初二数学--勾股定理讲义(经典)

1、第一章勾股定理【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题 1、面积问题2、求长度问题勾股定理的应用&最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b,斜边为c,那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论：有一个角是30°的直角三角形，300角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45°的直角三

2、角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证ba例题：例1:已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边(1)在 RtzXABC中，/ C=90若 a=5, b=12,贝U c=;若 a=15, c=25,b=;若 c=61, b=60,a=;若 a ： b=3 ： 4, c=10 贝U RtzXABC的面积是=(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n2 1, 2n (n>1),那么它的斜边长是(A 、2nB n+1G n21(3)在RtzXABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是()222222A. a b c B. a c bC. c2 b2

3、 a2 D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是()A 25B 14G 7D 7 或 25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为 5和12,则它斜边上的高为 。(2)已知 RtzXABC中，/ C=90° ,若 a+b=14cm c=10cm)则 RtzXABC勺面积是()2222A 、24cmB、36 cm G 48cm D 60cm(3)已知x、y为正数，且I x2-4 | + (y2-3) 2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形, 那么以这个直角三角形的斜边

4、为边长的正方形的面积为()A 5R 25C 7D> 15例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证 明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形。(2)常见的勾股数：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n).(n为正整数)(3)直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形。有

5、一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是()A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4 C. 11, 12, 13 D. 8, 15, 17(2)若线段a, b, c组成直角三角形，则它们的比为()A、2：3：4 B、3：4：6 C、5： 12： 13 D 、4：6：7例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中：ABC, / C=/ A /B;ABC, / A: /B: /C=1: 2: 3;A

6、BC, a： b: c=3: 4: 5;ABC,三边长分别为8, 15, 17.其中是直角三角形的个数有().A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个(2)若三角形的三边之比为 叵二:1 ,则这个三角形一定是()22A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 不等边三角形(3)已知a, b, c为AABCE边，且满足(a2 bj(a 2+b2 c2)=0,则它的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形(5)若 A

7、BC勺三边长a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c,试判断 ABC的形状(6) AABC的两边分别为5,12,另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为三角形为例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25 ,则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为1： 5.2,则其最小角为考点三：勾股定理的应用例题:例1:面积问题(1)下图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形AB G D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是(A. 13B. 26C. 47 D. 94(图1)(图2)(

8、图3)(3)如图，ABE直角三角形,分别以AB, BG AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得()A. Si+ S2> S3B. S 1+ S2= S3C. S2+S< SiD.以上都不是(2)如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是Si、&、则它们之间的关系是()A. Si- S 2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+SV SiD. S2- S 3=S例2:求长度问题(i)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。(2)在一棵树10m

9、高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的池塘A处；？另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 试问这棵树有多 高？例3:最短路程问题(1)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为高为2, AB, CD分别是两底面的直径，AR BC是母线，若一只小虫从 A点出发，从侧面爬行到 C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 (结果保留根式)（图1）(2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点 A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为（图2）例4:航海问题(1) 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以 12海里

10、/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里.(2)如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从 A处运往正东方向的M处，在点A处 测得某岛C在北偏东60。的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东300 的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？ 试说明理由。（图1）(3)如图2,某沿海开放城市A接到台风警报,BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲

11、的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例5:网格问题(1)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3(2)如图，正方形网格中的 ABC若小方格边长为1,则 ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对(3)如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD勺面积是()A. 25 B. 12.5C. 9D. 8.5（图1）CA（图3）（图2）例6:图形问题(1)如图1,求该四边形的面积(2) (2010四川宜宾)如图2,已知,在 ABC中，/ A= 45,AC

12、 ；2AB=43+1,则边BC的长为*（图1）(3)某公司的大门如图所示，其中四边形A BCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB =2.3 m , BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车， 高为2.5 m,宽为1.6 m,问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由(4)将一根长24 cm的筷子置于地面直径为5 cm,图为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围。 【培优提高】1 .如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AO6 cm、BO8 cm, 现将AAB时叠，使点B与点A重合，折痕为D则BE的长为 (A) 4 cm(B) 5 cm(C) 6 c

13、m (D) 10 cmC2 .如图所示，在 RtAABC, / C= 90° , / A= 30° , BD 是/ABC 的平分线，C* 5 cm,求 AB 的 长.3 .3 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、枇、亚(在图甲中画一个即可)；使三角形为钝角三角形且面积为4 .下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A.1 , 2, 3B.2, 3, 4C.3, 4, 5D.4, 5, 65 .在ABC, AB=6 AC=8 BC=10 则该三角形为()A锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形.等腰直角三角形6 .已知 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtzXABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 RtA ACD再以RtzXACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtAADIE,依此类推，第n个等腰 直角三角形的斜边长是.7 .如图，每个小正方形的边长为1, ABC的三边a,b,c的大小关系式:（A） acb（B） abc（C） cab（D） c b a8 .（本题满分10分）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他