弹性力学第章：有限差分发和变分法

1、2021-11-8第五章用差分法和变分法解平面问题northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0 xy0312456789101112a1314bhhnortheastern universi

2、tynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0 xy0312456789101112a1314bhh,ff x yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0,0 xh0,0 xh

3、h22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程220fx5 51 1差分公式的推导差分公式的推导130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyhnortheastern universitynortheastern university

4、northeastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导 65782130068572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导

5、fxynortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解 当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方

6、程，而后求解之。0 xy0312456789101112a1314bhhnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解1、应力分量（不计体力） 一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。0 xy0312456789101112a1314bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各结点的如果知道

7、各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。值，就可以求得各结点的应力分量。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解双调和方程 对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。444422420 xxyy整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式0 xy0312456789101112a1314bhh0123456789101112208() 2() () 0

8、northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解 当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的 值，并包含边界外一行的虚结点处的 值。为了求得边界上各结点处的 值，须要应用应力边界条件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）northeastern universit

9、ynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解由图（52）可见cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds ab0 xbysyxydxdydsnyfxfbx图5-2因此，式（b）可以改写成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程

10、5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解约去 dy、dx 得： xyddffdsydsx ； （c）关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 a 到 任意点b ，对 s 积分得到：xyddbbbbxyaaaafsfsyx；ddbbxyaababafsfsyyxx ； （d）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解由高等数学可知，ddd.dddxysxsys 将此式亦从 a 点到 b 点沿 s 进行积

11、分，就得到边界上任一点 b 处的 值。为此利用分部积分法，得： dddd ,ddbbbbbaaaaaxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xab0 xbysyxydxdydsnyfxfbx图5-2northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解将式(c),(d)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调

12、整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设 已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点b的 ,.bbbxy,aaaxy0a0,0aaxy()()()d()dbbbabababxbyaaaaxxyyyy psxxpsxy（e）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解于是式(d)，式(e) 简化为：dd()d()dbxabbyabbbbbbxyaafsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（

13、513） 讨论：（1）（511）右边积分式表示ab之间， 方向的面力之和；x（2）（512）右边积分式表示ab之间， 方向的面力之和；y（3）（513）右边积分式表示ab之间， 面力对b的力矩之和；y（4）以上结果不能用于多连体的情况。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解边界外一行的虚节点的 值139141022abhxhx（514）0 xy0312456789101112a1314bhh1392axh

14、14102ayhnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（2）应用公式（514），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相 应结点处的 值来表示。0aaaxy取 （1）在边界上任意选定一个结点作为基点a，然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的导数值。xy（3）对边界内的各结点建立差分方程（510），联立求解

15、这些结点处的 值。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解（5）按照公式（59）计算应力的分量。 说明： 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（510）必须加以修正。（4）按照公式（513），算出边界外一行的各虚结点处的 值。northeastern universitynortheastern universitynortheastern u

16、niversity弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程 设弹性体在一定外力作用下，处于平

17、衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyu 101d2ijijijijiju 11d d dd dd2ijijuu x y zxyz northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54

18、 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能112xxyyxyxyu 112xxyyxyxyaauu dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyeee222121222 1xyxyxyeu ,xyxy111,xyxyxyxyuuu（515）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能222121222 1euvuvvuuxyxyxy 21ee1平面应力 平面应变2222

19、1222 1aeuvuvvuudxdyxyxyxy （516）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能,xyffs,xyffxyxyasvw

20、f uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyaswf uf v dxdyf uf v ds（517）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5 位移变分方程位移变分方程northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程 设有任一弹性体，在一定外力作用下处于

21、平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。, ,u v w 假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移虚位移，或位移变分位移变分, uv,uuuvvv对于三维时：,uuuvvvwww一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）注：变分和微分都是微量，运算方法相同。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5位移

22、变分方程位移变分方程给出弹性体的限制条件：给出弹性体的限制条件：（1）没有温度改变（热能没变）；（2）没有速度改变（动能没变）。根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功）三维：xyzxyzufufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程）xyxyasufufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程二、虚功方程

23、二、虚功方程按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。11uu dxdydzu dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyuuuuuuudxdydzdxdydz 代入位移变分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程对应于二

24、维情况sxyxyaxxyyxyxyafufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虚功方程虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功虚功。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程三、极小势能原理三、极小势能原理令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变xyzxyzxyz

25、xyzufufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds将变分与定积分交换次序，移项0 xyzxyzuf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzvf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 极小势能原理极小势能原理： （523） 0uvnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程极小势能原理极小势能原理： （523） 0uv5 55 5位移变分方程位移变分方程 在给

26、定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。 位移变分方程（极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 56 6 位移变分法位移变分法northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明

27、教程56位移变分法位移变分法：位移变分法：（1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；（2）使它们满足位移边界条件；（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求 出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。（1）位移分量表达式）位移分量表达式00,m mm mmmuua uvvb v（525）其中：其中： 和和 是坐标的函数，是坐标的函数， 为为2m个互不依赖的待定系数个互不依赖的待定系数。00,u v,mmuv,mmabnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程

28、弹性力学简明教程弹性力学简明教程（2）考察是否满足边界条件？56位移变分法令 等于给定约束位移值 ；us,u vus在边界 上，令 等于零。,mmuv边界条件满足边界条件满足（3）怎样满足变分方程（522）？xyxyasufufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程位移分量的变分56位移变分法,mmmmmmuuavvb注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的。,mmab（a）形变势能的变分m

29、mmmmuuuabab（b）（a），（b）代入变分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmasmmuuababf uaf vbdxdyf uaf vbdsnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程56位移变分法移项，整理0 xmxmmymymmasasmmmmuuf u dxdyf u dsaf v dxdyf v dsbab变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零,mmab00 x mx masmy my masmuf u dxdyf u

30、 dsauf v dxdyf v dsb（526）讨论：（1）由于系数互不依赖，所以可由方程（526）求出各个系数；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求应变和应力分量。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程57位移变分法的例题例1：如图（59）所示薄板，不计体力， 约束和外力如图。图：591 111 11uauaxvbvb y（1）取位移分量表达式如下（2）考察是否满足边界条件？满足22221222 1aeuvuvvuudxdyxyxyxy

31、 （516）（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形变势能（b）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程57位移变分法的例题形变势能的表达式22111120022 1abeuabab dxdy 进行积分221111222 1eabuabab由于不计体力，项数为1，（526）简化为1111xsysuf u dsauf v dsb（c）（d）（e）代入边界条件积分northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程5