人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练(含答案)

1、人教版数学八年级下册第 17章勾股定理专题培优训练（含答案）一.选择题（共11小题）225、289,则字母A所代表的正方形的面积为（1.如图，两个较大正方形的面积分别为A . 30 cmB. 80 cmC. 161800cm2,则斜边长为C. 90 cm3.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A. 3 , 4 , 5B .-y-） C：-C. 9, 41, 40345D. 64)D. 120 cmD. 2, 3, 44.如图：a, b, c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,则下列结论正确的是（C. a+b= c5 . 4ABC中，AB = AC = 5, BC=8,点P是BC边

2、上的动点，过点 P作PDAB于点D,PEAC于点E,贝U PD + PE的长是（）A. 4.8B, 4.8 或 3.8C. 3.8D. 56 .若直角三角形的两条直角边长为a, b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有（）A . ab=h2B.工二二a b hC. -：=-D. a2+ b2= 2h2a V h7 .在 ABC 中，若 a= n2- 1, b=2n, c=n2+1,则4 ABC 是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.直角三角形8 .有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形, 其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生

3、长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长” 了 2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（C. 2010D. 19 .我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（10 .如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面 2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）。了米A. 2.7 米B. 2.5 米C. 2 米D. 1.8 米11 .如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B与墙角C距离为1.5米

4、，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米.13.如图，在等边 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AB上，且 DE/AC ,过点E作EF，14.已知：如图，四边形 ABDC, AB = 4, AC =3, CD=12, BD=13, /BAC=90° .则四15.如图所示的一块地，已知AD = 4米，CD=3米，Z ADC = 90° , AB=13米，BC= 1216.如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中,A . 0.5.填空题（共6小题）12.点 P ( 5,2DE,交CB的延长线于点 F.若

5、BD = 5,则EF =边形ABDC的面积是米，这块地的面积为则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米.B. 1C. 1.5D. 212）到原点的距离是，一17 .如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2,其中四边形 ABCD和四边形EFGH都是正方形，AABF、 BCG、 CDH> DAE是四个全等的直角三角形.若 EF = 2, DE = 8,则 AB的长为.却三.解答题(共7小题)18 .如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米,求绿地ABCD的面积.19 .中国古代数学家们对于勾股定理

6、的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图” .Rt ABC中，/ ACB = 90° ,若AC=b, BC=a,请你利用这个图形解决下列问题：(1)试说明 a2+b2=c2;(2)如果大正方形的面积是 10,小正方形的面积是 2,求(a+b) 2的值.20 .如图，将 RtABC绕其锐角顶点 A旋车9 90°得到RtAADE ,连接BE,延长 DE、BC 相交于点F,则有/ BFE = 90° ,且四边形 ACFD是一个正方形.(1)判断 ABE的形状，并证明你的结论；(2)用含b代

7、数式表示四边形 ABFE的面积；(3)求证：a2+b2=c2.D21 .我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5; 5、12、13; 7、24、25; 9、40、41;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ;(2)若第一个数用字母 n (n为奇数，且n>3)表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和，请用所学知识说明它们是一组勾股数.22 .如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙船每23

8、.如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m,它们都要到 A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的7也塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再与生缆绳 DA线段，t到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设 BD为xm.(1)请用含有x的整式表示线段 AD的长为 m；(2)求这棵树高有多少米？D24 .如图 1, 4ABC 中，CD± AB 于 D,且 BD : AD: CD = 2: 3: 4,(1)试说明 ABC是等腰三角形；(2)已知SAABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段 BA向 点A运动，同时动点 N从点A出发以相同

9、速度沿线段 AC向点C运动，当其中一点到达 终点时整个运动都停止.设点 M运动的时间为t (秒)，若4DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点 M运动的过程中， MDE能否成为等腰三角形？若 能，求出t的值；若不能，请说明理由.参考答案.选择题（共11小题）【解答】解：二正方形 PQED的面积等于225,225、289,则字母A所代表的正方形的面积为C. 16D. 64.即 PQ2=225,正方形 PRGF的面积为289,PR2 =289,又4PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2,.-.qr2=PR2- PQ2= 289 - 225=64,则正方形QM

10、NR的面积为64.故选：D.2.已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）A. 30 cmB. 80 cmC. 90 cmD. 120 cm【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm, bcm,斜边为ccm,根据勾股定理得：a2+b2 = c2,-a2+b2+c2= 1800,-2c2= 1800,即 c2=900,贝U c= 30cm.3 .下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（A.32,42,52B.工，-L,C-C.9,41, 40 D. 2,3,434 5【解答】解：A 92+162*252,故不是直角三角形，故不符合题意；B、（-）2+ （工）2w （_

11、） 2,故不是直角三角形，故不符合题意；345C、92+402=412,故是直角三角形，故符合题意；D、22+3242,故不是直角三角形，故不符合题意.则下列结论正确的是（4 .如图：a, b, c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,C. a+b= c【解答】解：: a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积, .a = AC2, b=BC2, c=AB2.又.在直角 ABC 中，AC2+BC2=AB2.a+b = c.故选：C.P作PDAB于点D,D. 55 . ABC中，AB = AC = 5, BC=8,点P是BC边上的动点，过点PEAC于点E,贝U PD + PE的长是（

12、）A. 4.8B, 4.8 或 3.8C. 3.8【解答】解：过 A点作AFXBC于F,连结AP,. ABC 中，AB=AC=5, BC = 8,BF = 4, .ABF 中，AF=7aB2-BF2=3,._X 8X 3=_Lx 5X PD+-Lx5XPE,22212 = X 5X (PD + PE)2PD+PE= 4.8.故选：A.B P FC6.若直角三角形的两条直角边长为a, b,斜边长为A . ab=h2B.C 2da 匕 h【解答】解：= ab=ch22.=曲c,斜边上的高为h,则有（）且十b ha2+b2=2h222,2 Tb1h2.故选C.7.在 ABC中，若a= n2T, b=

13、2n, c=n2+i,则 ABC 是()A .锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形n21) 2+ (2n) 2= ( n2+1) 2,，三角形为直角三角形,8.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形,其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图,如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长” 了 2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（C. 2010D.【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a, b, c.根据勾股定理，得a2+b2= c2,即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形 C的面

14、积=1 .2010 X 1 =2010.推而广之，“生长” 了 2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 故选：C.9.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是，整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;22B、1.1 4x ab+c = ( a+b),.整理得：a2+b2 = c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;2 = c2,，整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意;10.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米

15、，顶端距离地面 2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）0.7米A. 2.7 米B. 2.5 米C. 2 米【解答】解：由题意可得：AD2= 0.72+2.42= 6.25,在 RtAABC 中，/ABC=90° , BC=1.5 米，BC2+AB2=AC2,D. 1.8 米. AB2+1.52=6.25,. . AB=± 2,AB>0, . AB=2 米，小巷的宽度为 0.7+2 = 2.7 (米).11 .如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在

16、 DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米.C. 1.5D. 2【解答】解：在RtAABC中，AB = 2.5米，BC = 1.5米，故AC=,皿2 一2刃2 5之-52=2米,在 RtAECD 中，AB=DE = 2.5 米，CD = (1.5+0.5)米，故 EC =加12 y 2S2-/=1.5 米，故 AE = AC - CE =2 1.5= 0.5 米.故选：A.二.填空题(共6小题)12 .点P ( - 5, 12)到原点的距离是13 .【解答】解：二点 P ( 5, 12),点P到原点的距离= a/52 + 122= 13.故答案为：13.13 .如图，在等边

17、 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AB上，且 DE/AC ,过点E作EF， DE,交CB的延长线于点F,若BD = 5,则EF2= 75 .B D C【解答】解：. ABC是等边三角形,C=60° , DE / AC, ./ EDB = Z C= 60° , EFXDE, ./ F=90° / EDB = 30° , . / ABC=60° , / EDB = 60° , . EDB是等边三角形.ED= BD=5, . / DEF = 90° , / F = 30° ,DF= 2DE = 10,EF2= DF2

18、- DE2=75.故答案为：75.则四14,已知：如图，四边形 ABDC, AB = 4, AC =3, CD=12, BD=13, /BAC=90°边形ABDC的面积是 36. / A=90° , AB=4, AC=3BC= 5, . BC=5, BD=13, CD = 12 bc2+cd2=bd2 . BCD是直角三角形 S 四边形 ABCD= Sabcd+ Saabc = x 4 X 3+zj- X 5 X 12 = 36 ,故答案为：36BC= 1215 .如图所示的一块地，已知AD = 4米，CD=3米，Z ADC = 90° , AB=13米,米，这块

19、地的面积为24m2 .【解答】解：如图，连接 AC由勾股定理可知AC=VAD2+fD 2= 742+32 = 5，又 AC2+BC2= 52+122= 132 = AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积= ABC的面积- ACD的面积=5X 2 -3X 4 = 24 (m2).16 .如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米.【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形,，勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+g2=10cm,，筷子露在杯子外面的长度至少为12- 10= 2cm,17

20、.如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2,其中四边形 ABCD和四边形EFGH都是正方形，AABF、 BCG、 CDH> DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2, DE = 8,则AB的长为10【解答】解：依题意知,BG = AF=DE=8, EF=FG = 2BF= BG - BF = 6,直角 ABF 中，利用勾股定理得： AB =jI 8+6 = IO ,故答案是：10.18.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米,DA长7米，/C=90° ,求绿地 ABCD的面积

21、.三.解答题（共7小题）/C=90° , BC= 15 米,CD=20 米,1BD = A.|lEC：2<D2=V152-b2 02=25 （米）；在 4ABD 中，.BD=25 米，AB = 24 米，DA = 7 米,242+72 = 252,即 AB2+DA2=BD2,.ABD是直角三角形.S 四边形 ABCD= SaABD+ SaBCD= AB?AD+BC?CD22=_X 24X 7+_Lx 15X2022= 84+150= 234 （平方米）；即绿地ABCD的面积为234平方米.19 .中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位,Rt

22、体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图” ABC中，/ ACB = 90° ,若AC=b, BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:(1)试说明 a2+b2=c2;（2）如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是 2,求（a+b） 2的值.【解答】解：（1） ;大正方形面积为C2,直角三角形面积为 ab,小正方形面积为（2a)2,2,c2=4X-i-ab+ (a - b)2= 2ab+a2- 2ab+b2 即 c2 = a2+b2.；（2）由图可知，（b-a）2=2, 4X畀=10- 2=8,-2ab=8,(a+b) 2= (b-a) 2+4ab=2

23、+2x 8= 18.BC20 .如图，将 RtABC绕其锐角顶点 A旋车9 90°得到RtAADE ,连接BE,延长 DE、 相交于点F,则有/ BFE = 90° ,且四边形 ACFD是一个正方形.(1)判断 ABE的形状，并证明你的结论；(2)用含b代数式表示四边形 ABFE的面积;(3)求证：a2+b2=c2.【解答】(1) ABE是等腰直角三角形，证明：: Rt ABC绕其锐角顶点 A旋转90°得到在RtAADE, ./ BAC=Z DAE, ./ BAE=Z BAC + ZCAE = Z CAE+Z DAE = 90° ,又 AB= AE,AB

24、E是等腰直角三角形；(2)二四边形 ABFE的面积等于正方形 ACFD面积, 四边形ABFE的面积等于：b2.(3) ; S 正方形 ACFD= Sa BAE+ Sa BFE即：b2=lc24(b+a) (b a),整理：2b2 = c2 + (b+a) (b-a)a2+b2 = c2.21 .我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5;5、12、13;7、24、25; 9、40、41;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11, 60, 61 ;(2)若第一个数用字母 n (n为奇数，且n>3)表示，那么后两

25、个数用含 n的代数式分别表示为请用所学知识说明它们是一组勾股数.【解答】解：(1) 11, 60, 61;(2)后两个数表示为2 i门-一L和.2门'+12'2）一 4'2产2-八22 n*-2口、+1 r/+2n。!n一口 14又; n>3,且n为奇数,2x1，由n,UL三个数组成的数是勾股数.2故答案为：11, 60, 61.22 .如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙船每小时航行多少海里?【解答】解：.甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航

26、行,AO± BO,.甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时,.OB= 16X 1.5=24 海里,AB=30 海里，在 RtAOB 中，ao = 7aB2-0B2=a/3 02-242 = 185，乙轮船每小时航行 18 + 1.5 = 12海里.23 .如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m,它们都要到 A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的7也塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再与生缆绳 DA线段，t到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.(1)请用含有x的整式表示线段 AD的长为 15x m；(2)求这棵树高有多少米?D【解答】解：(1)设BD为x米，且存在BD + DA=BC+CA,即 BD+DA = 15, DA= 15- x,故答案为：15-x;(2) . / C = 90°. . AD2= AC2+DC2(15- x) 2= ( x+5)