偏导数与全微分(13)课件

1、第三节第三节 偏导数与全微分偏导数与全微分 偏导数偏导数 可微与偏导数存在之间的关系可微与偏导数存在之间的关系一一.偏导数偏导数（1）偏增量）偏增量);y,x( f)y, xx( fz0000 x ),(),(0000yxfyyxfzy0000(,)( ,)zf xx yyf x y 全增量 定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，当当 y固固定定在在 0y而而 x在在 0 x处处有有增增量量x 时时，相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在

2、在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对 x的的偏偏导导数数，记记为为 (2)偏导数的定义及其计算法同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 y的偏导数，的偏导数， 为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为),(00yxyz ，),(00yxyf ，),(00yxzy或或),(00yxfy. . ),(00yxxz ，),(00yxxf ，),(00yxzx或或),(00yxfx. 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那

3、那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. ）处的偏导数，在（：求例11)sin(1xyeyxz1)1, 1(xxyxyxezy(ye )yxsin(e )yxcos(z1 看看成成常常数数）将将：解解1)1, 1(yxyxyyezx(xe )yxsin(e )yxcos(z 看看成成常常数数）将将xe )1xsin()1,

4、x(z2 ：解解xxe )1xsin(e )1xcos(dx)1, x(dz 11xxxxee )1xsin(e )1xcos()1, 1(z ) 1 , 2(,arcsin) 1(),(22xfxyyxyxf求：例2x)1 , x( f 解解：yzxzRyxxxzy,1, 0(3），求，：例1yyxxz 解：解：4x2)1 , 2(f2xx xlnxyzy 的偏导数。：求例2224zyxr22222rxxxrxyz解： rzzr,ryyr 由对称性知由对称性知与连续性之间关系。）点的偏导数，在（：讨论例00000),(5222222yxyxyxxyyxf x)0 , 0( f)0 , x(

5、flim)0 , 0(f0 xx解解：）偏导数存在）偏导数存在，在（在（ 00)y, x( f0 x00lim0 x y)0 , 0( f)y, 0( flim)0 , 0(f0yy0y00lim0y 不不连连续续在在不不存存在在，)0 , 0()y, x( fyxxylim22)0,0()y ,x( ()、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数

6、中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，000000( , ),)()( ,)(, )()zf x yxyxyf x yf xyxxyy性质 在（处关于 或 的偏导数存在，则或在或处连续。注：注：Z=f(x,y)的偏导数存在与连续性的偏导数存在与连续性没有必然没有必然的联系的联系按某一方向连续(4)、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分全微分二、可微的条件二、可微的条件三、小结三、小结),(),(yx

7、fyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点 P),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z ， 即即

8、 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全增增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示为为)( oyBxAz ，其其中中BA,不不依依赖赖于于yx ,而而仅仅与与yx,有有关关，22)()(yx ，则则称称函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，yBxA 称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分，记记为为dz，即即 dz= =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在

9、D 内内可可微微分分.二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件） 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则 ;),(),()1(处连续处连续在点在点yxyxf 处的处的在点在点),(),()2(yxyxfz 偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在说明：说明：1)多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证 全全 微分存在

10、微分存在; 2)不连续一定不可微不连续一定不可微定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微

11、函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 x)0 , 0( f)0 , x( flim)0 , 0(f0 xx0 x00lim0 x 0y00lim0y 2222220( , )(0,0)00 xyxyxyf x yxy例1：讨论在处的可微性 y)0 , 0( f)y, 0( flim)0 , 0(f0yy解解：利利用用可可微微的的定定义义zy)0 , 0(fx)0 , 0(fzyx )0 , 0( f)y, x( f 22yxyx 22xky0 xyxyxlim ,k1k2 不存在不存在220y0 xyxyxlim 故故f(x,y)在在(0,0)不可微不可微22yx0y0

12、 xyxy)0 , 0(fx)0 , 0(fzlim 220y0 xyxyxlim 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 三三.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxf

13、yxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法

14、；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关、多元函数连续、可导、可微的关系系 （注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结4 、证明函数可微与不可微的方法、证明函数可微与不可微的方法的的偏偏导导数数在在点点求求)0 , 1(xyarctan)1x(exz. 1y2 zu,yu,xu,dteu. 6yzxzt2 求求)1 , 2(df,e)y, x( f. 2xy求求 课堂练习题)1 , 1 , 1(df,)yx()z ,y, x( f . 5z1求求 dzyz,xz,ez. 4)xysin(2，求求 yz,xz,yxlnz. 322 求求 函数函数),(y

15、xfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3

16、3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.练练 习习 题题二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内

17、高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.3