5、不等式解法1(整式、分式、根式)(20210311171103)

1、§ 不 等 式【一线名师精讲】基础知识串讲 解不等式的基本原则： 1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当 元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：基本类型不等式的解法：整式不，应等式解的解法(一)的解。(二)、分式不等式的解法标准形式： g(x) 0 ，或 g(x) 0。f (x) f(x) 解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将 分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负 可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以 下原则去分母：(三)、根式不等式的解法标准形式： f (x) g(x) ； f(x) g(x) ；(

2、 一 ) 、整式不等式的解法1、一元一次不等式标准形式： ax b 或 ax b(a 0) . 解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若以及 f (x) g(x) 。解法要点：解根式不等式的关键是去根号， 应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条a 0 则不等号要反向。2、一元二次不等式标准形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0 (其中 a 0 )。解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步 骤进行：(1)整形：将不等式化为标准形式。 (2)求根：求方程 ax2 bx c 0 的根。(3)写解：根据方程 ax2 bx c 0 根的情况 写出对应不等式的解集。当两根明确时，可

3、由“大 于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解， 当0时，则可由函数 y ax2 bx c 的草图写解。3、一元高次不等式(可分解因式型) 标准形式： a(x x1)(x x2) (x xn ) 0 或 a(x x1 )(x x2) (x xn ) 0 a 0 。解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便， 一般可按如下步骤进行：(1)整形：将不等式化为标准形式。(2)求根：求出对应方程的根。(3)穿根：将方程的根标在数轴上，用一条 曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数 重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回 来后继续穿根。即“奇过偶不过” 。(4)写解：数轴上方所对应曲线的区

4、间为 a(x x1)(x x2) (x xn) 0 的解，数轴下方所 对应曲线的区间为 a(x x1)(x x2) (x xn ) 0件这两大要点进行等价变换：g(x)0g(x) 0f (x) g(x)f (x)0或2f (x) 0f (x)g2(x)基本题型指要题型一：解不含参数的不等式例 1 】 解下列不等式或不等式组：1)2xx2 22)(x3)2 (x 2)(4 x) 03)2 x2x 22 x2(x 3)(1 x) 023 2x x2( 4) (x 1) x2 x 2 0( 1)思路导引 ：按规范化程序操作，化为标 准形式后求解，可以有效的防止错误。解析：将(x 3)(1 x) 0

5、化为标准形式 (x 3)(x 1) 0 ，易得： x 3 , 或x 1。由2x x2 2得 (x 1)2 1 0，所以 x R。 综上所述，原不等式组的解集为 x|x 3 ，或x 1 。(2)解析 ：由已知， (x 3)2(x 2)(x 4) 0， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为：误区警示 ：若不化为标准形式求解，易将解集 错写为 x| 2 x 4 。另外，建议将这类等式与不 等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉 x 3 这类解。3 )思路导引 ：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法 较好。2解析：将 x 2

6、x 2 x 化为标准形式，得：3 2x x22(x 2)(x2 x 1) 0 ，(x 3)(x 1) 0因 为 x2 x 1 0 恒 成 立 ， 所 以 ，数a，由于 a的范围不明，无法直接变形，若将 a 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类 中式子就能顺利变形了。解析 ：由已知， ax2。、当a0时，x2；a、当a0时，x2；a、当a0时，02 恒成立， x R 。故，原不等式解集当 a 0时为 x |x 2(x 2)(x 3)(x 1)0。用数轴穿根法易得原不等式的解集为：x| 1 x 2，或 x 3 。(4 )思路导引 ：解根式不等式关键是抓住乘 方的条件，对原不等式实施等价转换

7、，去除根号。解析 ：原不等式等价于：(x 1) x2 x 2 0 ( 1) 或 (x 1) x2 x 2 0 ( 2)由( 1)得： x x 2 0，解得 x 2 ； x10由( 2)得 x 2，或 x 1 。所以，原不等式的解集为 x|x 2，或x 1误区警示 ：请找出下面解法的错误：当 a 0 时为 x|x 2 ，当 a 0 时为 R 。a( 2)思路导引 ：解含参数的二次不等式通常 是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数 有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式有参 数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需 根据他们的大小关系分类讨论。本题中的不等式即 (x 1)(tx 2) 0

8、 ，在求解 过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方 项系数 t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根1 与 2 是否存在、谁大谁小。此时，同一字母 t 形 t由 x2 x 2 0 ，得 x 1 0 ，所以，原不等式的解为 x 1 。点评： 解等式与不等式的混合型不等式，最好 将等式与不等式分开求解，以避免错误。 题型二：解含参数的不等式不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因， 关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的 不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参 数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差 异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取 值范围或者予以分类讨论，才能顺利

9、的解出不等 式。【例 2】 解下列关于 x 的不等式：( 1 ) ax 2 0(2) tx2 2 (2 t)x(3) 3loga x 2 2loga x 1 (a 0,a 1)成了不同的分类， 可将 t 在 0、2 处分段统筹安排进 行分类(如图) 。解析： 原不等式即 (x 1)(tx当 t 0 时，可以化为 (x2)1)(0。tx2) 0 ，1)思路导引 ：本题在求解 x 时必须去除系易知 2 t或x 2t1 ，所以 2 x t当t当0 以 x R，且 x当t或 x 1。综上所述，x|2 x 11。0时，原不等式即t 2 时，易知 2t2 时，1。2 时，原不等式即2x0，所以1，可得2(

10、x 1)2易知 2 1 ，可得 x t原不等式的解集当；当 t 0 时，为x|xx 1，0 ，所0 时，为20 t 2时，为 x|x 1，或x 2t；当 t 2 时，2时，为为 x| x R，且x1 ； 当 t2x |x，或 x 1t。误区警示 ：本题易漏掉 t 0和t2 两种特殊情况的讨论。另外，在 t 0 时 ，解集易错为2x |x，或 x 1t。（3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。 若令logax t 进行换元，会使书写变得更简便。解析 ：按根式不等式的解题思路，易知原不等3loga x 式等价于 3log a x202 (2log a x

11、 1)(1)2 (2)2log a x10(3)由(1) 得 loga x2,3由(2) 得 loga x3,或 loga x 1,4由 (3) 得 log a x1.2.23由此得 2 loga x 3,或 loga x 1,34当 a 1时， 易求得原不 等式的解集为23x|a3x a 4 ，或 xa ；当0 a 1时，易求得原不等式的解集为32x|a4x a3 ，或 0x a 。误区警示 ：在乘方去除根号的过程中，要注意 不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保 证不等式的变形为等价变形。点评 ：从本例的解答过程可以看出，解含参数 的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式 中的参数

12、：一是由“参数是否影响不等式变形”来 确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是 怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分 类讨论。 题型三：已知不等式的解集求参数值（或范围）已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类 很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵 活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往 往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是 要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等 式”变化，试解原不等式； 二是利用已知的解集 （或 解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。 两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程 或不等式，从而求出它们的值（或范围） 。【例 3】

13、 已知不等式 ax2 bx 2 0（1）若不等式的解集为 （ 1,1），求 a b；23（2）若不等式的解集为 R，求 a、b 应满足的 条件。（ 1）思路导引 ：从解集的形式可知：原不等 式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原 不等式的解集可由方程 ax2 bx 2 0 的二根来 得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理 列式解题。解析：由题意，方程 ax2 bx 2 0 的二根为1和1，23a02b4a 2 0所以，1 1 b2 3 a1 1 223a易解得 a12， b 2 ，所以， ab 14 。误区 警示：不能遗漏条件 b24a 20和a 0 。（2） 思路导引 ：原不等式

14、 ax2bx 20的系数 a、b 范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R，故原不等式只能为二次型、常数型不等式。解析：1 ）当 ab 0 时， 原不等式为2 0 ，其解集显然为 R，符合题意。2）当a 0时，因为原不等式解集为 R ，所以，a0b2 4a 20化简得 a0，且b2 8a 。综上所述，a、 b 应满足的条件为：ab 0 ；或 a 0且b28a。点评 ： 已知二次不等式的解集求参数值可分 为两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦 达定理求解； 若解集为 R 或，则通常用数形结合1例 4】若不等式组2x2(5 2k)x5k0 (2)由（ 1）解

15、得 x2，或 x1。由（2）得 （2x5)(x k)0。因为 2 是不等式组的解，故 2 （2) 5( 2k)0 ，得 k 2 ，所以 k5 ，（ 2）的解为5x k 。22由此可知，原不等式组的解为（）x1x25 ，或5。xkxk22解析 ： x x 2 0 (1)易解得（ 5）的解为 1 xx 0和 x 1两类解答例 6】（2004 年上海高考）记函数 f(x)= 2x3x1解题2x 2 x 2 0 22x 2 (5 2k)x 5k 0的整数解只有 2，求实数 k 的取值范围。 思路导引 ：本题的解题思路与已知不等式的解 集求参数值相似，只是要注意不等式组的解集应是 各个不等式解集的交集。

16、因为 k 2 ，所以 k 2 ，故（）的整数解 为 2。而原不等式组的整数解只有 2，所以（） 应该没有整数解，所以 k 3，即 k 3。综上所述， 3 k 2 。【阅卷老师评题】【例 5 】 （1996 年全国高考） 解不等式 1log a （1 ） 1.x命题目的 ：本题综合考查了对数不等式、分式 不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想 和运算能力。考情分析 ：该题本身的能力要求并不高，但在 解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得 分率较低，区分度达。思路导引 ：因为对数函数的单调性与 a 有关， 故应对 a 分类讨论去除对数符号，将原不等式化为 分式不等式，然后再化为整式不等

17、式求解。解析 ：（）当 a 1时，原不等式等价于： 因 a 1 ，故只需解（ 2）式，由此得 因为1 a 0,所以 x 0, 由（ 3）可得（）当 0 a 1 时，原不等式等价于：由（ 4）得， x 1或 x 0,1由（ 5）得， 1 1 a 0，故 x 0，x1a所以 1 x 1 。1a综上所述:当 a 1时，不等式的解集为 1x| x 0; 当 0 a 1时，不等式的解集为 1a1x |1 x .1a点评 ：解不等式要注意不等式变形的等价性， 对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免 错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常 常会得到简便解法。 如解不等式 （2）（ 5）时利用 a

18、 的范围判断出 x 的正负后，就能很方便的去分母 了。本题也可由 1 1 0得出 x 0，或 x 1后，分x的定义域为 A，g（x）=lg（ xa1）（2ax）（a<1） 的 定义域为 B（1） 求 A ；（2） 若 B A, 求实数 a 的取值范围 .命题目的 ：本小题主要考查集合的有关概念， 考查二次不等式、 分式不等式、 对数不等式的解法， 以及分析问题和推理计算能力。考情分析 ：此题型在各地高考中经常出现。本 题难度较小，得分率较高，但有的考生在求 a 的范 围时没充分使用 a 1的条件，引起解题过程复杂或 出错。解析：( 1)由 2 x 30, 得 x 10, 解得x1 x 1

19、x<1 或 x1， 即 A=( , 1) 1,+ )(2) 由(xa1)(2ax)>0, 得(xa1)(x2a)<0.因为 a<1，所以 a+1>2a，故 B=(2a,a+1)。 由B A 知：2a1或a+11，解得 a1 或 a 2。21因为 a<1, 所以 1 a<1 或 a 2，2故当 B A 时, 实数 a 的取值范围是 （,12 12,1)好题优化训练】基础巩固1、 x25x6 x 1 的解集为（）（A）( ,1)（B）（2,)（C）1,53)（D）（,53)答案：D解析:取x0 可排除 B、 C；取 x1 可排除 A。故选 D。2、满足 1

20、x2与 1x3 的 x 的取值范围是（ ）111（ A） 1x（B）x322（ C） x1（D）11x 1 ，或 x 1323答案： D解析: 解不等式组或验证排除。3、解不等式 2x 1 x 2明显会影响不等式的解集，故需分类讨论：1）a 0时，原不等式即 2x 4 0，解得 x 2 。222）0 a 1时，2 2 ，不等式的解为 2 x 2 。 aa3）a 1时，原不等式为 （x 2）2 0， x 。4）a 1时， 2 2，不等式的解为 2 x 2 。 aa5）a 0 时，原不等式可化为 （ ax 2）（x 2） 0 ， 易知 2 2 ，所以不等式的解为 x 2，或x 2 。 aa25、不

21、等式 2x 2 2mx m 1对一切实数 x 均成立， 4x2 6x 3求 m 的取值范围。答案：（1，3）。解析: 已知分母恒正，故原不等式可化为：222x 2mx m 4x 6x 3 ，即 2x2(6 2m)x (3m)0，由题意，该式对一切实数x恒成立。所以，(6 2m)28(3m) 0 ，容易解得 1 m 3 。2x 1 0 x20x 5 。没有正根，由图 易知；答案： x|12 x 5解析: 原不等式等价于（）2x10或（）x202x1(x 2)由（）解得1x 2 ，2由（）解得2x5所以，原不等式的解集为技能培训6、不等式 3x 4 x 3 0 的解集为： 答案： 3 ， ） 。3

22、x 4 0解析: 原不等式等价于 x 3 0 ，3x 4 x 3解得 x 3 。7、设 f（x） x2 ax 1。若方程 f（x） 0没有正根则a 的取值范围为 答案： （ ，2） 。 解析 : 因为方程 f（x） 0点评：若令 2x 1 t ，则该不等式可化为一个关于 t 的二次不等式求解。4、解关于 x 的不等式 ax2答案： 原不等式的解集当2(a 1)x 4 0 。0时，为 x|x 2 ；1 时，为x|22 ；当 a 1 时为 a；当 a1时，为2x | x 2 ；当 a 0 时，为 x|x2，或xa解析: 原不等式即 （ax 2）（x 2） 0 ，a 的范围2 a40a02或2 a4

23、0。解得： a2。8、 若 关于 x的不等式2 xxa0 的解4x3是3x1，或 x（A）2（C）122，则 a的值为（ ）（B） 21D） 12答案： B解析 : 原不等式即 （x a）（x 1）（x 3） 0 ，由其 解集易知9、若 f (x)a 2 。(m 1)x2 (m 1)x 3(m 1)一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围是（ ）（A）(1,)（B）（, 1)1313（C）(,)（D）（, ) (1,1111答案：Cm10解析由已知，2(m1)2 12(m1)(m 1) 0解得x13。0 对于)1196 万元，求 p 的取值范围。（2）在所收税金不少于 96 万元的前提下，要

24、让厂家获得最大的销售金额，因如何确定 p 值（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何 确定 p 值 答案：（1） 2 p 6。（2） p 2 。（3） 解析: （1）税率为 p% 时，销售量为 80 件，销售金额为 80（80 10p） 万元（ 0p 4 。 10p 万 p 8 )。10、解关于 x的不等式a(x 1)x21 (a1)。答案：不等式的解集当 a0 时为x|aa21当0 a 1 时为 x|2 xa2 a；当 a0 时为当 a 1时，为 x|x 2，解析 : 原不等式可化为 （a以 (x 2)(a1)x(21）当a0 时，解集为ax|a2）1 时， ax|2a2a13）0时，4）1

25、时，x|x由题意易得： 80（800p解得 2 p 6 。（2）销售金额最大即可知， 2 p10p) p% 96880（80 10p） 最大，由（ 1）6 ，所以，当 p 2 时 ，最大销售金额为 4800 万元。（3）由（1）知易知，销售金额为 80（80 10p） ， 故税金为 80（80 10p） 因为 0 p 8 ，所以， 最多，为 128 万元。12、若不等式 ax2 bxp% 8（ p 4）2 128，p 4 时，国家所得税金a2。0，求不等式 cx2bxa 0 的解集。a1答案：11 x |x, 或 x1)x(2 a) 0 ，所x2解析 :依题意，方程 ax2bxc0 的 二根为。、，故有：a2所以，b a( ) ， ca(），2 ，原不等式的a1这样即可将不等式cx2bx a 0 化 为a( )x2 a( )x a0，由题意易知 a 0 ，所以 （x 1)(x 1) 0 。2，原不等式的解集为因为 0，所以 011，故所求不等式的解集为