偏微分方程数值解(2)课件

1、第十章第十章 偏微分方程数值解偏微分方程数值解一、典型的偏微分方程介绍一、典型的偏微分方程介绍1. 椭圆型方程椭圆型方程Dyxyxfyuxu),(),(222202222yuxuLaplace Poisson2. 抛物型方程抛物型方程热传导方程热传导方程 Lxttxfxuatu0,0),(22其中其中a是常数。它表示长度为是常数。它表示长度为L的细杆内，物体温度分布的规律的细杆内，物体温度分布的规律 土壤水运动方程：土壤水运动方程： zhKzhhKzthhc )()()(溶质运移方程：溶质运移方程： xCvxCDtC 2（水流稳态）（水流稳态）xqcxCvDxtcsh )(),()( （瞬态）

2、（瞬态）3双曲型方程双曲型方程Lxttxfxuatu0,0),(22222波动方程波动方程它表示长度为它表示长度为L L的弦振动的规律。的弦振动的规律。 二、定解问题二、定解问题决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做叫做定解条件定解条件 边界条件边界条件0)(),()(), 0(tttLuttu初始条件初始条件Lxxgxtuxfxu0)()0 ,()()0 ,( 计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，它既不能求导数，更不能解偏微分方程。如果想它既不能求导数，更不能解偏微分方程。如果想在计算机上求得微

3、分方程数值解，它的主要做法在计算机上求得微分方程数值解，它的主要做法是把偏微分方程中所有的偏导数分别用差商代替，是把偏微分方程中所有的偏导数分别用差商代替，从而得到一个代数方程组从而得到一个代数方程组差分方程组，然后差分方程组，然后对差分方程求解，并以所求的解作为偏微分方程对差分方程求解，并以所求的解作为偏微分方程数值解。数值解。10.1 差分法简介差分法简介对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，因此差分法亦称因此差分法亦称“网格法网格法”。0 xy 把整体分割成若干个单元来处理问题的方法在把整体分割成若干个单元来处理问题的方法在数学上称为数学上称为“

4、离散化方法离散化方法” 在结点上采用离散化方法（数值微分、数值积分、在结点上采用离散化方法（数值微分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于离散变量的相应问题，这个相应问题的解就是方程离散变量的相应问题，这个相应问题的解就是方程在点在点xi上的数值解上的数值解f(x)，或在点，或在点（xi , ti）上的数值解上的数值解U( xi , ti)。一般来说，不同的离散化导致不同的方法。一般来说，不同的离散化导致不同的方法。例：取一边长为例：取一边长为1 1的正方形均匀薄板，上下侧面绝的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四周保持恒温，求板内各点的稳

5、定温定分布。热，四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。u=0u=0yusinu=00 xy) 10, 10:(sin0011002222yxyuuuuyuxuuxyyxLaplace 方程第一边值问题方程第一边值问题222), 1(),(2), 1(hkiukiukiuxuik222) 1,(),(2) 1,(hkiukiukiuyuik),(,kiyyxukhihyxkiki记记u在这些点满足方程在这些点满足方程 02222ikikyuxu得到得到u (i, k)的近似的近似ui,k，所满足的线性代数方程组：，所满足的线性代数方程组： 0411,1, 1, 12ikkikikikiuuuu

6、uh其中其中 )3 , 2 , 1,(0400ikuuuiik3707. 0211707. 04sin; 4kkkkuk用迭代法来解方程组用迭代法来解方程组 1;1; 1; 141kikikikiikuuuuu)(1;)(1,)(; 1)(; 1)1(41nkinkinkinkinikuuuuu简单迭代法简单迭代法)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)1(41nkinkinkinkinikuuuuu高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法i=4i=3i=2i=1i=0k=000000k=10.70700.35400k=210.7500.250k=30.70700.35400k=400000表表10

7、.1000000.7070.4530.3540.151010.750.4270.2500.7070.4530.3540.151000000表表10.2i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4000000.7070.4530.2580.151010.583 0.4270.182 00.7070.453 0.2580.151000000表表10.3i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4000000.7070.4530.2580.151010.573 0.3860.182 00.7070.3810.2430.134000000表表10.4i=0i=1i=2i

8、=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题：用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题： 1 1选用网格，将微分方程离散化为差分方程。选用网格，将微分方程离散化为差分方程。2 2当网格步长当网格步长h 0时差分方程的准确解是否时差分方程的准确解是否 收敛于微分方程的解？收敛于微分方程的解？ 3 3如何解相应的代数方程组？如何解相应的代数方程组？ 10.2 椭圆型方程的差分解法椭圆型方程的差分解法 椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程02222yuxuu泊松方程泊松方程 ),(2222yxfyuxuu考虑泊松方程第一边值

9、问题：考虑泊松方程第一边值问题： ),(),( ),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuu( (一一) ) 矩形网格矩形网格 设设 为为xy平面上一有界区域平面上一有界区域，为其边界，为其边界，是分段光滑曲线。是分段光滑曲线。0 xy正则内点正则内点非正则内点非正则内点边界点边界点（二）（二）五点差分格式五点差分格式 现在假设现在假设（i，k）为正则内点。沿着为正则内点。沿着x，y轴方向分别用轴方向分别用二阶中心差商代替二阶中心差商代替uxx，uyy，则得则得ikkiikkikiikkiikhfhuuuhuuuu221,1,21, 1, 122若以若以uh，fh表示网函数表示网函数，记

10、记),(),(,),(kiikkihikkihyxffyxfuyxu则差分方程可简写成：则差分方程可简写成： hhhfu 利用利用Taylor展式展式 ), 1(),(),(! 6! 5! 4! 3! 2),(66615551444133312221, 1kikikixuhxuhxuhxuhxuhxuhuukiikikikikikikki),(),(), 1(! 6! 5! 4! 3! 2),(6661555144413331222121, 1kikikixuhxuhxuhxuhxuhxuhuukiikikikikikikki) 1,(),(),(! 6! 5! 4! 3! 2),(66625

11、55244423332222221,kikikiyuhyuhyuhyuhyuhyuhuukiikikikikikikki),(),() 1,(! 6! 5! 4! 3! 2),(6662555244423332222221,kikikiyuhyuhyuhyuhyuhyuhuukiikikikikikikki这四个式子两两相加便有：这四个式子两两相加便有： )(36012261664144212221, 1, 1hOxuhxuhxuhuuuikikikkiikki)(360122626642442222221,1,hOyuhyuhyuhuuuikikikkiikki于是可得差分方程的截断误差于是可得差分方程的截断误差 )()(121),(),()(24,44224421hOhOyuhxuhyxuyxuuRkikihkiik（三）（三）边值条件的处理边值条件的处理 以第一边值条件以第一边值条件 ),(yxu为例为例*h：非正则内点集合：非正则内点集合 h ：边界点集合边界点集合 （1）直接转移法直接转移法对对（xi, yk） ，用边界上距离这点最近的点的