标原点的振动初相 0 0由：由：t=0t=0时，时，x=0 x=0处的质点位于处的质点位于-a/2-a/2处处且向位移的负方向运动，知且向位移的负方向运动，知3 320 32)(2cos),( uxttatxy第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版19例例4.4.一平面简谐波，波长为一平面简谐波，波长为12m12m，沿，沿 oxox轴负向传播轴负向传播. .图图（a a）所示为）所示为x

14、=1.0mx=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。处质点的振动曲线，求波动方程。0my/0.400.400.200.205.05.0t/st/sy/my/mo o00.40.40.20.2t=0t=0t=5t=5 t t解：解：t=0t=0时此质点的相位时此质点的相位30t=5st=5s时质点第一次回到平衡时质点第一次回到平衡位置所以位置所以6,65tx=1mx=1m处质点的运动方程为处质点的运动方程为 mty36cos40. 0第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版20smtu/0 . 12把把u=1.0m/su=1.0m/s，x=1.0mx=1.0m代入波动方程一般形式代入波动方

15、程一般形式 muxtay0cos并与并与x=1.0mx=1.0m处的运动方程作比较，得处的运动方程作比较，得20波动方程为波动方程为 mxty20 . 16cos40. 0 mty36cos40. 0第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版21例例5 5 已知一沿已知一沿x x轴负向传播的平面简谐波在轴负向传播的平面简谐波在t=0t=0时的时的波形曲线如图所示。试求该波的波函数波形曲线如图所示。试求该波的波函数解解确定坐标原点的确定坐标原点的振动初相振动初相 0 0由图知：由图知：t=0t=0时，时，x=0 x=0处的质点位于处的质点位于a/2a/2处处且向位移正方向运动且向位移正方向运

16、动3 3 0 由图知：由图知：t=0t=0时，时，x=1mx=1m处的质点位于平衡位置处的质点位于平衡位置处且向位移负方向运动处且向位移负方向运动2 2 1 x201 m4 . 2 x(m)x(m)a a-a-aa/2a/2y yu=100m/su=100m/s0 01 1第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版22100(m/s) 2.4m, ,3u 0/ /3 3( (r ra ad d/ /s s) )2 25 50 0/ /2 20 0. .0 02 24 4s s/ / tut)si()(cos)(cos),(310032500 xtauxtatxy 第十章第十章 波动波动物理

17、学物理学第五版第五版23复复 习习)(cos),(0 uxtatxy)(2cos),(0 xtatxy)(2cos),(0 utxatxy)(2cos),(0 xttatxyt/2 tu/第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版2415-315-3 波的能量和能流波的能量和能流一、波的能量和能量密度一、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态波不仅是振动状态(相位相位)的传播，而且也是伴的传播，而且也是伴随着振动随着振动能量的传播能量的传播。以棒中的纵波为例以棒中的纵波为例, ,有一有一 平面简谐波：平面简谐波： )(cos uxtay质量为质量为在在x x处取一体积元处取一体积元,dsdx

18、dv dsdxdvdm + 振动动能振动动能 形变势能形变势能= 波的能量波的能量xxoxdxoyyyd第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版25质元的动能为：质元的动能为：dmvdwk221 dsdxuxta)(sin21222 （可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为： dsdxuxtaxydvudykdwp)(sin)( 222222212121体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：pkdwdwdw dsdxuxta)(sin222 dsdxty221dwk = dwp 质元的振动速度质元的振动速度 )(sin uxtaty

19、v第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版26波动质元：)(sin21222pkuxtavww 第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版27(1) 固定固定x 物理意义物理意义 dwk = dwp (2) 固定固定toy xwkwpt = t0u(1/4) 2a2yx = x0ottwkwp(1/4) 2a2dwp均随均随 t 周期变化周期变化dwk、dw p均随均随 x 周期变化周期变化dwk、y=0 、dwp最大最大dwky最大最大 、dwp为为 0 dwkdsdxuxtadwdwpk)(sin21222能量能量极小极小能量能量极大极大第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第

20、五版28说明：说明：2 2）在波传动过程中）在波传动过程中, ,任意质元的能量不守恒任意质元的能量不守恒. .其与邻近其与邻近的质元进行能量交换的质元进行能量交换, ,表明了波的传播正是能量的传播表明了波的传播正是能量的传播. .3)3)以上结论针对棒中的纵波得出以上结论针对棒中的纵波得出, ,对其余的波虽能量的对其余的波虽能量的具体形式不同具体形式不同, ,但动能势能同相位的结论仍成立但动能势能同相位的结论仍成立. . 1)1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于孤立振动系统。孤立振动系统。dsdxuxtadwdwpk)(sin21222第十章第十章 波动波动物理学物理学第五版第五版29pek