大学物理课件：13-6 不确定关系

1、22002sin2sin22chm c0.0024cnm2211()Rkn, 3 , 2 , 1k, 3, 2, 1kkkn此谱系位于紫外区，称之为莱曼系莱曼系,.5 ,4, 3 ,2, 11nk）此谱系位于可见区，称之为巴耳末系巴耳末系,.6 , 5 , 4 , 3, 22nk）原子系统只能处在一系列不连续的稳定状原子系统只能处在一系列不连续的稳定状态态定态，各定态的能量只能取某些分立值（定态，各定态的能量只能取某些分立值（ ）；）；定态时，电子作加速运动，但不辐射电磁波。定态时，电子作加速运动，但不辐射电磁波。,321EEE原子从一个能量为原子从一个能量为 的定态跃迁到另一能的定态跃迁到另

2、一能量为量为 的定态时，发射或吸收一个频率为的定态时，发射或吸收一个频率为 的光子。的光子。nEkEknnkknEEh玻尔频率公式。玻尔频率公式。在电子绕核作圆周运动中在电子绕核作圆周运动中，其稳定状态必其稳定状态必须满足电子的角动量须满足电子的角动量L L等于等于 的整数倍的条件。的整数倍的条件。2h,1,2,3,2hLnn220121,2,3,.nhrnn rmen 玻尔半径玻尔半径 0.053nm02201amehr ,2, 1n2412222200113.688 nnEemeEeVrnhnnE1= - 13.6eV；E2= - 3.4eV；E3= - 1.51eV；E4= - 0.85

3、eV2Emchhpmv1.225nmU1 1）电子低速运动时）电子低速运动时vmh0cv 时2）2xpx2E t 1、根据玻尔的理论，氢原子在、根据玻尔的理论，氢原子在n =5 轨道上的动量矩轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为（与在第一激发态的轨道动量矩之比为（ ）5/22、要使处于基态的氢原子受激发后，能发射莱曼系的、要使处于基态的氢原子受激发后，能发射莱曼系的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 。A) 1. 5 eV . B) 3. 4 eV . C) 10. 2 eV .D) 13. 6 eV.C3、当大量氢原子处于、

4、当大量氢原子处于 n = 3 的激发态时，原子跃迁将的激发态时，原子跃迁将发出：发出： A) 一种波长的光。一种波长的光。 B) 两种波长的光。两种波长的光。C) 三种波长的光。三种波长的光。 D) 连续光谱。连续光谱。C4. 氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些跃迁中，氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些跃迁中，（1）从）从 n = ( )的能级跃迁到的能级跃迁到 n =( )的能级时的能级时发射的光子波长最短。发射的光子波长最短。（2）从）从 n =( )的能级跃迁到的能级跃迁到 n =( )的能级时的能级时发射的光子的频率最小。发射的光子的频率最小。1 n2 n3 n4 n41344、（

5、、（05级试题）已知氢光谱的某一线系的极限波长为级试题）已知氢光谱的某一线系的极限波长为364.7nm， 其中有一谱线波长为其中有一谱线波长为656.5nm，试由玻尔，试由玻尔氢原子理论，求与该波长相应的始态与终态能级的能氢原子理论，求与该波长相应的始态与终态能级的能量。量。711.097 10Rm1、静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒、静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长子物质波的波长与速度与速度v有如下关系：有如下关系：2222402EP cm cEmchp动量的不确定量：动量的不确定量：zyxppp,坐标的不确定量：坐标的不确定量：zyx,由于微观粒子的波粒二

6、象性，粒子的位置是不确定的由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的, ,在某位置上仅以一定的概率出现。在某位置上仅以一定的概率出现。n 位置和动量的不确定量存在一个关系位置和动量的不确定量存在一个关系不确定关系。不确定关系。微观粒子的物质波不是单色波，而是由包括一定波长微观粒子的物质波不是单色波，而是由包括一定波长范围的许多单色波组成，波长有一定范围，粒子的动量范围的许多单色波组成，波长有一定范围，粒子的动量具有不确定性。具有不确定性。经典粒子的状态经典粒子的状态:描描述述。用用pr,微观粒子的状态微观粒子的状态:能否用能否用 来描述来描述?pr,1、不确定关系的物理表述及物理意义、不确

7、定关系的物理表述及物理意义 1927 年海森堡提出年海森堡提出不确定关系不确定关系，它是自然界的客，它是自然界的客观规律不是测量技术和主观能力的问题观规律不是测量技术和主观能力的问题, 是量子理论中是量子理论中的一个重要概念。的一个重要概念。2xpx x 表示表示粒子在粒子在x方向上位置的不确定范围，方向上位置的不确定范围， px表表示在示在 x方向上动量的不确定范围。方向上动量的不确定范围。物理意义：微观粒子的位置和动量不能同时准确地测定。物理意义：微观粒子的位置和动量不能同时准确地测定。2、电子单缝衍射、电子单缝衍射不确定关系的简单证明不确定关系的简单证明p电子通过单缝位置的不确定范围：电

8、子通过单缝位置的不确定范围：psinxyPdx 其动量不确定度其动量不确定度 ：1sinxpp将单缝衍射一级极小的条件：将单缝衍射一级极小的条件：1sind德布罗意关系德布罗意关系 代入代入hp对落在中央明纹范围内的电子：对落在中央明纹范围内的电子：1xsinpp0 xxph考虑到落在其他更高级次明纹内的电子：考虑到落在其他更高级次明纹内的电子：1sinppxhpxx三维情形：三维情形：hpyyhpzzhpxx严格的量子力学不确定关系应该是：严格的量子力学不确定关系应该是：Werner Heisenberg（1901-1976）222zyxpzpypx2h3)对于微观粒子的能量对于微观粒子的能

9、量E及它在能态上停及它在能态上停留的平均时间留的平均时间t之间也有不确定关系。之间也有不确定关系。1) 不确定关系式是物质粒子波粒二象性的反映。不确定关系式是物质粒子波粒二象性的反映。2)不确定关系表示同时测量同方向的坐标和动量不能不确定关系表示同时测量同方向的坐标和动量不能同时测准。同时测准。例如例如:若若 x 确定确定,则则xp若若 px 确定确定,则则xhpyyhpxxhpzz 用于讨论原子各激发态能级宽度与能级的平均寿命用于讨论原子各激发态能级宽度与能级的平均寿命之间的关系。之间的关系。2E t A13-1113-11 设子弹的质量为设子弹的质量为0.010.01，枪口的直径为，枪口的

10、直径为0.50.5，则子弹射出枪口时的位置不确定度为，则子弹射出枪口时的位置不确定度为 ；横；横向速度的不确定量为向速度的不确定量为 。0.5cm2xxxpm vxp 301.05 10/m s一、物质波函数及其统计诠释一、物质波函数及其统计诠释1 1、波函数、波函数: :用某种函数表达式来表述微观粒子运动状态，用某种函数表达式来表述微观粒子运动状态，该函数称为微观粒子物质波的该函数称为微观粒子物质波的波函数。波函数。 2、自由粒子的波函数、自由粒子的波函数: 根据德布罗意假设，一个自由粒子根据德布罗意假设，一个自由粒子对应一个频率和波长不变的平面波。若粒子的能量为对应一个频率和波长不变的平面

11、波。若粒子的能量为E，动量为动量为P，则其波长和频率应为，则其波长和频率应为，,E hh P经典物理中，沿经典物理中，沿x方向传播的单色平面波的波函数为：方向传播的单色平面波的波函数为：0( , )cos2 ()y x tytxx-i2(t -)y(x,t) = Ae也可写成复数式也可写成复数式: 上式表示能量为上式表示能量为E E、动量为、动量为p p沿沿x x方向运动的方向运动的自由自由粒子粒子的平面物质波波函数。的平面物质波波函数。2()0( , )eEtpxhx ti在量子力学中，设想用波函数在量子力学中，设想用波函数来表示微观粒子的运动状态，来表示微观粒子的运动状态， 是波函数的振幅

12、。是波函数的振幅。0)(20),(xtietx将将 代入上式，得代入上式，得PhhE， 机械波中的波函数表示t时刻x处质点的位移；电磁波中表示t时刻x处的B或E的值。而即怎样理解波函数的意义，才能用其描述微观粒子的波粒二象性呢？3、波函数的意义、波函数的意义统计解释统计解释 1926年玻恩提出了年玻恩提出了，给波函，给波函数以统计解释，圆满地将粒子数以统计解释，圆满地将粒子的波粒二象性统一起来。的波粒二象性统一起来。归一化条件波函数还须满足：波函数还须满足：2d1V:在整个空间发现粒子的总概率为在整个空间发现粒子的总概率为100%: 根据波函数的物理意义可知，波函数根据波函数的物理意义可知，波

13、函数一般应是一般应是单值、有限、连续单值、有限、连续的函数。的函数。 在某一时刻，粒子在空间某处的体积元在某一时刻，粒子在空间某处的体积元dV中出现的概率与该处波函数模的平方成正比。中出现的概率与该处波函数模的平方成正比。 2ddVV波函数的物理意义波函数的物理意义： 表示表示t 时刻，粒子在空间时刻，粒子在空间x 处处的单位体积内出现的概率。的单位体积内出现的概率。|2表示某处某时刻粒子表示某处某时刻粒子出现的概率密度。出现的概率密度。2例例1一粒子被限制在两不可穿透的壁之间一粒子被限制在两不可穿透的壁之间,如如图所示图所示,描写粒子状态的波函数描写粒子状态的波函数= c x (l - x)

14、,其其中中c 是待定常数是待定常数,求在求在 0l / 3区间该粒子出现区间该粒子出现的概率。的概率。xol31l解解: :由归一化条件由归一化条件: :120dxl即即: :1)(2202dxxlxcl设在设在0l/3区间内发现粒子的概率为区间内发现粒子的概率为P,则有则有:2/3/322500301781llPdxxlx dxl2 522 2340(2)130lc lcx llxxdx530cl530 x lxl二、薛定谔方程二、薛定谔方程22222xyvty波动方程经典粒子经典粒子：等力学量、pr牛顿运动定律牛顿运动定律微观粒子：微观粒子：) t , r (波函数经典波：经典波：波函数y

15、？ 1926年，奥地利著名物理学年，奥地利著名物理学家薛定谔建立了描述微观粒子运家薛定谔建立了描述微观粒子运动状态的波函数所满足的方程动状态的波函数所满足的方程薛定谔方程。薛定谔方程。1 1、自由粒子的薛定谔方程、自由粒子的薛定谔方程),(i),(txEttx),(),(2222txpxtxm2pE2由一维运动自由粒子一维运动自由粒子( (v vc c) )含时的薛定谔方程含时的薛定谔方程) t , x(xm2) t , x(t222 i得：薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程中运动的微分方程, ,称为称为薛定谔方

16、程薛定谔方程。对自由粒子波函数对自由粒子波函数 微分得：微分得：)(i0e),(pxEttx2 2、在势场中粒子的薛定谔方程、在势场中粒子的薛定谔方程势场中粒子的总能量:2()2pEU x tm，2i()2 ，pU x ttm222()i2，U x tmxt势场中一维运动粒子含时薛定谔方程势场中一维运动粒子含时薛定谔方程 质量为m的粒子在势能为 的外力场中运动，含时薛定谔方程为：( , , , )U x y z t),(),(2222txpxtx2222222()( , , , )i2U x y z tmxyzt拉普拉斯算符2222222xyz 22( , , , )i2U x y z tmt

17、一般薛定谔方程一般薛定谔方程代入薛定谔方程，采用分离变量，得到用分离变量法：( , , , )( , , )( )x y z tx y z f t3 3、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程一般情况下,求解薛定谔方程会遇到数学上的困难，作为特例，主要考虑定态问题，即势能函数与t无关只于坐标有关，即( , , ) U x y zU221( )1( , , )( , , ) ( , , )2( , , )( )f tx y zU x y zx y zimx y ztf t22( , , , )i2U x y z tmt 左边只是坐标的函数，右边只是时间的函数，只左边只是坐标的函数，右边只是时间的函数，只

18、有两边都等于同一常数时，等式才成立。令等式两端有两边都等于同一常数时，等式才成立。令等式两端等于同一常数等于同一常数E E，( )1i( )f tEtf t221( , , )( , , ) ( , , )2( , , )x y zU x y zx y zEmx y z定态薛定谔定态薛定谔方程方程222()0mEUi( )Etf te定态时，粒子的波函数：定态时，粒子的波函数：Etrtfrtrie)()()(),(粒子出现在空间的概率密度：粒子出现在空间的概率密度：) r (| ) r (|) r (|) t , r (22Etie粒子出现在空间的概率与时间无关粒子出现在空间的概率与时间无关定

19、态。定态。 若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。1 1、一维无限深势阱、一维无限深势阱a( )U x0)(xUax 0 x0，xa 粒子在势阱中的运动属一维粒子在势阱中的运动属一维定态问题，归结为解一维定态薛定态问题，归结为解一维定态薛定谔方程。定谔方程。1 1）势阱外，定态薛定谔方程）势阱外，定态薛定谔方程由条件U 而E为有限值0ea( )U x0)()(d)(d2e2e22xEUxxm粒子在势阱外的概率为粒子在势阱外的概率为0 02 2）势阱内势阱内，定态定态薛定谔方程薛定谔方程22ii2d2dEmx22

20、2令mEk解为解为i( )sin()xCkx0kx222则有由归一化条件得：由归一化条件得：由边界条件得：由边界条件得：ii(0)sin0( )sin0CaCka0,1,2,3,；kann2200( , ) dsind1aan xx txCxa2Ca波函数表达式：波函数表达式：2( , )sinEtnx txaaiiei( )sin()xCkx一维定态一维定态薛定谔方程：薛定谔方程：( , )0(0,)2( , )sin(0)eiieEtx txxanx txxaaa(1)(1)粒子能量不能取连续值粒子能量不能取连续值能量取分立值（能级），n称为能量量子数。 讨讨 论：论：波函数：( , )0

21、2( , )sinEtx tnx txaaeiie2222221 2 322得， ，nknEEnmma222由，mEnkka1E1n214EE2n319EE3n4116EE4nOaE（2 2）粒子的最小能量不等于零）粒子的最小能量不等于零(n(n0)0)最小能量 称为基态能。 08221mahEl 经典观点：不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。l 量子论观点：222( )sin ()nxxaaaOa=1=2=3=4nnnnO当 很大时，量子概率分布就接近经典分布n( )x2( ) x（3 3）粒子）粒子出现概率出现概率（4 4）有限深势阱，粒子出现的概率分布）有限深势阱，粒子出现的概

22、率分布如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。经典理论无法解释，实验得到证实。Oa2( ) xOax0UU El粒子沿 方向运动，当 粒子可以通过势垒。0UE xl 当EU0，实验证明粒子也能通过势垒。00( )00,Ux aUxxx a 设三个区域的波函数分别为 ，则个区域薛定谔方程分别为321,22112222022222332d2dd2dd2dEmxUEmxEmx解为：解为：222222312112213222ddd000dddkkkxxx；112211123( )( )( )k xk xk xk xk xk xxAAxBBxCCiiiieeeeee2012222 ()2,m UEmEkk令,02,EUk为实数。三个区域中波函数的情况如图所示：隧道效应隧道效应 在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒。此现象称为隧道效应隧道效应。扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)原理：原理：利用电子的隧道效应。利用电子的隧道效应。金属样品外表面有一层电子云，电子云的密