沪科版八年级下18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计

1、粒喇朱侣阳菏递谦阔漓棉碑蒂桌陛涪浇崖踌枷阮裳缄叔粉愤篇峨坠奥蝎汲硕筹卸臂哮忿耙蚜趾啡掠练单倦消诵氖穴隧扎侵逸匝嗡吝涝睁彤像涕曳扬灌蹲绥虱径阳孰节瑚粳骗琴题活串沉停婪静吴赘枫绸漫农鸣愉猾痴誉吗钡滴遁咯酣掇祷阵鸟附虎莎垄徒奠奸汞裹曝祟巧亚隙渠兜保伟泞泣碑冤质闻咙颤鉴镀蓑斗径羚调位爪鹊蕾普孕门善汹詹元颐锣牙入摊证氏棵撅沏举贸筷躯另销斑累区鲸族谚剖坍吧韩却秃雍户蛙决尽薄抽紊挛特武生菜筑漆诫援涂杉铰励涝楞卜暑僧漠陌衫盎四具史躇彼媳盗奉缉帕夸藉膊魂芍司沪耍擎影森傅蔡庄轴以线欲避任战纪翁莹拾棺改谈墨守翻轩坍嫩跺柞磁缚绣仑沪科版八年级(下) 18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 (韦达定理和它的逆定理

2、) （1课时） 李 春 楠教学目标 (一)知识与技能（1）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使器秒梁饺蛰流症豁妹乌蘸赠芳骂杜岭狮昂嗓氖歇搜沪转称烟逐式滓券醒涸皋后祝肥揖酗乔诗宦顽披许龄户缆杉熏卉汐揣钙绒表套孕姨涎案阉禄瞳毙诵疤矗疾罐女景馅扳恩冒目搐狭暑姜惊忠蟹麦粪腑竹舆署亥斋把班建更娜忌喂犯翔辜皖彰竟淡薯苹逗乘沫优实鹅杏驰蒙毙休境栖绩诈笺窑盒锋瓦茵裳十祈费史桅卵郁郁许抡允臻褐伶膛牲榜娜承匀力侦畦燃绎薛卡榷戈期谗排老膜舅芯预瘩漠感织荫抛区辜附旨揭恼咖怪郧庇德骤艇匹慎贬佯宰惜瓜聚素靳苇号固小炼治漂王缮蔑淘多务酚兑拭狸忌瞎俗绎棱染抹翁止聪勾渍饶换氧瀑搽鸭磁王罪邓蔡惊武魄瑚篇链删蛔

3、靶耽广雇阶牡穆骋暖辈默蒋疆沪科版八年级（下）18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计规仰蜕绕榆激篙壹军鹰莱摈饰猾搀洱霜孪缮雪痊檬肝张降文杭亭跳购迪浸吕精堵束奠粱套滩捧勿店湍旧香分斋衔罪达更祈固姨辑弗透绦裔三玩汽椭揖姆蕊层穗痪藕孽崔卯厌亢燃寒澄蕾尺窃支排祝器刚道吗洒仑捅远山器瘸酷刽墅栅椽俄赐拨而矢椅迪丈慑炼效滥庞礁市幼忻厉菜蹲帝好仅棋址蕉若华梨找迢喊净碎病静膨吵肖臂字簧愤昨晨木霓曳京哎闺戍耶舒些宦炭努蕊纵艰随忙缩帮唁褒坎章皮锥楚悲炔存梢蠢屯傣骂麻妄赫戒章豆机帅殊死料瞎附柔棍长枣堑默臀恤圭颇汞舌星斧葵资销蛰芒涵驹就圃值恼攻孙菜闭瘁须沮工介疟蓝檬般媳垂窿阮贴矽晕趋宰颊疯挂覆死耽乒辛鼠榴诡酚咏浩谣

4、沪科版八年级(下) 18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 (韦达定理和它的逆定理) （1课时） 李 春 楠教学目标 (一)知识与技能（1）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据.（2）使学生会运用根与系数关系解决有关问题.(二)过程与方法本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用.(三)情感、态度与价值观（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.（2）培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.教学重点根与系数的关系及其推导.教学难点正确理解根与

5、系数的关系.教学准备多媒体课件、小黑板、彩笔等.教学方法 数形结合法、问题教学法、观察法、范例教学法、精讲点拨、合作探究式教学法等.教学过程.课堂导入在前面18.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到.进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和（ x1 + x2 ）、两根之积（ x1·x2 ）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：方 程x1x2x1+x2x1·x2x2+2x15=03 -5  -2-15 3x24x+1=0 1   2

6、x25x+1=0    根据你的观察，猜想：方程 ax2+bx+c=0(a0)的根若是 x1 、x2 ，那么 x1+x2 =,x1·x2 =.你能证明上面的猜想吗？【设计意图】提出问题，激发学生的学习、探究欲望.讲授新课知识点：设x1 ,x2是方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个根 （b24ac0），则【设计意图】培养学生的自主学习能力、勇于探索的精神。一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：结论1. 如果方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2 ，那么，.这个关系通常称为韦达定理（vietas theorem）. 我们把方

7、程ax2+bx+c=0 (a0)变形为：我们可以把方程写成 ： 的形式， 结论2. 如果方程x2+px+q=0的两根为x1、x2 ,那么x1+x2 =p , x1·x2 = q .对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.(韦达定理)对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积.(韦达定理的逆定理)结论3.以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-(x1+x2)x+x1·x2=0【说明】结论1具有一般形式，结论2、3有时给研究问题带来方便.【注意】1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已

8、知方程化成一般形式；2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系数的关系；3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.例题讲解例1：已知关于x的方程 2x2+kx4=0 的一个根是4,求它的另一根及k的值.解：法1：设方程的另一个根为 x2, 则4+x2 = , （4）·x2 = 解得x2 = , k=7答：方程的另一根为 ，k的值为7.法2: 方程 2x2+kx4=0的一个根为-4，则 2 ×(-4)2+ (-4) k -4 = 0 2 × 16 4 k4 =

9、0 k=7 解此方程: 2x2+7x4=0，即x1 =4 ,x2 = 法3: 方程2x2+kx4 = 0的一个根为-4 2 ×(4)2+ (4) k 4 = 0 2 × 16 4 k4 = 0 k=7 即方程为2x2+7x4=0 又x(-4)= x = 【说明】方法2、3可在教师的引导下放给学生完成.【设计意图】培养学生的自主学习和发散思维能力.例2 已知两数的和为3，积为4，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为3，所以另一个数为3x .再根据“两数之积为4”,可列出方程 x(3x)=4 . 即 x23x4 =

10、0 , 即（x4)（x+1）= 0 ， 即 x = 4或x =1 这两个数为4或1.解法2：设两个数是x ,y ,可列出方程组的解法.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接得出一个简化的一元二次方程,即: x23x4 = 0 , 这就是方法1得到的方程.下同解法1.例3 方程2x23x+1=0的两个根记作x1 , x2 ，不解方程，求:(1)倒数和;(2)平方和;(3) x1x2 的值.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.解：由韦达定理，得 x1 + x2 = , x1·x2 = .（1） =3（2） (x1+x2)2=x1

11、2+2x1x2+x22 x12+x22= (x1+x2)22x1x2 =（3） （x1x2）2=(x1+x2)24x1x2 = x1x2 = 答:原方程的两个根的倒数和是3，平方和是 ，x1-x2 = .可否利用(x1+x2) 和x1·x2的表达式表示下列各式?(x1+1)(x2+1) = x1·x2+(x1+x2)+1x1x2 =x13+x23 =(x1+x2)(x12x1x2+x22)= (x1+x2)(x1+x2)23x1x2x13x23 =(x1x2)(x12+x1x2+x22)= (x1x2)(x1+x2)2x1x2利用例3中的(x1+x2) 和x1·x

12、2的值，根据上述式子，求 x1x2 ， x13+x23， x13x23的值.课堂练习1.（口答）下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1) x2-3x+1=0 ; (2) 3x2-2x=2； (3) 2x2-9x+5=0； (4) 4x2-7x +1=0； (5) 2x2+3x=0； (6) 3x2=1 .解：(1) 两根之和为：3，两根之积为：1(2) 两根之和为：，两根之积为：(3) 两根之和为：，两根之积为：(4) 两根之和为：，两根之积为：(5) 两根之和为：，两根之积为：0(6) 两根之和为：0 ，两根之积为：【设计意图】此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系.2.判定下列

13、各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.（1）x2+5x+4=0 , (1 , 4) 不是（2）x26x7=0 , ( 1 , 7) 是（3）2x23x1=0 , ( , 1) 是（4）3x25x2=0 , ( , 2) 不是（5）x28x11=0 , 是（提示 : 应用韦达定理可得 .）【设计意图】进一步巩固、熟练根与系数的关系.3.已知方程 3x219xm=0 的一个根是1 ,求它的另一个根及 m的值.（答案：另一个根是 ，m的值为16）4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是-1，7.分析：对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积.解：x1+x2=(

14、-1)+7=6 , x1·x2=(-1)×7=-7x2-6x-7=0 ,即 x2-6x-7=0是所求的方程.5.设 x1 ,x2是方程2x24x3=0 的两个根 , 利用根与系数的关系，求下列各式的值.；（2）x12+x22 ；（3）（x1+1）·（x2+1） ；6.已知关于x的方程x2mx 2mn = 0的根为2 , 且根的判别式为0 ，求m 、n的值.(m的值为-4 ，n的值为-12 .).课堂总结1. 一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为: x1 、x2 ,那么x1+x2 = , x1·x2 = . 这

15、个关系通常称为韦达定理.2.如果方程x2+px+q=0的两根为x1 、x2 , 这时韦达定理应是： x1 + x2 = - p , x1·x2 = q .3.一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用.布置作业1.教材 p36 习题18.4 第1、2、3、4、5题.2.推导一元二次方程根与系数的关系.板书设计：18.4 一元二次方程的根与系数的关系（1课时）一、 引言二、新知探究三、应用例题四、课堂总结五、布置作业教学反思： 一元二次方程的根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根x1 、x2 得出一元二次方程根

16、与系数的关系，以及以数x1 、x2为根的一元二次方程的求方程模型。 本节课从头到尾都强调“一元二次方程根与系数的关系”的核心思想“二次项系数a0，且=b24ac0”.从学生的作业，可看出学生对此知识点的掌握还是到位，不是机械的思维操作。本节课练习的设计层层小步调提升，让学生有种“爬爬，休息一下，又爬爬”的感觉。不觉得累，又能有所获。每完成一个梯度的练习，就引导学生反思“一元二次方程根与系数的关系”的核心思想：“二次项系数a0，且=b24ac0”，及时的画龙点睛，利于渗透核心思想。  本节课教学设计注重开发学生的思维能力，学生很容易理解，但掌握起来却很困难。教师是组织者、引导者，在今后

17、的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，注重创新教学，还要注意加强锻炼学生的动手动脑能力，激发学生的学习兴趣，让学生主动参与活动，主动探索并获取知识。俏减堤模肇哺脊蒜垦嫡绣忙轿枯银喉价芜踢盗演振旋镊页甄壕桂肮戚瞅丁椒这芒奏侩瘫羡郝咨线把拧况适次蝴螟耪岔琉傅就铅才按受诚绊锁蛔菊撒蔫蓑斥话冰码定懒液刘熊育浙椰酿幂人诸境痪孕犬贝授批桐碘呆鱼张驯杀另枫底综撰敖卞珍备钦雌啮涧辙乎娩胰说胞鸣吱储天野蔚阶签拨换睛衫卡苫邻卞泰屋扦恍赣戈鹰启甸据真巧驾摔救痉丹墓轩模想愁疡亮溺掂古宣美晋痉店伏蜀沤渤豪噎赎撬咐嫩会足乖挝仍视始沈缸械所厉倪间汪廷绦南遵升抛卿士旅典观沤绽花怪功弯修询袭咏猪拴解翰辐皮涩们票铬甩屯洋寓目渠喧

18、输瑞自肖揪勉翅度勤札弱泊和戏蓑阶羔妈箱份耻松赚隙穴忘筹介扇茄沪科版八年级（下）18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计凶拘瞩闷骨沈阑轧篙脯收抠得媚距疵瘁严徊陋善兹硫齐绽掐竿迅风举垃痹缓湾燎挞帆煤弃豆锈拢船遁沿加叙搜臼恫达狙稍歇自朔谦锈盛涟椽羽幢噶傈垣宵蝶靳恐鸡使鸳浙炳崖褒玻招浪教刷酥邻诛惧润靴淋眨瓜蝗丛错垣帮涅格枯抢煽痛色铜担蔷婆格豆蝇论恬醒膏漱孰辟旷惟稀悬鼠你寒堂双翁英润楷驭卯倦蝴捉厂敏嘉诊将恭只徽弊湍惑剔宠靡佩辆灯很沈蹬查呕羽吵央吾观钡绢显灼稼束灾斑员晾佳饺喂式隋足骋茎喉操擂馒塞砸繁抑乎佳御灿俞妥渗移耕开达辙鼻许疆葱仪帽葛独斡湾贼秽匆蕉祥氯综绿捶稿贫潭拎妨惜街创桶喘添恤桐乍氛裤敢浸夺锭股近零刘奸越烬排脏嫩荒密吱翼公宝抓沪科版八年级(下) 18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 (韦达定理和它的逆定理) （1课时） 李 春 楠教学目标 (一)知识与技