均值不等式优秀课件

1、 惜时惜时 勤奋勤奋 敬师敬师1 高二高二数学数学上册必修五上册必修五（人教人教B版版） 均值不等式均值不等式a + bab.2 沈阳市第二十二中学沈阳市第二十二中学 张海丽张海丽.2【教学目标教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“”取等号的条件；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。【教学重点教学重点】应用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索均值不等式的证过程。【教学难点教学难点】理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。.3新课导入新课导入ICM2002会标会标如图

2、，这是在北京召开的第如图，这是在北京召开的第2222届国际数学家大会标会届国际数学家大会标会标根据中国三国时期吴国的标根据中国三国时期吴国的数学家数学家赵爽赵爽的弦图设计的，的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情个风车，代表中国人民热情好客。好客。思考：思考：你能否在这个图案中找你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？出一些相等关系或不等关系？.4探究探究 实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个拼成上面那个“风车风车”图案图案. .赵爽弦图 从图形的从图形的面积面积的角度你能找不一些

3、不等关系吗？的角度你能找不一些不等关系吗？.5ab22ba 问问1 1：正方形ABCD面积为S=问问2 2：四个全等直角三角形的面积的和是S=22ab2ab问问3 3：S与S有什么样的关系？ 从图形中易得，s s,即2 22 2a a + +b b 2 2a ab b问题问题4:4:S S, S有相等的情况吗？何时相等？探究探究.6abu形的角度形的角度图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 2222a +b = 2aba +b = 2abu数的角度数的角度 当a=b时a2+b22ab=(ab)2=0探究探究因 此2 22 2a a+ + b b

4、2 2 a a b b问题问题5 5：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 都成立吗？都成立吗？2 22 2a a + +b b2 2a ab b222a +b -2ab = (a-b)0.7思考：思考：（1）该结论成立的条件是什么）该结论成立的条件是什么 ？（2）公式中等号成立的条件是什么？）公式中等号成立的条件是什么？, a bRab思考：思考：a0,b0,ab,如果我们用去代替 和 可得到什么结论？a a, , b b探究探究)(.2,22”时取“当且仅当那么如果 baabbaRba重要不等式重要不等式.8()当且仅当时取等号ab .2,abbaRba则，若猜测：猜测：能否利用

5、不等式的性质，证明这个不等式呢？能否利用不等式的性质，证明这个不等式呢？ 思考：思考：探究探究.9如左图示：圆O内有内接ABD，AB为直径，DC垂直于AB，其中AC= a, BC=b,则（1）圆半径OA是多少？ （2）半弦长CD为多少？（3）OA与CD关系如何？2baOAabCD ab根据圆的性质，我们知道：半径不小于半弦abba2从而得到：ab2ba 探究探究ABDCEO算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数.10两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数它们的它们的几何平均数几何平均数. .均值不等式均值不等式新课新课时取等号）（当且仅当，则基本不等式：若baabbaRba 2,几何平均数

6、几何平均数算术平均数算术平均数(0,0)2a babab.11（1）如果）如果abP（定值定值），那么），那么 a+b有最有最_值值_ (当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果abS （定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_ (当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.p2241S小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正一正二定二定三相等三相等a=ba=bb时取等号)(当且仅当a2)2ba(及abab2b则a,Rb若a,a a与与b b为正实数为正实数和或积有一个为定值和或积有一个为定值若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能够相等必须能够相等求

7、和造积定，积定和最小求和造积定，积定和最小求积造和定，和定积最大求积造和定，和定积最大最值定理最值定理 思考思考.124(1 )0已已 知知求求的的 最最 值值xxx 44:24xxxx 解解21( 2 ),12xx 已已 知知时时求求的的 最最 小小 值值22:1212,xxx 解解22 .x 其其 最最 小小 值值 为为4( 3 )3 ,xxx 已已 知知求求的的 最最 小小 值值44:24 ,xxxx 解解判断应用的均值不等式是否正确，不正确的原因。例题讲解例题讲解不是正数不是正数不是定值不是定值不相等不相等七七字字方方针针一一正正二二定定三三相相等等.13例题讲解例题讲解;1, 0)2

8、(;1, 0) 1 (1的最大值求已知的最小值求已知：例xxxxxx求和造积定，积定和最小求和造积定，积定和最小abbaba2, 0, 0常用.14【基础知识梳理基础知识梳理】)0(21)0(21xxxxxx；基本不等式的常见变式及有关结论基本不等式的常见变式及有关结论2-2；异号同号推论：),_();,_(babaabbabaab例题讲解例题讲解abbaba2, 0, 0常用.156224)2(2xx224224)(xxxxxf的最大值。求若的最小值求若已知】【例)(, 2)2(;)(, 2) 1 (24)(2xfxxfxxxxf一正一正二定二定三相等三相等不定凑项不定凑项解：02, 2xx

9、6min)(44242xfxxxx时，时取等号。即当且仅当例题讲解例题讲解求和造积定求和造积定.16的最大值。求若的最小值求若已知】【例)(, 2)2(;)(, 2) 1 (24)(2xfxxfxxxxf例题讲解例题讲解求和造积定求和造积定abbaba2, 0, 0常用.17)0, 0()2(22babaabbaab题型一题型一 配凑法求最值配凑法求最值的最大值。求函数已知：【练习】)31 (,310 xxyx例题讲解例题讲解例例3、已知 ,求函数 的最大值.01 (1)xyxx 求积造和定求积造和定.182010,134（年 山 东 高 考 文 科 14题 )已 知 ,且 满 足， 则的最 大 值 为xyx yRxy3链接高考链接高考.191、本节课主要内容？、本节课主要内容？2 2、两个结论、两个结论: