2020-2021学年上海市杨浦区兰生复旦中学九年级上学期期中数学仿真试卷(Word版含解析)

1、2020-2021学年上海市杨浦区兰生复旦中学九年级（上）期中数学仿真试卷一、选择题（共6小题）.1.已知线段6C,求作第四比例线段X,则以下正确的作图是（）3.如图，在ABC中，。、E分别在AB、AC上，DE/BC, EFCD交AB干F,那么下、AF DE . DF BCB,空富BD ABDF.AF DB DFD.EF JECD -BC4.已知点E、F分别在A8C的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A.若ZVIEF 与NkABC 相似，5!«J EF/BCB.若 AEX8E=A/XEC,则 AAE/与ABC 相似C.若空穹，则与A8C相似D.若 AA BE=AE FC,则AEF

2、 与ABC 相似5 .下列正确的是（）A- |ka|=k | a |8. a0为单位向量，S'b = | b | a0C.平面内向量a、c，总存在实数机使得向量c =ma.D.若a=m十口，m " a , n" a2，则it、n就是在a、&2方向上的分向量A. 2-1 B. 2+72C. V2+16 .如图，在直角梯形力BCD 中，DC/AB, ZDAB=90° , AC±BC9 AC=BC, NABC 的D. a/2二,填空题（共12小题）.7 .若上哈，那么的值为.a J a+b8 .计算：tanl50 tan45° tan

3、75° =.9 .若3是与非零向量之反向的单位向量，那么之=蔡10 .如图，在A8C中，BC=6, G是4ABC的重心,过G作边8c的平行线交AC于点H,则GH的长为11 .二次函数y=ax2 - 3x+a2 - 4的图象经过原点，则a=.12 .若过O。内一点M的最长弦为10,最短弦为6,则0M的长为.13 .已知。的半径为13,龙A8=24, CD=10,且A8CQ,则弦A5与CO之间的距离 为.14 .如图，一桥铁呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心 M处5米的地方，桥的高度是 m （it取3.14）.15 .小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子

4、长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，则路灯 灯泡距离地面的高度为 米.16 .如图，A8C中，BC=5, AC=3, ABC绕着C点旋转到ZVV Bf C的位置，那么 ABB'。与A4,。的面积之比为.ruAr17 . 如图，在 Rt/kABC 中，NBAC=9b , AO_L8c 于点。，。为 AC 边中点，*=2,连接B0交AD于F,作0E工0B爻BC边干点、E,则里的值=18 .将一个无盖正方体纸盒展开（如图），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张 是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图）.则所剪得的直角三角形较短的 与较长的直角边的比是.图图三,解答题（本大题共7小题，1

5、9-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，共78分）19 .计算：3tan3O° +cos600 -V2sin245°20 .已知在直角坐标系中，点A的坐标是（-3, 1）,将线段QA绕着点。顺时针旋转90°得到OB.(1)求点8的坐标：(2)求过A、B、。三点的抛物线的解析式；(3)设点8关于抛物线的对称轴L的对称点为C,求A8C的面积.21 .如图，在平行四边形A8CO中，过点、B作BELCD,垂足为E,连接AE, F为AE上一点，且N5/E=NC.(1)求证：AABFsAEAD；,求8尸的长.(计算结果保留根号)22 .已知：如图，ZkAB

6、C中，点E在中线A。上，NDEB= NABC.求证：(1) DB?=DE，DA:(2) ZDCE=ZDAC.23 .如图，ZkABC中，。为8C边上的一点，E在AD上，过点E作直线/分别和A3、AC两边交于点P和点。，且EP=EQ.(1)当点P和点8重合的时候，求证：笄=；UD jHlU(2)当P、。不与A、B、C三点重合时，求证：2AEIFAA24 .如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2o%点A、C分别在y轴和 负半轴和尤轴的正半轴上，抛物线)，=4+氏+<,(4手0)经过的A、B,且12a+5c=0.(1)求抛物线的解析式：(2)若点P由点A开始边以2c?/s的速

7、度向点B移动，同时点。由点3开始沿8。边 以lc”s的速度向点C移动.当一点到达终点时，另一点也停止运动.当移动开始后第/秒时，设5=尸。2 (cm),试写出s与/之间的函数关系式，并写出 ，的取值范围.当，取何值时，S取得最小值？此时在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由.25 .已知：在RtZkABC中，ZC=90° , AC=4, NA=60° , CO是边AB上的中线，直线BM/AC, E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F,将EDC沿CD翻折得DC,射线交直线5M于点G.(1

8、)如图1,当/时，求BF的值:(2)如图2,当点G在点尸的右侧时：求证：BDFsBGD；设AE=x, 。尸G的面积为y,求关于X的函数解析式，并写出X的取值范围：(3)如果OFG的面积为求AE的长.参考答案一,选择题（本大题共有6题，每题4分，共24分）1.已知线段。、从c,求作第四比例线段x,则以下正确的作图是（）a xc a【分析】根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选 项图形列出比例式即可得解.解：线段X为线段“、6C的第四比例线段，g=£*'b y：,正确的作图是8；故选：B.C2, MND-需ON DN OM CM DNAB-DA, A

9、B-CBr DA2.如图，在梯形A8CQ中，AB/CD,过0的支线MNCD,则看*【分析】先得到MNAB,利用平行线分线段成比例定理得到=瞿，则可判断ON=OM,再证明AONs/viC。得到瞿=郎，证明COMs4CA8得到瞿=条），把两式相加后利用等式的性质可得到春金=亮. Ad LAAd LU MW解：,:ABCD, MN/CD,:.mn/ab9-ON/AB. OM/AB,.叽圆ON = CN而证，AB-CB，.DN = CM DA - CB',ON = OM一皿一皿，:ON=OM,-ON/CD,：.XNONsXACD,史=改介,CD:, XCOMs XCXB,.ONAB+喀却，破C

10、D AB故选：B.3 .如图，在ABC中,。、E分别在AB、AC上，DE/BC, EFCD交AB干F,那么下DF.AF . DB DFD.空理CD BC【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各 选项分析判断后利用排除法求解.解：A、VEF/7CD, DE/BC,.AF JE也理,市记而隹,CEWAC,.素#11故本答案错误；B、:DE/BC, EF/CD,嗡AEK喘喘 杷一AcAFAD- : AD*DF,嗡卢祟故本答案错误；C、VEF/7CD, DE/BC,.AF JE AE 二 AD"DF -EC，EC -BD，.AF JDDF -BD'

11、TAD 手 DF, 嗡喘故本答案错误；。、: DEBC, EF/CD,.理典里迪 瓦随CD 黑普，故本答案正确.LzU DU故选：D.4.已知点E、F分别在ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A.若八4环 与ZkABC 相似，5!'） EF/BCB.若 AEXBE=AFXFC,则ZUE/与 A4BC 相似C.若墨嗡，则AEF与ABC相似D.若AFBE=AE- FC,则尸与ABC相似【分析】根据三角形相似的判定定理判断即可.解：选项A错误，AE/与ABC相似，可能是NAEF=NC,推不出七/8c选项8错误，由AEXBE=AFXFC,推不出与ABC相似.选项C错误，由黑熹，推不出

12、AEF与ABC相似.Ad du选项。正确.理由：BE=AE- FC,.岖=处班京:.ef/bc9：.AAEFsMBC.故选：D.A. |ka|=k | a |B. a。为单位向量，«1b = | b |" a0C.平面内向量之、W，总存在实数“吏得向量D.若a 二 m十口，m " a , n " a?，则it、n就是a在叼、a2方向上的分向量【分析】根据平面向量的性质一一判断即可.解：解吗=女4正确.B、“Q为单位向量，则E=%la0,错误，应该是己=±后,&0C、平面内向量之、W，总存在实数，使得向量=，之，错误，因为W与W不一定是平

13、行 向量.。、若a 二 m十口，m” a, n" a?,则it、n就是a在&i、a?方向上的分向量，错误， 也可能是在1、a2反方向上的分向量.故选：A.6.如图，在直角梯形力BCD 中，DC/AB, ZDAB=90° , AC±BC9 AC=BC, NABC 的【分析】作皿居于点G,由AE/FG,得喘啜，求出D.V2RtABGFRtABCF,再由求解.解：作EGLAB于点G,V ZDAB=90° ,：.AE/FG9.BF_=BG而一盛-ac±bc9：.ZACB = 90° ,又BE是NA8C的平分线,:.FG=FC,在 Rt

14、ABGF 和 RtABCF 中，/BF=BF< CF=GFARtABGFRtABCF (HL),:CB=GB,VAC=BC,:.ab=6bc,.BF_BGBCA ZCBA=45° ,=收1. , EF - GA 亚C-BC 一直-1 故选：c.DE二,填空题（本大题共有12题，每题4分，共48分）7.若乜"哈，那么T-的值为a J a+b国 一百2【分析】根据已知得出=年"，再代入要求的式子进行计算即可得出答案.a - 3/.=2 =：a+b a +ya 5故答案为：!.58.计算：tanl50 tan450 tan75° = 1【分析】直接利用锐

15、角三角函数关系以及特殊角的三角函数值代入得出答案.解：原式=tanl50 tan750 tan450= 1X1=1.故答案为：L9.若3是与非零向量之反向的单位向量，那么:=一口1 器.【分析】根据向量的几何意义填空即可.解：若a0是与非零向量且反向的单位向量，那么a= T &卜a 0, 故答案为一百.10.如图，在A3C中，BC=6, G是4ABC的重心,过G作边8c的平行线交AC于点儿 则GH的K为2 .【分析】连接AG,并延长AG交8C于。：根据重心的性质知：D是BC中点、,且AG:AD=2: 3：可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CO的长求出G4的值.解：如图，

16、连接AG,并延长AG交8C于。： 1G是AABC的重心，：.AG: GO=2: 3,且。是 8c 的中点； : GH/BC,.GH_AG_2 而_而一百；.：CD=BC=3,：.GH=2.11 .二次函数），=，*-3升屏-“的图象经过原点，则。=1.【分析】将（0, 0）代入二次函数的解析式即可求出的值.解：将（0, 0）代入3犬+d-4,，0 =。2-4,4 = 0 （舍去）或 4=1,故答案为：1.12 .若过O。内一点M的最长弦为10,最短弦为6,则0M的长为4.【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出.解：由已知可知，最长的弦是过M的直径A8,最短的是垂直平分直径的弦C。，已知 A8=

17、10, CD=6,则。=5, A）=3,由勾股定理得OM=4.故答案为：4.13 .已知O。的半径为13,弦A8=24, CD=10,且A3CD,则弦AB与CO之间的距离 为7或17 .【分析】分两种情况进行讨论：弦月8和C。在圆心同侧：弦A3和CD在圆心异侧: 作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.解：当弦A8和CO在圆心同侧时，如图1,VAB = 24, CD=10,：.AE= 29 CF=5,VOA = OC=13,：.EO=59。尸=12,AEF=12-5 = 7；当弦A8和CD在圆心异侧时，如图2,VAB=24, CD=10t；.AE=129 CF=59OA = OC=1

18、3,：.EO=59 OF= 2f：.EF=OF+OE=1.：.AB与CO之间的距离为7或17.故答案为7或17.14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段A8上离中心M处5米的地方，桥的高度是156（r取3.14）.c【分析】根据题意假设解析式为y=4/+以+J用待定系数法求出解析式.然后把自变量 的值代人求解对应函数值即可.解：设抛物线的方程为y=ax1bx+c已知抛物线经过(0, 16) , (-20, 0) , (20, 0),16k故可得 0=400a-20b+c,0=400a+20b+c可得=一白，=0,。=16,故解析式为y= -义/+16, zb当

19、 x=5 时，y=5m.15 .小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，则路灯 灯泡距离地面的高度为4.5米.【分析】根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.解：结合题意画出图形得：，AADCsAAEB,.AC = AB丁小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，：.AC=29 BC=3, CD=1.8,2=巨 L8 BE，解得：BE=4.5,故答案为：4.5.16.如图，aABC中，BC=5, AC=3, ABC绕着C点旋转到ZW B/ C的位置，那么ABB'。与AT。的面积之比为孕 .9 【分析】由旋转

20、的性质可得AC=C7T, 8c=C8, N8C8'=NACA',可证ACA's/bcb， 由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.解：A3C绕着C点旋转到AV 夕C的位造,：.AC=CA BC=CB NBCB，=NACA', BC B' C*'AC 飞 C)/. AGTs/c夕，.sabbz c _(BC),= 25,AA，C AC 9故答案为：华.917.如图，在RtZA8C中，N3AC=9(T , AO_L3C于点。，。为AC边中点，当 =2,连 ABOF接BO交AD于F,作OE工OB交BC边干点、E,则走的值=2 .UEB【分析】先证明

21、N8AE=NC, NABF=NCOE,作。_LAC,交BC于H,易证：40EH 和。州 相似，可得弟黑，由三角形中位线定理可得。=±乂优oa=oc=ac9 即可求解.解：:ADLBC, AZDAC+ZC=90° .V ZBAC=90° ,：.ZBAF=ZC.TOE 上 OB,，N8OA+NCOE=9(T ,V ZBOA+ZABF=90Q ,A NABF=NCOE.过。作AC的垂线交3C于H, 0>1 OH/AB,： NABF=NCOE, NBAF=NC.：.NAFB=NOEC,NAFO=NHEO,而 NBAF= zc,:.NFAOjEHO,:.OEHsOFA

22、,.pF JA*e0E W又。为4c的中点,OH/AB.：.0H为aABC的中位线，;.OH=±AB, oa = oc=-ac9.PA ,oh-2, 喘=2， 故答案为:2.18 .将一个无盖正方体纸盒展开（如图），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张 是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图）.则所剪得的直角三角形较短的 与较长的直角边的比是1： 2 .【分析】本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答.解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体梗长的一半，而较长的直角边 正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1： 2.三.解答题（本

23、大题共7小题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，共78 分）19 .计算：3tan3O° +cos600 -心2sin?45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案.解：原式=3X号符- J1+2X （尊）2=陋+-心13=2-20.已知在直角坐标系中，点A的坐标是（-3, 1）,将线段04绕着点。顺时针旋转90。得到OB.（1）求点8的坐标；（2）求过A、B、。三点的抛物线的解析式：（3）设点8关于抛物线的对称轴L的对称点为C,束ABC的面积.【分析】（1）本题可通过构建全等三角形来求解.过点A作月H_Lx轴，过点8

24、作8MLy轴，根据旋转的性质可知：OA = O8,而NMO8与NA。都是NAOM的余角，因此 两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么。H=OM, AH=BM9由此可得出3点坐标.(2)根据求出的3点坐标以及已知的A、。的坐标即可用待定系数法求抛物线的解析式.(3)先根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴及C点坐标，即可得出的长，求三 角形A8C的面积时，可以8c为底，以A、8纵坐标差的绝对值为高来求解.解：(1)过点A作轴，过点8作轴，由题意得 0A = 08, 4A0H=4B0M,：.A0HMB0MTA的坐标是(-3, 1),；.AH=BM=1, OH=OM=3.3点坐标为(1, 3)(2

25、)设抛物线的解析式为y=aF+x+ca+b+c=3则9a-3b+e=1.c=05a=7得普c-0，抛物线的解析式为y=r-r-rv1 Q(3)对称轴为工=-者，C的坐标为(-芈，3)5 .Sa/isc 80 hue- X (1+ -) X2.22BBr2y 3一-H021.如图，在平行四边形ABC。中，过点、B作BELCD,垂足为E,连接AE,尸为AE上一点，且 NBFE=NC(1)求证：AABPsAEAD；(2)若AD=3, NBAE=30° ,求BF的长.(计算结果保留根号)二 DEC【分析】(1)可通过证明N8AE=NAE。，NAFB=ND,证得AAB/s/EX。：(2)根据平

26、行线的性质得到8E_LA& 根据三角函数的定义得到tanN8AE=3X, EA 2根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：在平行四边形A5CD中，VZD+ZC= 180° , AB/CD,：.NBAF=NAED.: NAFB+NBFE=180。, ZD+ZC= 180° , NBFE=NC,：.NAFB=N。，：.AABFAEAD;(2)解：V BEX CD, AB/CD,：.BE±AB.：.ZABE=90° .在 Rt/kABE 中，ZBAE=3O° ,/. tanZ5AEABEA - 2 '由(1)知，ABFs

27、AEAD, AB JF"AD，VAD=3,B22 .已知：如图，ZUBC中，点E在中线月。上，NDEB=NABC.求证：（1） DB?=DE D4:（2） ZDCE=ZDAC.【分析】（1）根据已知可证8OEsZD4B,得到坐朵，即证3。2=4。DE. BD AD（2）在（1）的基础上，因为CD=BD,可证祟二黑，即可证OECs/DCA,得到N Uii UJDCE=DAC.【解答】证明：（1）在8。七和D48中： NDEB=NABC, NBDE=NADB, （1 分）:ABDEsAADB, （1 分）.DE JD'BD "AD（1分）：.BD1=AD- DE. （1

28、 分）（2）;A。是中线,：.CD=BD,：.CD2=AD DE,史也（1分）*DE-CD,（刀）又 NAOC=NCOE, （1 分）AADECADCA, （1 分）:.NDCE=NDAC.（1 分）23 .如图，ZVWC中，。为BC边上的一点，七在月。上，过点上作直线/分别和AB、AC两边交于点P和点0,且EP=EQ.(1)当点P和点5重合的时候，求证：器二等； CD AU(2)当P、。不与A、B、C三点重合时，求证：邛.Ad AC AUffn AF可得BD=FQ, EF=DE,通过证明AEQs/a。，可得器嗡，即可得结论;UU /tlU(2)过点。作。尸8c交AD于F,过点P作PHBC交A

29、D于H,由相似三角形的性质可得襄熹卷，可得ph=fq, ef=he,由相似三角形的性质可得粤塔 rrl UH rEAL AU崇端即可得结论.【解答】证明：(1)如图，过点。作QFBC交AD于F,:ZQEsADPE,.QF _QE = EF *BD -EP-DE，大.；QE=EP,:.BD=FQ, EF=DE,-QF/CD,AEQs/viOC,.FQ _ AF“CD.BD。#+AD CD 二 AD ，.BC 2AE,*CD 一 AD ：(2)如图，过点。作。尸8c交AO于匕 过点尸作尸H8。交AO于,:AFQEsHPE, .PQ JF_JQ 丽F, 3QE=EP,:PH=FQ, EF=HE, :

30、FQ/BC,.AQ JF ,瓦而 : PH/BC,：.AAPHsAABD,.AP JH 怎而.AP AQ = AF AH =AF+AF+2EF 2AE融工/下一_而.24.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形0ABe的边长为2c%点A、C分别在y轴和 负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=a+x+c (4手0)经过的A、B,且12a+5c=0.(1)求抛物线的解析式：(2)若点尸由点A开始边以2cMs的速度向点B移动，同时点。由点8开始沿8c边 以lc1/s的速度向点C移动.当一点到达终点时，另一点也停止运动.当移动开始后第1秒时，设5=2。2 (0)，试写出S与1之间的函数关系式，并写出，的取

31、值范围.当，取何值时，S取得最小值？此时在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据已知条件，结合正方形的性质求出A、5点的坐标，利用待定系数法可求解：(2)用，表示出尸8、3Q的长，利用勾股定理建立起它们之间的关系；利用中关系式，根据二次函数的性质求出S取最小值时的t的取值，计算出PB、8。的长，然后分三种情况讨论利用平行四边形的性质可求解.解：(1)据题意知：A (0, -2) , B (2, -2),VA点在抛物线上，c= - 2,V12z/+5c=0t6由AB = 2知抛物线的对称轴为：x

32、=l,即：- TT"= 1 .E H二抛物线的解析式为：y=¥2 - -X- 2； 63(2)由图象知：PB=2-2t, BQ=t,：.S=PQ2=PB2+BQ2= (2-21) 2+f,即 S=55-8什4 (OW/WD ：假设存在点R,可构成以尸、B、R、。为顶点的平行四边形,VS=5？ - 8z+4 (OWrWD ,，S=5 ("当 2造(0WW1),44二当f=春时,S取得最小值去 5Q这时 P8=2-三=0.4, 80=0.8, P (1.6, - 2) ,。(2, - 1.2), 5分情况讨论：若P8与尸。为边，这时QR=PB=0,4, QR/PB,则

33、：R的坐标为(2.4, - 1.2),代入三l2,左右两边相等, 63.这时存在R (2.4, - 1.2)满足题意；若PB与QB为迎,这时PR=QB, PR = QB=08,则：R的坐标为(1.6, - 1.2),E H代入尸为2-3-2,左右两边不相等，R不在抛物线上； 63若P。与。8为边，这时刊?=。民PR/QB,则：R的坐标为(1.6, -2.8),代入产区2-&-2,左右不相等，R不在抛物线上.63综上所述，存在一点R (2.4, - 1.2)满足题意.25.已知：在RtZkABC中，ZC=90° , AC=4, ZA=60° , CO是边AB上的中线，

34、直线 BM/AC, E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F,将EDC沿CD翻折得星 DC,射线。昭交直线80于点G.(1)如图1,当CO_LE/时，求BF的值;(2)如图2,当点G在点尸的右侧时：求证：BDFs/XBGD;设AE=x, ZXOFG的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围：(3)如果OEG的面积为求AE的长.【分析】(1)由NAC8=90° , AD=BD,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD =AD=BD9再由NB4C=60。，得到三角形AOC为等边三角形，由AC的长求出A。与 BD的长,同时求出NABC=30° ,由8M与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到 NM8C= NAC8=90° ,再由CD垂直于EF,得到NCOE和NCDE都为直角，在直角 三角形EOC中，求出NOEC为30° ,利用两直线平行内错角相等可得出N8”也为30° , 而由NCDE- NCD4求出NED4为30°，利用对顶角相等得到N8O/为30。，即N8&) = NBDF,利用等角对等边可得出8。=85，由8。的长即可求出8尸的长；(2)当点G在点尸的右侧时，如图2所示，由翻折，得N口 CD=ZACD=60° , 得到一对内错角相等