二次函数动点生成平行四边形

1、学习必备欢迎下载1如图，抛物线 yx2bx c 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B ，已知经过点 A, B 的直线的表达式为 y x3 （1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；（2）如图，点,0 是线段 AO上的一个动点，其中3 m 0，作直线 DPx 轴，P m交直线 AB 于 D ，交抛物线于 E ，作 EF x 轴，交直线AB 于点 F ，四边形 DEFG为矩形设矩形 DEFG的周长为 L ，写出 L 与 m的函数关系式，并求m为何值时周长 L 最大；（ 3）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点 A, B, Q构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形若存在，直接写出所有符

2、合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由图图2如图，直线l ： y=mx+n（m 0， n 0）与 x， y 轴分别相交于A， B 两点，将 AOB绕点 O逆时针旋转 90°，得到 COD，过点 A，B，D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线（1）若 l ：y= 2x+2 ，则 P 表示的函数解析式为；若 P：y= x2 3x+4，则 l 表示的函数解析式为（2）求 P 的对称轴（用含 m， n 的代数式表示） ；（3）如图，若l ： y= 2x+4， P 的对称轴与 CD相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q在 P 的对称轴上当以点C， E， Q

3、， F 为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图，若l ： y=mx 4m， G为 AB中点， H 为 CD中点，连接 GH， M为 GH中点，连接OM若 OM=，直接写出l ， P 表示的函数解析式学习必备欢迎下载3如图，抛物线：y ax2 bx 4 与 x 轴交于点A( 2，0) 和 B(4 ， 0) 、与 y 轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)T 是抛物线对称轴上的一点，且ACT是以 AC为底的等腰三角形，求点T 的坐标；(3)点 M、Q分别从点 A、 B以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行当点M原点时，点 Q立刻掉头并以每秒3B 方向移

4、动，当点M到达抛物线的个单位长度的速度向点2对称轴时，两点停止运动 过点 M的直线 l 轴，交 AC或 BC于点 P求点 M的运动时间 t( 秒 ) 与 APQ的面积 S 的函数关系式，并求出 S 的最大值ylCPTAMOQBx学习必备欢迎下载参考答案1（ 1）抛物线的表达式为y=-x 2-2x+3 ，顶点 C坐标为（ -1,4 ）；（ 2） L=-4m2-12m=-4 （ m+3 ） 2+9；2当 m=- 3 时，最大值 L=9；2（3）点 Q的坐标为（ -1 ，14 ），（-1 ，-14 ），（ -1 ， 3+17 ），（ -1 ， 3-17 ）【解析】试题分析：（ 1）由直线经过 A、

5、B 两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出 b、 c 的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（ 2）由题意可表示出 D、 E 的坐标，从而得到 DE的长，由已知条件可得 DE=EF，从而可表示出矩形 DEFG的周长 L，利用二次函数的性质可求得最大值；（ 3）分别以点 A、点 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点试题解析：（ 1）直线 y=x+3 与 x 轴相交于A（ -3,0），与 y 轴相交于B（ 0,3 ）2抛物线 y=-x +bx+c 经过 A（ -3,0）， B（ 0,3 ），所以，093bc,3cb2，c3所以抛物线的表达式为y=-x

6、 2 -2x+3 ， y=-x 2-2x+3=- （ x+1） 2+4,所以，顶点坐标为C（ -1,4 ）（ 2）因为 D 在直线 y=x+3 上， D（ m,m+3）因为 E 在抛物线上，E（ m， -m2-2m+3）22DE=-m-2m+3- （ m+3）=-m -3m由题意可知，AO=BO, DAP= ADP= EDF= EFD=45°， DE=EF2L=4DE=-4m-12mL=-4m2-12m=-4 （ m+3 ）2 +92 a=-4<0,二次函数有最大值当 m=- 3 时，最大值 L=92（3）点Q的坐标为（-1 ，14），（-1 ，-14 ），（ -1 ， 3+1

7、7），（ -1 ， 3-17）考点： 1、待定系数法；2、正方形的判定；22（ 1） y= x x+2； y= 4x+43、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形（2） P 的对称轴为x=mnn 2m学习必备欢迎下载（3）点 Q坐标为 Q（ 1，7）、Q（ 1，17）1222（4） l表示的函数解析式为：y= 2x+4；P： y= 1 x2 x+84【解析】试题分析：（ 1）若 l ：y= 2x+2，求出点 A、B、D 的坐标，利用待定系数法求出P 表示的函数解析式；若P： y= x2 3x+4，求出点 D、A、B 的坐标，再利用待定系数法求出l 表示的函数解析式；（2）根据已知求得抛物线与x

8、轴交点的坐标，从而求得对称轴；（3）以点 C， E， Q， F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，则有FQ CE，且FQ=CE以此为基础，列方程求出点Q的坐标注意：点 Q的坐标有两个，如答图1 所示，不要漏解；（4）如答图2 所示，作辅助线， 构造等腰直角三角形 OGH，求出 OG的长度， 进而由 AB=2OG求出 AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx 4m中 m的值，最后分别求出 l ，P 表示的函数解析式试题解析：（ 1）若 l ： y= 2x+2，则 A（ 1，0）， B（ 0， 2）将 AOB绕点 O逆时针旋转90°，得到 COD，D（ 2， 0）设 P 表示的

9、函数解析式为：y=ax 2+bx+c ，将点 A、 B、 D 坐标代入得：abc0a1c2，解得b1 ，4a2b c0c2P 表示的函数解析式为：y= x2 x+2；若 P： y= x2 3x+4=（ x+4）（ x 1），则 D（ 4， 0）， A（ 1， 0）B（ 0， 4）设 l 表示的函数解析式为： y=kx+b ，将点 A、 B 坐标代入得：kb0k4，解得，b4b4 l 表示的函数解析式为： y= 4x+4（2）直线 l ： y=mx+n（ m 0， n 0），令 y=0，即 mx+n=0，得 x= n ；令 x=0，得 y=nmA（ n ， 0）、 B（ 0， n），mD（ n，

10、 0）设抛物线对称轴与x 轴的交点为N（ x， 0），DN=AN，n x=x（ n），m 2x= n n ，mP 的对称轴为x= mnn 2m（ 3）若 l ： y= 2x+4，则 A（2， 0）、 B（ 0，4），C（ 0， 2）、 D（ 4， 0）学习必备欢迎下载可求得直线CD的解析式为：y= 1x+22由（ 2）可知， P 的对称轴为 x= 1以点 C， E， Q， F 为顶点的四边形是以 FQ CE，且 FQ=CECE为一边的平行四边形，设直线 FQ的解析式为：y= 1 x+b2点 E、点 C 的横坐标相差1，点 F、点 Q的横坐标也是相差1则|x F（ 1） |=|x F+1|=1

11、，解得 xF=0 或 xF= 2点 F 在直线 l ： y= 2x+4 上，点 F 坐标为（ 0， 4）或（ 2， 8）若 F（ 0， 4），则直线 FQ的解析式为：y=1x+4，当 x= 1 时， y=7， Q（ 1，7）；2212若 F（ 2，8），则直线 FQ的解析式为： y=1，当 x= 117， Q（ 1，17）x+9时， y=2222满足条件的点 Q有 2 个，如答图 1 所示，点 Q坐标为 Q1（ 1， 7 ）、Q2（ 1， 17）22（4）如答图 2 所示，连接OG、 OH点 G、 H为斜边中点，OG=1 AB， OH=1 CD22由旋转性质可知，AB=CD， OG OH， O

12、GH为等腰直角三角形点 G为 GH中点， OMG为等腰直角三角形，OG= 2OM= 2?10=25， AB=2OG=4 5 l ： y=mx 4m， A（ 4， 0），B（ 0， 4m）在 Rt AOB中，由勾股定理得：22222=（ 452，OA+OB=AB，即： 4 +（ 4m）解得： m= 2 或 m=2，点 B 在 y 轴正半轴，m=2舍去， m=2l 表示的函数解析式为：y= 2x+4；B（ 0， 8）， D（ 8， 0）又 A（ 4， 0），利用待定系数法求得P： y= 1 x2 x+84学习必备欢迎下载考点： 1、二次函数的图象与性质；2、待定系数法；3、旋转变换；4、平行四边形

13、3（ 1）抛物线的解析式为： y1 x2x 4 ；2（2） S3 (t8) 225 ， S 的最大值为 25 4333【解析】试题分析：（ 1）把 A、 B 的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；（2）设直线 x=1 上一点 T（ 1，h），连接 TC、 TA，作 CE直线 x=1，垂足是 E，根据 TA=TC 由勾股定理求出即可；（3）（ I ）当 0t 2时， AMP AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；（II ）当 2t 3 时，作 PM x 轴于 M， PF y 轴于点 F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可试题解析：（ 1

14、）把A(2，0) 、 B(4 ， 0) 代入yax2bx4 ，得4a2b4016a4b40解得 a1 ， b 121抛物线的解析式为：yx2x4；1 x2219（2）由 yx 4(x1)2，得抛物线的对称轴为直线x 1 ，222直线 x1交 x 轴于点 D，设直线x1上一点 T(1 ，h) ，连结 TC， TA，作 CE直线 x1 ，垂足为E，由 C(0， 4) 得点 E(1 ，4) ，在 Rt ADT和 Rt TEC中，由 TA=TC得32h212(4 h) 2解得 h1 ，点 T 的坐标为 (1,1)；（3）解：（）当 0t 2 时， AMP AOC学习必备欢迎下载 PMAM， PM2COAOtAQ6t S1 PMAQ12