初中抛物线经典练习题(含详细答案)

1、初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1 ' 已知二次函数 y=x2 +bx+c 过点 A (2,0)，C (0,-8)(1)求此二次函数的解析式，(2)在抛物线上存在一点P使A ABP的面积为15,请直接写出p点的 坐标。>42、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2 +mx+n经过点A (5，0)，B ( 2，-6 ).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C写出过八C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为(2, 4)，并在x轴上 截得的长度为6。(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达

2、式(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G(1)若A ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式(2)若A BDO勺面积为8,求此时抛物线的解析式【答案】1 ' 已知二次函数 y=x2 +bx+c 过点 A (2,0 ) , C (0,-8 )(1)求此二次函数的解析式，(2)在抛物线上存在一点P使A ABP的面积为15,请直接写出p点的坐【第一问】 因为函数 y=x2 +bx+c 过点 A (2,0 ), C (0,-8 )分别将 x=2, y=0 代入 y=x2

3、 +bx+c,得 0=4+2b+c将x=0, y=-8 代入 y=x2 +bx+c，得-8=c将代人，解得： b=2此时，将代入y=x2 +bx+c，所以：二次函数的解析式y=x 2 + 2x -8【第二问】1 ABP 的面积=1 AB| * I yPl 因为A B两点在x轴上，令x2 + 2x -8=0(x-2 ) ( x+4) =0解得：Xi=2, X2= -4所以：I AB | = IXrX2I = l2- (-4 ) I =6 又Za ABP 的面积=1由，得：*6*IyPI=15故有：yp= ± 5即：P点的纵坐标为5或-5.寸巴 y=5 代入 y=x 2 + 2x -8

4、，即：5=x2 + 2x -8x2 + 2x -13=0解得：X=-1±14那么，此时P点坐标(-1 +中4, 5) , (-1-, 5)把 y=-5 代入 y=x 2 + 2x -8，即：-5=x 2 + 2x -8x2 + 2x -3=0(x-1 ) ( x+3) =0解得：x= 1或x= -3那么，此时P点坐标那，-5) ，( -3，-5)由得，使 ABP的面积为15，p点坐标是：(-1 +、/74，5)，(-1-历 4，5)，(1,-5)，( -3，-5)2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2 +mx+n经过点A (5 0 ) B(2 ， -6 ).(1)求抛物线的表

5、达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为G写出过A、C两点直线的表达式。解：【第一问】),B(2, -6).因为抛物线y=2x2 +mx+n经过点A (5, 0将 x=5y=o 代入 y=2x 2+mx+n ,得0=50+5m+n将 x=2, y= -6 代入 y=2x 2+mx+n ,得-6=8+2m+n人此时，由、，得：m=-12,n=10所以，抛物线的表达式：y=2x2 -12x+10再将抛物线表达式进行变形：y=2x2 -12x+10y=2 ( x2 -6x+9) -8y=2 ( x-3) 2 -8所以，抛物线的对称轴是x=3【第二问】因为B点坐标为(2，-6)，C是B关于原点的对称

6、点，所以，C点的坐标(-2,6)设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b因为过 A ( 5，0)，C ( -2，6)，将 x=5，y=0 代入 y=kx+b，得：0= 5k +b将 x=-2，y=6 代入 y=kx+b，得：6= -2k+b630由解得：k= - 7，b= y所以，过8C两点的直线表达式为：y= - 7 x+ 3、在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线的顶点C为(2, 4)，并在x轴上截得的长度为6。(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达式【第一问】因为抛物线的顶点C为(2，4)，所以，对称轴是：x=2又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，那么，对称轴x=2

7、将6平分，也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3所以，人的横坐标：2-3 = -1B的横坐标：2+3 = 5故，抛物线与x轴交点A B的坐标是(-1,0)，( 5,0)【第二问】因为抛物线的顶点C为(2，4)，那么，抛物线的表达式直接可设为：y=a (x-2) 2 +4【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将 A (-1,0 )代入 y=a (x-2) 2+4，得，0=a(-1-2)2+44解得 a=-94所以，抛物线的表达式为， y= - 9 (x-2) 2+4【第二问】44令 x=0，代入 y= - 9 ( x-2 ) 2+4，得 y= - 9 (0-2 ) 2

8、+420y=J一 20所以，抛物线与y轴交点P的坐标(o,一)4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点，且 开口向下作抛物线'交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G(1)若A ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式(2)若A BDO勺面积为8,求此时抛物线的解析式解:【第一问】直线的解析式为y=2x+4令x=0,代入y=2x+4,得，y=4,所以B点坐标(0, 4 )令y=o,代入y=2x+4,得，x=-2，所以A点坐标(-2,0 )设C点的纵坐标为yc (皿是负数)，那么线段BC的长度| BC| = 4 -yc1 1 ABC 的面积=2 *IxaI*I

9、BC| = 2* 1-2 I* (4 -yc )=204 -yc =20解得：yc = -16所以，c点坐标(0, -16)以A (-2Q )为顶点,可设抛物线表达式:y= a (x+2) 2+0y=a(x+2) 2，它过点 C(0，-16)，将 x=0,y= -16 代入 y= a ( x+2) 2，解得：a= -4所以，抛物线表达式y= -4(x+2) 2【第二问】设D点的横坐标为Xd( Xd是负数)，1 1 BDO 的面积=2 * I xd I * I BO| = 2 * I xd I *4=8Xd I =4xd是负数，所以，xd= -4，又D点在直线y=2x+4上，将 xd= -4 代

10、入 y=2x+4，解得 yD= -4D 点坐标(-4, -4 )以A (-2,0 )为顶点，可设抛物线表达式:y= a (x+2) 2它过点D (-4 , -4 )将 x= -4,y= -4 代入 y= a (x+2) 2，解得：a= -1所以，抛物线表达式y=-(x+2) 2【第二组题型】5、若关于x的方程x2 +2mx+m +3m- 2=0有两个实数根X、X2JIJ Xi(X2+Xi) +X22的最小值为()6、平面直角坐标系中两定点 A( -5 ,0, ), B(3,0),抛物线y=ax2 +bx-30(az 0)过A、B,顶点为C,点P (m, n)为抛物线上的一点。(1) 求抛物线的

11、解析式和顶点C的坐标。(2)当四边形APBC为梯形，求P的坐标。37、已知抛物线y= 4x2 +bx+c与x轴相交于点A和B (2, 0),与y轴相交于C(0,-6 )(1)求出抛物线的解析式和A点的坐标。(2) D为抛物线的顶点，设P点(t, 0),且t2,如果 BDP与A CDP的 面积相等，求P点的坐标。8、在xoy直角坐标系中，点C(2, -3 )关于x轴对称的点为A,关于原点对称 的点为B,抛物线y=ax2 +bx+c过A、B两点，且点D(3, 19)在抛物线上。【答案】5、若关于x的方程x2 +2mx+m +3m- 2=0有两个实数根Xi、X2,则Xi(X2+X1) +X22的最小

12、值为(解：方程x2 +2mx+m +3m- 2=0有两个实数根贝I判另ij式Za=(2fi) 2-4*( n2 +3m-2)> 02即：mv 33根据韦达定理,Xi+X2=-2mX1X2 =n2 +3m 2又 Xi (X2+X1) +X22=X 1X2 +Xi2 +X22=3其图像为已经把顶点包含在内,2'(X2+X1) 2 - x iX2【将代人】(-2m) 2 - (n2 +3n 2)=3m2 - 3m+22由知，当mv 3时，1故，当m=2时，有最小值是6、平面直角坐标系中两定点A( -5 ,0,), B( 3,0),抛物线y=ax2 +bx-30(az 0)过A、B,顶点

13、为C,点P (m, n)为抛物线上的一点(2)当四边形APBC为梯形，求P的坐标。解：【第一问】因为点A(-5，0,)，B(3，0)均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a ( x+5) ( x-3 )y=a ( x2 +2x-15 )y=ax 2 +2ax-15a 又已知，抛物线y=ax2 +bx-30 根据恒等原理，式与式对应的系数相等。那么它们的常数项相等，即：-15a = -30解得：a=2将a=2代入式，解得抛物线解析式为：y=2x 2 +4X-30再又寸y=2x 2 +4x-30变形即：y=2 ( x2 +2x) -30y=2( x+1) 2 -32所以，

14、顶点C坐标(-1,-32)答：抛物线解析式为：y=2x 2 +4X-30，顶点C坐标(-1,-32)【第二问】四边形APBC为梯形，有两种情况，一是 BP/ AC,一是AP/ CB(1)当 BP/ACX=-l因为 A (-5 , 0), C (-1 , -32 )0- (-32 )直线AC的斜率k1=-=-8-5- (-1 )因为 B (3, 0), P (m n)一、0- n n直线pb说完斜率|<2=而 m -3因为BP/ AC所以二n即-8 =-m -3因为P (mn)在抛物线化简：n = 24 -8m上， 所以，把 x=m3 y=n 代入 y=2x2 +4x-30 中得：n=2m

15、2 +4m-30 因为=，消去n，得：24 -8m=2m2 +4m-30化简：m2 +6m-27=0(m+9 ( m-3) =0解得：m= -9，m=3将m= -9代入中，解得, n=96 测 P 坐标(-9，96)将m=3代入中，解得，n=0,则P坐标(3, 0)与B (3Q )重合，舍去故：当BPAC时，P坐标为(-9 , 96)x=-i同理：直线BC的斜率k3=8直线AP的斜率k4=m，fe n #由 K3=k4,得 8=即:n=8m+40(7)m+5因为P (m n)在抛物线上，所以，把 x=m3 y=n 代入 y=2x2 +4x-30 中得：n=2m2 +4m-30 由二解得，m=7

16、m=-5将m=7 m=-5代入，解得 n=106, n=0即P坐标(7, 106)，或p (-5 , 0)与A (-5 , 0)重合，舍去故：场APCB时，P坐标为(7, 106)37、已知抛物线y4x2+bx+c与x轴相交于点A和B(2, 0),与y轴相交于C(0,-6 )(1)求出抛物线的解析式和A点的坐标。(2) D为抛物线的顶点，设P点(t，0)，且t>2,如果 BDP与A CDP的面积相等，求P点的坐标。解：【第一问】因为抛物线与y轴相交于c(o, -6)3将 x=0, y= -6 代入 y= 4x2 +bx+c,解得:c = -63那么，抛物线解析式为：y= -x2 +bx

17、-64抛物线与与X轴相交于A ( 2, 0),33将 x=2, y=0,代入 y= 4x2 +bx -6，解得：b=33故，抛物线解析式为：y= 4x2 + Ax -633将y= 4x2 +只-6变形3y= 4 (x2 +2x -8 )3y= 4 (x-2 ) (x+4)令y=0，解得x=2，或x= -4则与x轴相交的坐标为(2, 0), (-4, 0)已知B(2, 0),所以A坐标(-4 , 0)【第二问】33将y 4X2 + 2X -6变形3y= 4 (x2 + 2x ) -63434X21 + 2X!/327y= 4（x+D2- 727所以，顶点 D坐标为（-14(-1,0)X=-l42

18、7D点纵坐标是-,线段BP长度为：P点横坐标-B横坐标(t, 0)1 BDP 面积= yD BP277t-2 （因为 t2）27）设对称轴与X轴相交于x轴于E,过顶点C作CF平行于x轴交DE于F.梯形EFCF面积=2*EP+CFI *EF-6(Xp-X d ) + (Xc - Xt-+ o-(-D )*91=2 * (t+2)*6=3 (t+2)三角形CDF面积一 1 *CFXc - X Dyo-y c1 *n1*9Xc - X Dyo-y c0- (-1 )274-(*四边形DEPC面积=梯形EFCP面积+三角形CDF面积二十=3t +三角形DEP面积一 *DE*PE1*21*y*Xp-Xd_227=8274三角形CPD面积=四边形DEPC面积三角形DEP面积24- 3t8又因为： BDP-与人CDP的面积相等即：二2724- 3t百(>2) =_T13解得：t ="5答：如果Za BDP-与人CDP的面积相等，求P点的坐标(13& 5 °) °8、在xoy直角坐标系中，点0(