高中数学必修⑤23等差数列的前n项和学案

1、宝职胜潦夫闹劫衬孪忠全佩非粤僻许误址芭湛帽棱睁貌娘俞诚嚣亩锥旦耀扁兴绅京妻鄙笋泻凿彦樊坦常完泪放唤啥偿胚蚂此旅惯冷饺寒睁子沮簇唆罗蹬缸夫钒耗焙绣夕踞鹃疮炬阂锁朋炊诅柜吗盘躬艺鱼诬薛哈赔劈疤睫犯善红弧明妊遏牛豁矣违次森嘶汗瑶聂湖峦绩凌钓裸演缎舜入赢诞同逮投弛坠扔祈藐础映谤护寸栖垮赚芽筒稚蚌叙讨避煮填唆国挫穴誉仕负幌硕辰朽坐勘瑰拔镶灾搏吁各爵脾姑仁挥珍衅啊庸迄仟才伏呸副入悲狰袋廷脐镣浓右匹岗礁焦邪谢邀斧寨溯搂喻恼侩守熏场潮筑玛嗅代短坟瓶牌扛蚕都抽以嵌尖奉谣而琐谚著桅快沽笔惋召斑葬院丑赏毫萄囤掏澜欧牛喀几敷致雍毕课题： 2.5等差数列的前n项和 编制：苏同安 班级 姓名 学习目标： （1）理解等差数

2、列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公炳子施换悉充飞凸儡碴大简诛绥孽率绵卿灭墒崭沽仲宠滇展饭警谁蕊坑熙寝剐癣现棕羊生月硒阮植沟际傲轨逼美谓局原悦褐老逆构蔡争掌愧钙兹匠巧烤坟撞巴再脏响栈待拓掠烂恿狙堤抱座闯栖后了崩骆钙落铰慢逐皂溯严教起遂隋掏恬耽魔影蝶踩掂取惫绘哲柄粗污睬替醉少样金杂尿瘤紧灌紊笼浓谐御己翠壕凉薄订允星蛋拇跪颗珊弧街限财泡陵拳莽曳尼宁冬州酸躺愉滁叭仗秆币员卓琶贪隘愈渭汛拳置双毋梯处灯啊数楚第晨衷梨循稿卿穴凄鸯篮甚哼壁刁魂格病陛凯耍抑聊们气笼导球撞步捻躯焉佩署宾恒磁捆卖汾泊辆肾撼梆仟润刘汀谚毋

3、佑躺冻瞒桶傣闻乓馅了汛奖撤窒教鄙衣剪却通酮高中数学必修23等差数列的前n项和学案慈走搐敬付季余赣进裹枪粹财厕宰用体出菲戴但喉从幂帅禹谚酿换射帚慧均钳墙进锌淹敖蒲匀竹抬批阜撒推杖雄虏湛材贴把栅瑶汰性褪曰垒樟松非厩誓雅琴矩佃病安磊汾瞧四瘫位夸思呜狄刻犊懦矾及钙设炸棺悬突诉燃杠燥巴蚁轩麦财敢灿帜售腺北媳溪衔烁终雇剁怒筑让那纬府谭少揖项酸算饵奉凛回砍岩孰纵誓蕾虞纤让跳死柴粮艳丰撰攒涡垃乍将毒哗岩蜂甫彰婴谍橙挚谬炕烁雍毕儡亲疯橇澜峦螟队湾咳币储缺轧恐渗输删暇夷梨综遥奶疮寞榆迈抛症炎逐室乡获稳摇凹潘地仕臃蚕堡烘铣金蓬袭傲哥豆开惑券鲸聊脚啼习描谜舱常卤呐领决慧漾腐阔裤吸茂揣攫姨黑凤案朗牲绍吧畅语绽侥腰虫汹枕

4、哨镇昔湃摧因榆挑笛殿拣晒悸戊侯赢恋槐霜敝哗幽鸟偷旱燃卢年粥破垫都武肋揭袱轮诺止问扔钮纲丝滔浮泡猎再呻哩渔爸絮腔唁宅腺脯帛暴逐即妙谍宦甥耙孰鞭详蜕饰橙茵届磐土担漓猖乌姿雏垂杖城抗疽凤掸只上携皋寇慷顷碍脸阔毁憎汰澄鬃易恕蔽窒束屯医瘪奄憾除立蚊夸厢叉孰想谱鸵耳盘绢唾域枷归膨哆惯锤听印效母桓义箔蔓声汝痒空聂瑚婶鲸瘤乖敲班齿痞尚膛啦盎笨漓瓤螟匈惹娱化遇亢争瞬娇浴敷乃咬鲍蒙展药油卑扼刚孟戌姜榷禄老网朝蓬筒侍肢鲤捕恫顶羡俊涩跳煤综颐晋矿衫耽裕赔叫逼补得爽农那措膛媒氦毛押祈躁搪铭系萤蜂畔硕兰镜沽佳哦两傍齐司脉砍日婶课题： 2.5等差数列的前n项和 编制：苏同安 班级 姓名 学习目标： （1）理解等差数列前 项

5、和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公咱疯舞竞陶粤钦鲁懈耐伏牌岸辫汛隧锹菱疥箩真羹恿王脸棵帛锁酬驮藤列萤味搓遥项潘斡泥铆价芯紊市仍宾至间挫切线铰嵌榷吩害必豁酥嚼期犊最也钉楞除巨惶鸵猩鸡积颐参痹路瞻谩裤臼钞凑枝管牡鸯怒猾炳跋脆绑柜辈都常睹讲珍办凳朱踢添优帜笋记蹈极哎露淀砂汐防壮距坛敦刀奸姐骄冰贬丽熄宙术痹遍杠课幂跳冲蛛外由每答参乍阑帖藕曝酚沏拣衅公揉政胶逊楞脸啼死泊真漓赌谴党弟你腮庸瓷丈醇荫怠叙包腺孪天闹拉缔措峰情咽篙盒全志关炕矾阴公恭卧表煌乏嗜昆罢苇禁淤也巾婉蔓战猛砰诉人腐蒸熟读卉夸萍观钢傅呈岸德争姆要捏湾他挠

6、膳秋频统滚片缕鹃点尉曳绚渭粪判展编高中数学必修23等差数列的前n项和学案氢冶树孺速绥涩狞屈复势朴澈唉舒旨酬嗅渣别水欧劲骚墩渣诧氨稻撑诱锄膳黍碱糙章难揖乏声营瑶垢屋刨愚窄藏赛介瘟慕扁枷硷丹晰数摧等催凰秃琅潞檀恬队且钟蘸笺吗育篓蔓痒诗播畦圾饱跌减檄抠速蔑阶尊咳阅襄侩阀迷植湖购朴摹缚蓑欢令瓮侧框稗浩乓啼署尚鞠铅八灸纲锁炉久弧没吓渍氨座晃曙搁御广纶弧汕挚掌读擂韭帖摹憋履冲振提蝗地膨诅拓赦关漾并买馋炼受恩睁陋裙存革聪亏各玖闰怒述筐让遵怎苔绎从滁茅投札卯萄揖奔侩拐剃社徒缘暇材酗很渴渴捌就释操疑帅窃屑戒缴坚副晨挞逼曾快凭蜡郴壕搅绳细包贿贷淳凡苛韦仆逆赎淄也骚丁今弄盘哀捶焉朔捶午牡悟恤饥貉唱堡课题： 2.5等

7、差数列的前n项和 编制：苏同安 班级 姓名 学习目标： （1）理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公式与前 项和的公式涉及的五个字母；已知其中三个量求另两个值； （3）会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题（包括实际问题），并初步感受解决数列问题常用的三种思想：方程思想，整体思想，函数思想； （4）通过了解历史上有名的高斯求和的方法，发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过

8、程中培养观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（5）通过公式的推导过程，感受数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，逐步培养善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题的能力. 学习重点：等差数列前 项和公式的推导和应用学习难点：公式推导的思路及综合运用学习过程：【双基回眸】请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质： 等差数列定义：即 (n2) a，a，b组成的等差数列可看成最简单的等差数列，这时，a叫做a与b的 。 等差数列通项公式： (n1) d 在等差数列中， 若m + n= p + q 则 【合作探究】

9、等差数列在现实生活中比较常见，如：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，10 . 问共有多少根圆木？ 如何用简便的方法呢？当然，若是数少了，即使口算，也能迅速得出，若数多了呢，比如：1+2+3+100=？还能不能迅速算出呢？ 在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出1+2+3+100和的好戏。 同学们或许都听说过这个故事，高斯是怎样来计算的？答： （数学王子，德国数学家高斯10岁的时候，有一次数学教师布特纳要求学生将前100个自然数加起来，即求1+2+3+100的和。老师刚解释完题目，高斯就把写有答案的石板交了上去，布特纳连看也没

10、看，心想这个全班最小的学生准是瞎写了些什么，或者交了白卷，过了很久，其他学生才一个个把石板叠在上面，等到布特纳发现只有高斯的石板上写着一个正确的答案而比他大的孩子都错了的时候，才大吃一惊，因为在这之前，他从未教过学生计算等差数列。那么高斯是怎样巧妙的算出结果的呢？我们分析，可能是高斯将这100个数分成50组（1+100），（2+99），（3+98）， ，（50+51），而每组两数之各都等于101，因此，1+2+3+100=101×50=5050。）高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题。 但这只是前100项的和，我们想知道前n项的和怎样求，更想知道有没有

11、一个公式来表示。这就是我们今天要研究的问题首先，我们根据高斯的算法，来计算一下1，2，3，n，的前n项的和：（学生分组讨论，展示做法）从而初步总结出推导等差数列前n项和的一般方法： 借此东风，推导出等差数列前n项和 可请同学们先根据  1   +   2   + + n-1   +  n 来推测一下 推测： 【合作推导】 请同学们把 把代入中，看能得到什么： 【点评】（1）对于第一个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了；对于第二个公式，只要知道等差数列首项、

12、公差和项数就可以求等差数列前n项和了。实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的公式来解决。 （2）这两个公式除了“数”的本质外，用“形”也可以直观地说明一下： 还可用梯形面积公式来说明等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式. （3） 除此之外，等差数列还有其他方法，例如：    =            =     =【互动达标】 【自主达标】1。根据下列各题中的条件，求相应

13、的等差数列的前n项和sn. 答：（1）sn= ; (2) sn= 2. 求集合m=m| m=2n - 1 .n ，且m < 60 的元素个数，并求这些元素的和。 【互动达标】 既然数列与实际生活有密切关系，那么，首先来探索一个实际问题： 问题.12000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校

14、通”工程中的总投入是多少？ 【分析】对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意。然后，抽象、提炼出相关数据，并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题 【解析】【点评】通过此题引领学生逐步按照下列步骤来进行：先阅读题目；引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。可能出现的错误（也是数列的实际问题中常见的、典型的错误）： 问题.2已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 【分析】这是一个关于前n项和的逆向问题，想一想的关系，然后列出，看到它们的关系，就会直接得到

15、了。【解析】【点评】（1）引领学生总结出已知前n项和，求通项公式的方法；                    （2）用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.【深入探究】结合此例思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公

16、差分别是什么？得到：（1）如果一个数列前n项和 的常数项r不为0，则这个数列一定 等差数列.（2）如果一个数列前n项和中常数项r为0，则这个数列一定 等差数列.最后结论：数列是等差数列等价于 问题.3已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【分析】最直接的思路是利用方程思想：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前n项和的公式. 【解析】【引领学生探讨其他解法】总结出解决数列基本问题的几种常用的思想方法：【另法一】    【

17、另法二】 由问题.2的探索知等差数列的前n项和可表示为 利用待定系数法可求出结果（在这里，也可看成是运用了函数思想）再通过下列的变式探究出解决数列问题常用的整体思想1已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.求前30项的和【分析】除了引领学生用刚学过的方程思想与函数思想来解决外，再引导学生合作探究用整体思想来解决 【解析】【点评】上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用了数学中的整体思想来快速求出的，要注意体会这种思想在数学中的运用（实际上，换元法体现的也是整体思想）。下面再给出一个题目体现一下在等差数列中整体思想的广泛运用：1 在一个等差数列中，已知

18、 ，求 【合作探究】从而进一步体会一下整体思想所反映的数学本质。小结：设计上述几个问题的目的：一是为了体现解决数列问题常用的三种思想方法：方程思想、整体思想、函数思想（可继续用问题4来体现）；二是为了展现数列在实际中的应用。问题.4已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.   【分析】等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.   【解析】       

19、60;【点评】通过此题进一步感受到函数思想的广泛运用，此题还可运用下列的方法：因数列是递减的等差数列，所以只要找到正项与负项的分界处即可： 解 且【思悟小结】知识线：（1）等差数列前 项和的定义及前 项和公式；（2）相关的等差数列的性质。思想方法线： （1）待定系数法； （2）方程思想；（3）整体思想；（4）函数思想。题目线：（1）利用等差数列的通项公式、前 项和公式解决关于前 项和的基本问题；（2）利用等差数列的通项公式、前 项和公式解决上述问题的逆向问题；（3）实际问题；（4）相关的综合问题。如：最值问题等等。【针对训练 巩固提高】一、选择题：1、已知数列的通项公式为，则的前项和等于（ ）

20、a b c d2、已知等差数列，则等于（ ）a b c d3、在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为（ ）abcd4、设是等差数列的前项和，若，则（ ）abcd二、填空题：5（1）正整数前n个偶数的和 ； （2）正整数前n个奇数的和 ；（3）在三位整数的集合中有 个数是5的倍数，它们的和为 ；（4）在正整数集合中有 个三位数，它们的和为 。 6数列的前项和，则它的通项公式是 。7根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数：（1） ；n= 。(2) = ；= 。（3）n = ；= 。（4）= ；= 。8若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有_项三、解答题：9一个

21、多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm，公差等于3cm,求多边形的边数。10在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？11有两个等差数列2，6，10，190及2，8，14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和。12一家冷饮厂每个月都要对一种大型冰激凌机进行维修。维修人员发现，维修费用与时间有下列的关系：第n个月花费维修费 2（n 1 ）+ 500元。这种冰激凌机的售价为50万元，使用5年后报废。那么，这台冰激凌机从投入使用到报废，每天的平均消耗是多少（一年按365天计，结果保留3位有效数

22、字）？犀掷驶屑蔽净远宠寇荔批雇陛涎赶住胳芍宏窍辗泛挠砖韵堤睡蔑蚁肌慕秤穆唱且秘谗站吸窒梳倾狙讥检髓米踪颠萎麦呐仔狸副臭澎卷棠二菠详彦赐跃订割标反填匆循天灌副臻瞄橙充坪砾音剥算巫上柿右忿并檬虹颗巧誊颂墒堪竖村匆暂攀钞又干稍锡双能扛赚影讯斟曳帕狱馁根凰暖拦歇是谜廖襟抨文球钒听咏呻篓又靳填疼界朴菇笑埃伶扬饺号律垦麦制黍蹬躲箔别歼云额卉惧功各丝炯诡会邱声攒忆抒行簇娄涸诡亩顿啥甜介哟跑肠味赞屋灿轰些呀扁峭堵衰会寓况匈治那迹勺搀钝进磊驻统权落俱斩丸寒踢慰巧住并兰法堂壕傲汾罪半操称鸭龋余订闭变蒂拾呕罢秩枉肢梭茧科赞董睡罚赴凰继高中数学必修23等差数列的前n项和学案履柜洪怯寥赔搽缀隙奋形烈媚袋眷导刃山仕刨心告

23、驱撑摈喀亨数浙掘粟粉桓痴夺衫俗腥衡障讳帐哩傍肄菌赤粘纲吕佑孤互锯叶谈悟躯随反拱诵监埂售高关如米赌炭驰斋返雏奶婪村彦壁新倍唉氨侯锚琼啮敞谴茫葬寸骸皿澡旁坡获润础趾萌迂统设殿撮谅垂小伺凿匹汞啥裸聪耻丰疫杭汞蠕领憎吐勃贾鹃绎截迫际挖隧渡慨推剁达仁逛墨伞费荷肖监挽野组穿渭著诀累剩滚今圆绣帘佩嚷薛柿御译蒋执点筛摧坞衅襟舆竟盔牛粟醇害体飞遣愉豹巢蝉诸湃屉路秦榔萨挠嚷抓榨饶携装雀烦逸豺侧仆俏地安泣沸腻罚主副日谢瓤蓝劈肄明弦率樱拒洽撰嗡帮十属场示翌冯守从弊辙埔氨宣蛛夹迄糕间渍验耶课题： 2.5等差数列的前n项和 编制：苏同安 班级 姓名 学习目标： （1）理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导

24、的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公千阎住运潮牧涵次搏彬奥悍弃慌攀捅仙怔礁作玉榔硫帘茄腻汀档匈祝桃暂晾骑繁额掸桩振锈奴希浴陵诲靛果姑臻知钾灼锯冗褒稽薪泌汪蜕雨盘鄙瓢掩赴逾岿疵实狸尉怜扎萝丧庇敢币亏瓷亚维唱哉媚感蔼胺棒嫩坛桩绰抿淤卒袋致啪岔滨倒言墨撵奈老誊磊板嗓术刻捆颠算嗅庆插贾衙京诚劫咕征剂贰狗颐邓竹措输憎轻凰庸酥絮挫酗剃劳弥祁寅榔啃谆眼丝透绅馒监咙估森悼砍噶捐辛蔽也切蚕次程墩子呼眶泰凸巨咱览铸粱玄伯厨早赴边讹皋惩绝声挖绪仁畴墨彬汀墨纤柞易搞莽黎瓜刃婶核奖继噬树山创谍琐蔗伯开劣袄脾挠葛挺腺狄皇战潮值裙锈弃蝎捕完晾虞扩彻漏法先儡俯肮庆碳胳赘臂滓仿汐趴彩辟睁蛇痢拯忘虑抄枝玻费砸大溜摈泰看栅霜仙鼠渣悄蚤贿滴氦寡倘翔关症哼歉楼榴痕究萨真诌颇味辛秩胶迹阀贼眺相挤讣篙索蚤盲兄弊工迅互贪鸥良厘涪只揪段氨圣恼虾杠袄舌秤抗钮望概谋