初中行程问题专题讲解

1、初中列方程解应用题（行程问题）专题行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。我们常用的基本公 式是：路程=速度X时间；速度=路程+时间；时间=路程+速度 行程问题是个非常庞大的类型，多年来在考试中屡用不爽，所占比例居高不 下。原因就是行程问题可以融入多种练习，熟悉了行程问题的学生，在多种类型的 习题面前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步剖析。1.单人单程：例1:甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从80km/h提高到100km/h,运行时间缩短了 3h。甲，乙两城市间的路程是多少？【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为x km,那么列车在两

2、城市间提速前的运行时间为h ,提速后的运行时间为h.80100【等量关系式】 提速前的运行时间一提速后的运行时间 二缩短的时间.【列出方程】-3.80 100例2:某铁路桥长1000 m,现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始 上桥到完全过桥共用了 1 min ,整列火车完全在桥上的时间共 40s。求火车的速 度和长度。【分析】如果设火车的速度为xm/s,火车的长度为ym,用线段表示大桥 和火车的长度，根据题意可画出如下示意图:【等量关系式】 火车1min行驶的路程二桥长+火车长;火车40s行驶的路程=桥长-火车长60x 1000 y【列出万程组】"40x 1000 y举一反三：1

3、 .小明家和学校相距15km。小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车站，步行的速度为 60 m/ min ，再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了20min,已知公共汽车的速度为40km/h,求小明从家到学校用了多长时间。2 根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间由现在的 2 小时 18 分钟缩短为 36 分钟，其速度每小时将提高260km.求提速后的火车速度。（精确到1km/ h）3.徐州至上海的铁路里程为650km,从徐州乘"C字头列车A, "D"字头列 车B都可直达上海，已知A车的速度为B车的2倍，且行驶

4、的时间比B车少2.5h . 求 A 车的速度及行驶时间。 （同学们可能会认为这是双人行程问题，其实这题的类型可归结于例 1 的类型，把 B 车的速度看成是A 提速后的速度，是不是也可看成单人单程的问题呀！ ）2.单人双程(等量关系式：来时的路程 =回时的路程)：例1:某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， 先以60km/h的速度走平路， 后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h；返回时7车以40km/h的速度下坡，又 以50km/h的速度走平路，共用了 6h.学校距自然保护区有多远。【分析】如果设学校距自然保护区为x km,由题目条件：去时用了 6.5h,则 有些同学会认为总的速度为 km

5、/h,然后用去时走平路的速度+去时爬坡的速 6.5度=总的速度，得出方程60 30 ,这种解法是错误的，因为速度是不能相6.5加的。不妨设平路的长度为x km,坡路的长度为y km,则去时走平路用了 h,60去时爬坡用了上h,而去时总共用了 6.5h,这时，时间是可以相加的；回来时30汽车下坡用了 Xh,回来时走平路用了 上，而回来时总共用了 6h.则学校到自然 4050保护区的距离为(x y)km。【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间=去时用的总时间 回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间=回来时用的 总时间上工6.5【列出方程组】60 30上工650 40注：单人双程的行程

6、问题抓住来时的路程 =回时的路程、路程 班度X时间， 再把单人单程的行程问题练练熟就 ok 了，题型跟单人单程的题型差不多，把上 面的例题弄懂，这里就不多做练习了。3.双人行程：(I)单块应用：只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追击问题。1)同时同地同向而行：A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶例：甲车的速度为60km/h,乙车的速度为80km/h,两车同时同地出发，同向而行。经过多少时间两车相距 280km。【分析】如果设经过xh后两车相距280km,则甲走的路程为60xkm,乙走 的路程为80xkm,根据题意可画出如下示意图：80x km乙 二甲 产60x km 280km【等量关系

7、式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离【列出方程】60x 280 280x2）同时同地背向而行：A, B两事物同时同地沿相反方向行驶例：甲车的速度为60km/h,乙车的速度为80km/h,两车同时同地出发，背向而行。经过多少时间两车相距 280km o【分析】如果设经过xh后两车相距280km,则甲走的路程为60xkm,乙走 的路程为80xkm,根据题意可画出如下示意图：甲 乙660x km80x kmh280 km【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280【列出方程】60x 80x 2803）同时相向而行（相遇问题）：例:甲，乙两人在相距10km的A,B两地相向而行，乙的速度是

8、甲的速度的2倍，两人同时处发1.5h后相遇，求甲，乙两人的速度。【分析】如果设甲的速度为xkm/h,则乙的速度为2xkm/h,甲走过的路程 为1.5xkm,乙走过的路程为1.5 2xkm,根据题意可画出如下示意图：甲1.5x km 土1.5 x 2x km乙A .- B10 km280 km【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=10【列出方程】1.5x 1.5 2x 104）追及问题：例：一对学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进24min后，一 名教师骑自行车以15km/h的速度按原路追赶学生队伍。这名教师从出发到途中 与学生队伍会合共用了多少时间？【分析】如果设这名教师

9、从出发到途中与学生队伍会合共用了xh,则教师走过的路程为15xkm,学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发 后走过的路程，而学生在教师出发前走过的路程为5必km,学生在教师出发后60走过的路程为5x km,又由于教师走过的路程等于学生走过的路程。根据题意可 画出如下示意图：学生5 "km5x-km60教师15x km>1【等量关系式】教师走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教师出发后走过的路程24【列出万程】15x 5 5x605）不同时同地同向而行（与追击问题相似）：例:甲，乙两人都从A地出发到B地，甲出发1h后乙才从A地出发，乙出 发3h后甲，乙两人同时

10、到达B地，已知乙的速度为50km/h,问，甲的速度为多 少？【分析】如果设甲的速度为x km/h,则乙出发前甲走过的路程为xkm,乙 出发后甲走过的路程为3xkm,甲走过的路程等于乙出发前甲走过的路程加上乙 出发后甲走过的路程，而乙走过的路程为 50 3km,甲走过的路程等于乙走过的 路程。根据题意可画出如下示意图：甲 x km i3x km卜乙-50X3 km1【等量关系式】 乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过 的路程【列出方程】50 3 x 3x6）不同时相向而行例：甲，乙两站相距448km, 一列慢车从甲站出发，速度为60km/ h ; 一列 快车从乙站出发，速度为10

11、0km/ h o两车相向而行，慢车先出发32min ,快车开 出后多少时间两车相遇？【分析】如果设快车开出后x h两车相遇，则慢车走过的路程为3260x 60 km,快车走过的路程为100 x km。根据题意可回出如下小意图：60448km【等量关系式】 总路程=快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过 的路程+快车走过的路程32【列出万程】448 60 一 60x 100x60注：涉及此类问题的还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不 同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行，与上面解法类似，只要画出示意 图问题就会迎刃而解，就不再一一给出解答了，此类问题会在后面练习中给出习 题

12、。(n)结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题两两结合起来应用。1)相向而行+背向而行例：A, B两地相距36km,小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自 行车到A地，两人同时出发相向而行，经过1h后两人相遇；再过0.5h,小明余 下的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑车的速度各是多少？【分析】如果设小明骑车的速度为x，小丽骑车的速度为y ,相遇前小明走过的路程为x,小丽走过的路程为y;相遇后两人背向而行，小明走过的路程为0.5x ,小丽走过的路程为0.5y o根据题意可画出如下示意图:相遇前小明x小丽x-0.5y小丽*0.5吐36km0.5xy-0.5x小明【等量关系式】

13、相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程=总路程相遇后小明余下的路程=2 X相遇后小丽余下的路程【列出方程组】x y 36y 0.5x 2 (x 0.5y)2)同向而行+相向而行例：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 35千米/时的速度前进， 突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以 45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合。1号队员从离队开始到与其他 队员重新会合，经过了多长时间？【分析】由题意“1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后 掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为 10h,不妨设1号队员从45调转车头到与其他队员重

14、新回合的时间为 x ho根据题意可画出如下示意图：所有队员1号队员i10km【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间所有队员走的路程 +1号 队员从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内所有队员走的路程 +1号队员 从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内 1号队员走的路程=10。【歹加方程】351035x 45x 1045注：涉及此类问题的还有同向而行+相背而行、追及+同向而行、追及+相背 而行、追及+相向而行，只要把它们分成单个类型，按照题意一步一步求解，这 里就不一一举例了，此类问题会在后面练习中给出习题。举一反三：1.甲，乙两人从楼底爬楼梯到楼顶，甲平均每分钟爬楼梯 40级，乙平

15、均每分 钟爬楼梯50级，甲先出发2min,结果两人同时到达楼顶。问从楼底到楼顶共 有楼梯多少级？2甲，乙两人在相距100m的两地相背而行，30min后甲，乙两人相距4km, 已知甲的速度为60m/min ,求乙的速度。3.小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4米，小明每秒跑6米，（1 如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ （2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面 10米处，两人同时同向起跑，几 秒后小明能追上小彬。4.一队学生去校外进行军事野营训练。他们以 5km/h的速度行进，走了 18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行

16、车 以14km/h的速度按原路追上去，队长出发后经过多少时间接到通知？5.两辆汽车同时从A地出发，沿一条公路开往B地。甲车比乙车每小时多 行8千米，甲车比乙车早40分钟到达途中的C地，当乙车到达C地时，甲车 正好到达B地。已知C至B地的路程是40千米，求乙车每小时行多少 km ?6.A, B两地相距450km,甲，乙两车分别从 A, B两地同时出发，相向而行。 已知甲车速度为120km/h ,乙车速度为80km/h,经过多少小时两车相距50km7.甲乙两车同时从A地出发，在相距900千米的AB两地间不断往返行驶 已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米。请问：(1)甲车第一次

17、从后面追上乙车是在出发后多长时间？(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙(3)甲乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间？4.行程问题中的工程问题：乍一看，题目中就时间已知，速度、路程都未知，此类问题同学们做起来觉 得无从下手。其实只要把路程看做单位“ 1”(至于为什么，结合以下例题讲解)， 这就相当于把行程问题转化为工程问题。例：甲开汽车从A地到B地需要6h ,乙开汽车从A地到B地需要4h ,如 果甲，乙两人分别从A, B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇。【分析】题目中就时间已知，速度、路程都未知，有些同学想如果知道 A与 B的距离，就可以得出A与B的速

18、度，那么问题就迎刃而解了，可是路程未知 呀！是不是路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇呢？为此， 我们不妨 设A与B的距离为a,经过xh后两车相遇。我们可以立马得出关系式：a x a x a,可以把两边的a消去，得到方程-1,立马得出x 0 646 45说明路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇。遇到类似问题，我们往往 把路程看做单位“1”。举一反三：1 .甲从A地到B地需要3h ,乙从A地到B地需要4h ,甲，乙两人同时从A 地出发，甲先到达B地后掉头向A方向行驶，问，甲，乙两人从 A地同时出发 到两人相遇需要多长时间？2 .甲开汽车从A地到B地需2h ,乙骑摩托车从B地到A地需3

19、h。如果乙 骑摩托车从B地出发往A地，1h后甲开汽车从A地往B地，那么甲出发多少时 间与乙相遇？5.环形跑道问题：环形跑道问题也是形成问题的一种，环形跑道问题就是闭路线上的追击问 题。在环形问题中，若两人所走同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两 人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。5例1:运动场跑道周长400m ,小红跑步的速度是爷爷的5倍，他们从同一3地点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次追上了爷爷。你知道他们 的跑步速度吗？那是不是再过5min两人第二次相遇呢？如果不是，请说明理由； 如果是，用方程式表示。5【分析】不妨设爷爷的跑步速度为

20、x m/min，则小红的跑步速度为-x m/min3【等量关系式】小红跑的路程一爷爷跑的路程=400m5【列出万程】5 5x 5x 4003注：再过5 min两人第二次相遇，用上面那个方程式就可以表示出来。例2:甲，乙两车分别以均匀的速度在周长为 600m的圆形轨道上运动。甲 车的速度较快，当两车反向运动时，每15s相遇一次；当两车同向运动时，每1min 相遇一次，求两车的速度。【分析】设甲，乙两车的速度分别为xm/s和ym/s。【等量关系式】 同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周长反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周长【列出方程组15x 15y 60060x 60y

21、600举一反三：1 .甲，乙两人在周长400m长的环形跑道上竞走，已知乙的速度是80m/min , 甲的速度是乙的1.25倍，乙在甲前100m。问多少分钟后，甲可以追上乙？2 .甲，乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔 2min相遇 一次;同向而行，每隔6min相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙两人每分钟 个跑几圈？6.水流问题一般是研究船在 流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型， 它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。基本概念和公式有：船速：船在静水中航行的速度水速：水流动的速度顺水速度：船顺流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度顺速=船速+水速逆速

22、=船速水速船行速度二（顺水速度+逆流速度）攵流水速度二（顺流速度一逆流速度）攵路程=顺流速度x顺流航行所需时间路程=逆流速度 该流航行所需时间例1:某船在80km的航道上航行，顺流航行需1.6h ,逆流航行需2h。求船 在静水中航行的速度和水流的速度。【分析】设船在静水中航行的速度和水流的速度分别为x和y,顺流的速度为80km/h,逆流的速度为80 km/h ,再利用上面的公式。1.62【等量关系式】顺速=船速+水速逆速=船速水速80x y【列出方程】1.680一 x y2例2:甲，乙两艘货船，甲船在前30千米处逆水而行，乙船在后追赶。甲 乙两人的静水速度分别是36千米/小时和42千米/小时，

23、水流速度是4千米/小时, 求甲船行多少时间被乙船追上？【分析】已知甲乙两人的静水速度和水流速度，可以分别求出甲乙两人的逆 水速度，分别为32千米/小时和38千米/小时。不妨设甲船行x小时后被乙船追 上，再根据公式路程二逆流速度期流航行所需时间，则甲行驶的路程为32x千米, 乙行驶的路程为38x千米，这样就可以把此问题转化为追击问题。【等量关系式】甲行驶的路程+30=乙行驶的路程【列出方程】32x 30 38x举一反三：1.一艘小船逆水而行，到 A地时随声带的一个重要的水壶掉入水中随波而 下。半小时之后船行到 B地，发现丢失了水壶，立即返回寻找，终于在距离A地5千米的地方追上水壶，然后又用了 1

24、0分钟返回A地，求从B地顺水行到A 地时用了多少分钟？七、初中数学结合函数图象解决“行程问题”数形结合的思想在函数章节的具体应用函数章节，是学生学习的难点， 也是重点内容之一。 有了函数的思想好多中考中的实际 问题便能迎刃而解。学函数要掌握好函数的图像和性质，并能利用函数图像，解决实际应用问题，真正的体会到数形结合在函数章节的具体应用。下面剖析几个实例， 让同学们清楚地例1已知：如图1, A B两地相距4千米,20乙从B地出发骑自行车到 A地，甲、乙两人离 之间的关系如图所示。由图中的信息可知，乙到达认识到这一点。上午8: 00,甲从A地出发步行到 B地，8:A地的距离（千米）与所用的时间（分

25、）A地的时间为（）:40 D. 8: 45与所用的时间（分）之间的关系 如图所示，可以推出：从原点出发的这条线段是甲的图象，另一条是乙的图象。容易求得甲的解析式为：1y石x，当 y 2 时，x 30,从而求出乙的速度为：20.2 （千米/分），30 20则乙到达A地的时间为:4、石20 （分）s和t分别例2如图2, OA BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中表示运动路程和时间，根据图象快者的速度比慢者的速度每秒快（A. 2.5 米点拨：从图上分析可知，甲、乙相距12米，甲速度快，经过了D. 1米8秒，甲追赶上了乙,两个人相遇。就可以得到：8秒甲比乙多走了 12米，即每秒多走1.5

26、米。正确答案选Q例3图中的图象（折线 ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离 出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给 出下列说法：汽车共行驶了 120千米；汽车在行驶途中停了 0.5小时；汽车在这个行80驶过程中的平均速度为 80千米/小时；汽车自出发后 34.5小时之间行驶的速度在逐渐减3少。其中正确的说法有（）A. 1 个B. 2个D. 4个*小时点拨：从图象看出，汽车往返于120千米的两地，去时停留了 0.5小时，共用了 3个小时，回来用了 1.5小时，所以汽车一共行驶了 240千米；汽车在行驶途中停了 0.5小时；汽车在这

27、个行驶过程中的平均速度为2404.5160 一，,，.一-（千米/小时）；车自出发后34.5小时之间行3120驶的平均速度为 80 （千米/小时）。1.5故选A例4甲、乙两名同学进行登山比赛，图表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；（3）在（2）的条件下，设乙同学从 A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山；在点B处与

28、乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来 的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？点拨：（1） s甲3t,s乙 2t。当甲到达山顶时，走了 12千米，当s甲12时，代入s甲3t ,可得t 4,此时乙距离山顶：12 2 4 4 （千米），即A点距山顶的距离为 4千米。（3）解法一：乙同学在一小时内走了2千米，距离山顶还有 2千米时，甲同学下山,由题意可知道, 纵坐标为可以求出点D的坐标为（5, 12）。甲与乙在点B处相遇，此时点 B与山顶距离为1.5千米，所以B点的12212代入2t,/曰 21 仔t ,421 21即B 一,一,所以直线DB的解析式为4 2s甲6t 42 ,由s乙 2t当s乙12时，t =6,把t =6代入s甲 6t 42,s甲6,所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离是6千米。解法二：乙同学在一小时内走了2千米，距离山顶还有 2千米时，需要1小时可以到达山顶，由题意可得，乙走了0.5千米与甲相遇，用时为：0.5 1,-（小时），24，.一 一 3 .到山顶还需要9小时，可以求出甲下山的速度为:4，一1 八一，,1.5 - 6 （千米/小时）。所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离为3. .121.5 6 -6 （千米）（相比之下方法二更简单，读懂图象