流体力学6-势流理论

1、本章主要研究内容：本章主要研究内容：1.1.理想流体平面绕流问题（平面势流）理想流体平面绕流问题（平面势流）2.2.几种最简单的势流几种最简单的势流3.3.绕圆柱体的无环流绕圆柱体的无环流流动流动4.4.绕圆柱体的有环流流动绕圆柱体的有环流流动5.5.附加惯性力与附加质量附加惯性力与附加质量-1 -1 几种简单的平面势流几种简单的平面势流平面流动（或称二元流动）应满足的条件：平面流动（或称二元流动）应满足的条件： 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 在平面，无垂直于该平面的分量；在平面，无垂直于该平面的分量； 与该平面相平行的所有其它平面上的流动与该平

2、面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。情况完全相同。图图 6 61 10 xyddxdyV dx V dyV dxxy一、均匀流一、均匀流V VV Vo o， V Vy y0V xCyxoddxdyVdx Vdy Vdyxy(1)势函数势函数0V x(2)流函数流函数0V yconstconst，等势线，等势线=const=const，流函数等值，流函数等值 线（流线）线（流线）两组等值线相互正交两组等值线相互正交0.V xcxconst令0.V ycyconst令薄平板的均匀纵向绕流薄平板的均匀纵向绕流0v0v0v y0v0v0v y平板平板平行平壁间的流动平行平壁间的流动二、源或汇

3、二、源或汇 流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。反向流动谓之汇。V Vr r=f(r)=f(r)， V V = 0 = 0 2rV 2rVr r V Vr r/2r/2r xyVVxyyx 直角坐标系：直角坐标系：极坐标：极坐标：11rsVVrsrsrr xyrd( )s()2()2QddrdV dr rV ddrrsrrQddrdV dr rV ddsrr ln22QQr 流线为流线为constconst，为原点引出的一组射线，为原点引出的一组射线等势线为等势线为constconst，为同心圆。，为同心圆。 ln22QQr流线和等势线相

4、互正交。流线和等势线相互正交。 当，则当，则 V V为点源，反之为点汇。为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，可以用源（汇）的速度势来描述。可以用源（汇）的速度势来描述。oACBDvvln2Qr三、偶极子三、偶极子 定义定义无界流场中等流量的源和汇无界流场中等流量的源和汇无限靠近，当间距无限靠近，当间距xx时，流时，流量量，使得两者之积趋于一，使得两者之积趋于一个有限数值，即：个有限数值，即：xx （xx）这一流动的极限状态称为偶极子，这一流动的极限状态称为偶极子，为偶极矩。为偶极矩。xQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBC1

5、212(lnln)2QrrQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBCcos2Mr222Mxxy用迭加法求势函数用迭加法求势函数流函数流函数1212()()22QQ12sinxr2sin2Qxr 21sinrx120 xQxMrrsin2Mr222MyxyQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBC令令C得流线族：得流线族：222Mycxy122ycxy或或即即2210yxyc2221111()24xycc图图6-8（b）流线流线：圆心在轴上，与：圆心在轴上，与x x轴相切的一组圆，轴相切的一组圆，轴线：源和汇所在的直线轴线：源和汇所在的直线等势线等势线：圆心在轴上，与轴相切的一组圆。圆心

6、在轴上，与轴相切的一组圆。注意：注意：偶极子和轴线的方向偶极子和轴线的方向方向：由汇指向源的方向方向：由汇指向源的方向图图6-8（b）偶极子的方向偶极子的方向为轴负向为轴负向四、点涡（环流）四、点涡（环流）点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡， 方向垂直于方向垂直于xoyxoy平面，与平面，与xoyxoy平面的交点平面的交点02srvvr涡索旋涡强涡索旋涡强度的两倍度的两倍所求速度的点到所求速度的点到点涡的距离点涡的距离2rsdv drv rdd2流函数流函数2srdvdr vrddrrln2r 流线：流线：constconst同心圆同心圆对应于反

7、时针的转动对应于反时针的转动对应于顺时针的涡旋对应于顺时针的涡旋势函数势函数6 63 3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶 极子迭加形成的流动。极子迭加形成的流动。均匀流动均匀流动 + 偶极子偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动绕圆柱体的无环量流动无穷远条件无穷远条件（远场边界条件）（远场边界条件）一、圆柱绕流的边界条件：一、圆柱绕流的边界条件：圆柱表面不可穿透圆柱表面不可穿透r = r，V V= V= V= =或或r = r 的圆周是一条流线的圆周是一条流线r = r，=（零流

8、线）（零流线） 在无穷远处为均匀流在无穷远处为均匀流2.物面条件物面条件（近场边界条件）（近场边界条件）00 xyVVV 或或00cossinrVVVV rVV0V12012022McosV rcosrMsinV rsinr边界条件的验证边界条件的验证rVV0V00()02MsinV rr令的流线中有一部分是轴的流线中有一部分是轴002MVrr0 0sin或圆周圆周 也是流线也是流线 的一部分的一部分002Mrrv0近场边界条件近场边界条件00cossinrVVVV 20022002cos (1) 1sin(1)rrVVrrrVVrr 20 02MVr200cos()rVrr远场边界条件远场边

9、界条件02McosV rcosrrVV0V结论：结论：200cos ()rVrr均匀流动均匀流动 + 偶极子偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动绕圆柱体的无环量流动20022002cos (1) 1sin (1)rrVVrrrVVrr 圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布00 2sinrVVV 、：、： A,CA,C为驻点！为驻点！22000022cos (1) sin (1)rrrVVVVrr 0rr、：、：0, 22VV 速度达到最大值，速度达到最大值，且与圆柱体半径无关。且与圆柱体半径无关。流场速度分布流场速度分布二、圆柱表面的速度分布二、圆柱表面的速度分布0, 0V 0rV ？讨论：零流线

10、上的速度变化？讨论：零流线上的速度变化？讨论：零流线上的速度变化？讨论：零流线上的速度变化20022002cos (1) sin (1)rrVVrrVVr 零流线上的速度大小222002(1) rrVVVVrX轴：圆周：02sinVV, AB(D), (),AB DC 速 度 减 小 ，速 度 增 加速 度 减 小 ， C,速 度 增 加三三 柱面上的压力分布柱面上的压力分布: :定常，不计质量力的拉格朗日积分式为定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:220022VVpp2200(1 4sin)2Vpp无穷远均匀流中压力无穷远均匀流中压力002sin rVVV 02sinVV圆柱体上：圆柱体上：

11、压力系数压力系数: :02012pppCV41 4sinpC 2压力分布既对称于轴压力分布既对称于轴也对称于轴。也对称于轴。在，两点压力最大在，两点压力最大 在，两点压力最小在，两点压力最小41 4sinpC 2？讨论：？讨论：零流线上的压力变化零流线上的压力变化圆柱面上的压力分布圆柱面上的压力分布？讨论：？讨论：零流线上的压力变化零流线上的压力变化220022VVpp, AB(D), (),AB DC 速度减小，速度增加速度减小， C,速度增加, AB(D), ( ),AB DC 压强增加，压强减小压强增加， C,压强减小理想流体对圆柱体的作用力理想流体对圆柱体的作用力: :升力升力L L：

12、合力在轴上的分量合力在轴上的分量阻力阻力R R：合力在合力在x轴上的分量轴上的分量绕圆柱的无环量流动：绕圆柱的无环量流动：升力升力 压力分布对称于轴压力分布对称于轴阻力阻力 压力分布对称于压力分布对称于 y y轴轴达朗贝尔谬理达朗贝尔谬理! !负压负压正压正压达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：. . 理想流体理想流体. . 物体周围的流场无界物体周围的流场无界. . 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点. . 物体作等速直线运动物体作等速直线运动. 物体表面流动没有分离物体表面流动没有分离-3 -3 绕圆柱体的有环量流动麦格鲁斯

13、效应绕圆柱体的有环量流动麦格鲁斯效应 环量为环量为顺时针平面点涡顺时针平面点涡绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的无环流绕圆柱体的无环流边界条件仍成立：边界条件仍成立： 1.1.圆柱是一条流线圆柱是一条流线 2.2.无穷远处的边界条件无穷远处的边界条件势函数与流函数势函数与流函数220000cos () sin ()ln22rrVrVrrrr（ 顺时针转动取负）顺时针转动取负）流场中速度分布流场中速度分布20022002cos(1)1sin(1)2rrVVrrrVVrrr 当当 ( (圆周仍为流线圆周仍为流线) )0ln.2rconst0rr00cossinrVVVV （无穷

14、远处为均匀流动）（无穷远处为均匀流动）0012sin2VVr 0rV R-r=r0一、边界条件：一、边界条件：圆柱表面上速度分布圆柱表面上速度分布由环流引起由环流引起圆柱上表面：圆柱上表面： 顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速度方向相同，故速度增加。度方向相同，故速度增加。圆柱下表面：圆柱下表面：方向相反，因而速度减少。方向相反，因而速度减少。0012sin2VVr 0rV 二：速度分布及驻点位置二：速度分布及驻点位置驻点位置驻点位置0 0sin4srV0012sin02VVr 0V 0rV 圆柱表面上圆柱表面上驻点不在圆柱表面上驻点不在圆柱表面上结论结论

15、：1. 1. 合成流动对称于轴，圆柱仍将不受阻力合成流动对称于轴，圆柱仍将不受阻力 2. 2. 合成流动不对称于轴，产生了向上的升力合成流动不对称于轴，产生了向上的升力2200(2sin)222vpCCVr三三 阻力、升力大小的计算：阻力、升力大小的计算：222002200sin2sin8VCVrr伯努利方程（沿圆柱表面）伯努利方程（沿圆柱表面）0012sin2VVr 22vpC1 圆柱表面压力分布圆柱表面压力分布单位长单位长ds所受到的阻力所受到的阻力0coscosDFdsdpdpr 0V0rpdsdLdFDdF200cos0DFpr d 单位长圆柱所受到的阻力单位长圆柱所受到的阻力2 阻力

16、大小的计算：阻力大小的计算：2200(2sin)222vpCCVr单位长单位长ds所受到的升力所受到的升力0sinsinLFdsdpdpr 0V0rpdsdLdFDdF200sinLpr d 单位长圆柱所受到的升力单位长圆柱所受到的升力222002022000sin2s()sinin8VCVrr drL22232000sin0,sin0,sinddd 0LV 库塔库塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理3 升力大小的计算：升力大小的计算：库塔库塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理0LV 升力的方向升力的方向: :右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转9090

17、有尖后缘的任意翼型绕流（理想流体）有尖后缘的任意翼型绕流（理想流体）sincosdXpdSpdydYpdSpdx 得和方向的总力：得和方向的总力： ssXpdyYpdx阻力阻力 RX升力升力 LYV0库塔库塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理结论：结论：2.升力的大小为升力的大小为V0，方向垂直于，方向垂直于V01.物体只受到升力，不受阻力（物体只受到升力，不受阻力（理想流体理想流体）。）。3. （逆时针）时，方向朝下，（逆时针）时，方向朝下， （顺时针）时，方向朝上。（顺时针）时，方向朝上。 升力方向按右手法则：升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转四指顺来流逆环流转90o与绕圆柱体有环流

18、与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致流动的结果完全一致旋转圆筒旋转圆筒推力推力: L L在船前进方向的分力在船前进方向的分力四四 麦麦格鲁斯效应：格鲁斯效应：绕旋转圆柱体流动会产生升力绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。的现象。合速度合速度V V升力升力 V VL L的分力的分力讨论：讨论：1. 已知环量已知环量 c，求圆柱体的旋转角速度，求圆柱体的旋转角速度 环量环量 c 2r0 Vs 2r20 圆柱表面的切向速度圆柱表面的切向速度 Vs = r 所以所以 c / 2r20 w方法一：方法一：方法二：方法二：)(2220rdsnc所以所以 c / 2r20 Vscssv dsvds 2.圆柱体长

19、圆柱体长10m，直径，直径1m，在静止流体中绕自身，在静止流体中绕自身轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然风风u与与V垂直垂直。求求: 圆柱体受力圆柱体受力解：解：环量环量 c 2r0 Vs 2r20 37.1 m2/s22050/xyVVVm s所以所以 023200cLV lN V=40m/su=30m/sn=225/sV0L3.设在（设在（a,0)处有一平面点源，在（处有一平面点源，在（a,0)处有一处有一平面点汇，平面点汇， 他们的强度为他们的强度为Q，若平行直线流动和，若平行直线流动和这一对强度相等的源和汇叠加。这一对强度相等的源和汇叠

20、加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程解：解：（1） 求势函数求势函数1r122r012coslnln22QQv rrrQ-Qaax(x,y)yr222212(), ()rxayrxaycosrx22220ln()ln()22QQv xxayxay均匀流均匀流 源源 汇汇 1r122rQ-Qaax(x,y)yr3 求驻点位置求驻点位置22220ln()ln()22QQv xxayxay（2） 流场速度分布流场速度分布022222()2()xQxaQxavvxxayxay22222()2()yQyQyvyxayxay0222202()2()xQx

21、aQxavvxayxay222202()2()yQyQyvxayxay200aQxavy 驻点驻点120012 ()222QQQv yv y1r122rQ-Qaax(x,y)yr（4） 求零流线求零流线源源 汇汇 均匀流均匀流1212222122()11yyx ax ayyx a x atgtgaytgtg tgxya022222Qayv yarctgxya222022QayyarctgUxya令令020 0aQxayv 零流线零流线驻点在零流线上！驻点在零流线上！物面方程物面方程均匀流均匀流 + 点源点源 + 点汇点汇 Q-QaaQ-Q均匀流均匀流 + 点源点源 + 点汇点汇 兰金椭圆柱兰金

22、椭圆柱开尔文椭圆柱开尔文椭圆柱半无限体半无限体均匀流均匀流 + 点源点源Q1r122rQ-Qaax(x,y)yr奇点试凑法奇点试凑法讨论：讨论：（1）求势函数或流函数）求势函数或流函数（2）求流场速度分布，驻点位置）求流场速度分布，驻点位置（3）求零流线或等流函数线）求零流线或等流函数线一般过驻点的流线就是物体表面一般过驻点的流线就是物体表面（4）求物面上的压力分布）求物面上的压力分布（5）求升力）求升力例例6.2 6.2 已知速度势已知速度势=x=x- -x yx y2 2 ，求流函数，求流函数22336xyVxyVxyyx22336xyVxyVxyxy2222(33 )( ) 3( )xy

23、 dyf xx y yf x积分得积分得: :6( )6yxyf xVxyx即即f(x)=Cf(x)=C。则流函数为。则流函数为: :223x y yc待定函数法求解待定函数法求解22Q1ln2r例例6.3 6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流已知平面点涡的流函数和平面点汇的流 函数分别为函数分别为 和和求：叠加后的速度势求：叠加后的速度势12ln22Qr解解:11()22QQrrrrln( )2QrC 对对求导得求导得: :( )C另外另外22rrrr()2C 所以所以即即( )2C ln22Qr势函数势函数: :讨论：讨论：点涡点涡+点汇点汇=？12ln22Qrln22QrCrce令

24、等流函数线等流函数线（流线）（流线）点涡点涡+点汇点汇点涡点涡+点源点源225628100 sin (1)ln25rrr例例6.6 6.6 已知流函数已知流函数 求求: :）驻点位置；）绕物体的环量；）驻点位置；）绕物体的环量； ）无穷远处的速度；）作用在物体上的力。）无穷远处的速度；）作用在物体上的力。解解 : : ）求驻点位置）求驻点位置( (先求速度场先求速度场) )225100cos (1)rVrr225628100sin (1)2Vrrr令令，则零流线为，则零流线为r=5r=5的圆柱即为物面。的圆柱即为物面。在物面上在物面上令令，有，有628sin0.12000s 即驻点位置为即驻点

25、位置为01025 44174 16ss6285, 0, 200sin10rrvV ）求环量）求环量2200628( 200sin) 562810dsvrvdd6285, 0, 200sin10rrvV ）求速度）求速度04sinsr V 在物面上在物面上1010628100(/ )4sin45 ( )sVm sr 即为无穷远的来流速度。即为无穷远的来流速度。）求合力）求合力若若kgkg则则 V V0 0 6.286.281010例例6.6. 在在x x0 0的右半平面的右半平面(y(y轴为固壁轴为固壁) )内内, ,处于处于x x轴上轴上距壁面为距壁面为a a处有一强度为处有一强度为Q Q的点

26、源。的点源。求求: : 流函数、势函数及壁面上的速度分布流函数、势函数及壁面上的速度分布解：解： 用镜像法用镜像法0022222()2()02 ()()xxxQxaxaVxxayxay在在x=0 x=0处处流函数为：流函数为：1112()22QQyytgtgxaxa0002222222()()yxxxQyQyQyVyx ayx ayya满足不可穿透条件满足不可穿透条件叠加后的势函数为：叠加后的势函数为：222212(lnln)ln ()ln ()22QQrrxayxay2222ln ()()2Qx ayx ayaa(x,y)1r2r124 4 附加惯性力与附加质量附加惯性力与附加质量物体在无界

27、流体内的运动可分为两大类物体在无界流体内的运动可分为两大类: :1.1.匀速直线运动匀速直线运动2.2.非匀速运动非匀速运动: :坐标系固结于物体上仍为惯性系，坐标系固结于物体上仍为惯性系，为均匀来流绕物体的定常流动。为均匀来流绕物体的定常流动。由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等坐标系固结于物体上为非惯性系，坐标系固结于物体上为非惯性系，为非定常流动问题。为非定常流动问题。不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等无界流场中物体作非无界流场中物体作非匀速直线运动匀速直线运动无界流场中的非定常运动物体质量为无界流

28、场中的非定常运动物体质量为, ,物面为物面为V(t)Ms 推动物体的作用力：推动物体的作用力：2. 2. 还要为增加流体的动能还要为增加流体的动能而作功而作功1. 1. 必须为增加物体的动能必须为增加物体的动能而作功而作功 设设 （）称为附加质量称为附加质量称为虚质量称为虚质量令令 I I则：则： I I 附加惯性力附加惯性力 附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周 围流体质点的作用力围流体质点的作用力V(t)Ms I I的方向与加速度方向相反。的方向与加速度方向相反。当当0 0时时I I， 即物体加速度运动时，即物体加速度运动时， 为阻力；为阻力；当当0 0时，时，I I0 0，即物体减速时，即物体减速时， I I为推力。为推力。V(t)Ms 附加质量的计算附加质量的计算2222()()()Vxyz式中式中222222)()()()(xxyyzzxyz2()()()Vxxyyzz所以所以内流体动能：内流体动能：221122TV dV dV(t)Ms () cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , )sPQRdn xn yn z dxyznQxn