二次函数知识点汇总(全)

1、二次函数知识点一、二次函数概念:21 .二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a,b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式 2一一1.二次函数基本形式：y ax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增

2、大；x 0时，y随x 的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x 的增大而增大；x 0时，y有最大值0.2 一，一2. y axc的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x 的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x 的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h 的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x

3、h时，y随x 的增大而减小； x h时，y有最小值0.a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x 的增大而增大；x h时，y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x 的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x 的增大而增大； x h时，y有最大值k .2k的性质:三、二次函数图象的平移1.平移步骤：4. y a x h2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k,确定其顶点坐标 h, k ;y=ax2A y=ax

4、2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）平移|k|个单位y=a (x-h)2向右（h>0）或左（h<0）】 平移k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减, 方法二：h值正右移，负左移;上加下减”k值正上移,四、ax22axax2bx c沿y轴平移：向上（下）平移bx c m (或 y ax2

5、 bx cbx2a(x m)二次函数从解析式上看,2ba x 一2am个单位,ax2 bxc变成c沿轴平移：向左（右）b(x m)c (或y平移a(xm个单位,2ax bxc变成m)2 b(x2ax bxc的比较2y axm)c)bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,4ac b24a其中1k24ac b4a 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法如下:五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画

6、图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h, c、与x轴的交点 4 , 0 , x2 , 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为2bb 4ac b,顶点坐标为一,2a2a 4a当x 包时，y随x的增大而减小；当 x2a24ac b 4a-b时，y随x的增大而增大；当 x2a时，y有最小值 2a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ,顶点坐标为2a2b 4ac b2a 4a第-

7、4 -页共21页y有最大值24ac b4a的增大而增大；当 x 旦 时，y随x的增大而减小；当 x Ht, 2a2a七、二次函数解析式的表示方法. 一21 . 一般式：y ax bx c( a , b, c为常数，a 0)；22 .顶点式：y a(x h) k (a, h, k为常数，a 0);3.两根式:y a(x xi)(x x2) (a 0, x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛 物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种 形式可以互化

8、.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a2一次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 .当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数 a确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，b当b 0时，一 0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b 0时， 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线对称

9、轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时， 0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴b 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是“左 2a同右异”总结：3.常数项C当C当C当C 总结起来,0时,0时,0时,抛物线与抛物线与抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与c决定了抛物线与 y轴

10、交点的位置.y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为 0； y轴交点的纵坐标为负.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题 目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以

11、用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称22.y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x hk关于x轴对称后，得到的解析式是2 .关于y轴对称22.y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax bx c；22y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k；3 .关于原点对称22.y ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）222by ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2a2

12、2y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k .5.关于点m, n对称2y a x h 2m 2n k2y a x h k关于点 m, n对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与一元二次方程ax2 bx c 0是二次函

13、数yx轴交点情况）：ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况第-15 -页共21页图象与x轴的交点个数:x2）,其中的xi , x2是一元二次方2b 4ac 0时，图象与x轴父于两点 A为，0 , B x2, 0 （、2 一b2 4ac程ax bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB % X a当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 y 0；2'当a 0时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y 0 .2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 （

14、0, c）;3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标0抛物线与x轴宿两 个交点二次二项式的值可止、可零、可负xi T-*r r. . - -i*一元二次方程内两个不相等实根0抛物线与x轴只有 一个交点二次三项式的值为

15、非负一元二次方程内两个相等的实数根0抛物线与x轴无交占八、二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.有函数 关的 次 有 还 次式,二次三项式 ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以 a 0时为例，揭示二次函数、次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:y=-2(x-3) 2卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x为自变量的二次函数 y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点，则m的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的

16、图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个 函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数3 .考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性 的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为 x ,求这条抛物线的解析式。34 .考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如:已知抛物线y ax2 bx c (aw 0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和

17、顶点坐标5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号C例1 (1) 一次函数y ax2 bx c的图像如图1,则点M(b,)在() aA .第一象限B .第二象限C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (a*0)的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1 和 x=33个 D . 4个0.其中正确的个数是()是解决问题的关键.例3 .已知：关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2 ,时，函数值相等； 4a+b=0;当y=-2时，x

18、的值只能取A. 1个【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系,例2.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , O)、(x 1, 0),且1<Xi<2,与y轴的正半轴的交点在点(O, 2)的下方.下列结论：a<b<0;2a+c>Q4a+c<Q2a -b+1>O,其中正确结论的个数为()A 1 个B. 2 个C. 3 个D.4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式则抛物线的顶点坐标为()A(2, -3) B.(2答案：C例4、(2006年烟台市)CD重合.设x秒时,1) C(2,3) D .(3,2)如图(单位：m&g

19、t;,等腰三角形 ABC以2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.AB与(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y= x2+x 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A B,求线段【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,AB的长.第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交 x 轴

20、于 A(xi，0) , B(X2,0)两点(Xi交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.M,使锐角/ MCO>K CO若存在，请你求出(1)解：如图:抛物线交：则 xi - x2=3<0,又< xi<x2x 轴于点 A(xi, 0), B(x2, 0),x2>0, xi<0, .1 30A=OEBx2=-3x i.xi x2=-3x i =-3 . xi =1.x i<0,xi=-1 . . x2=3.点A(-1 , O), P(4, 10)代入解析式

21、得解得a=2 b=3.二次函数的解析式为y-2x 2-4x-6 .(2)存在点 M使/ MC0</ ACO解：点A关于y轴的对称点 A' (i , O),直线A, C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0 :符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，/ MCO>ACO1 2例7、已知函数 y x2bx C的图象经过点 A (c2B 笈-6)2)(5 ， 24).求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)

22、根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A (c, 2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可

23、以考虑 再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。一一 12解答(1)根据y -x221 2c2bbc c2,解得3,2.所以所求二次函数解析式为1x2 3x22.图象如图所示。，1（2）在解析式中令 y=0,得一x22 3x 20 ,解得 x13 ,后,x23 J5.所以可以填“抛物线与轴的一个交点的坐标是（3+Y'5,0）"或"抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3.5,0).bx c的图象经过点 A （c, 2）,图象的对称轴是 x=3,令x=3代入解析式，得一 1 2所以抛物线y -x223x-52的顶点坐标为（3,-）,2

24、5、所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,'）等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函 数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2, BF=1 .试在AB上求一点P,使矩形PNDM最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2 某产品每彳成本10元，试销阶段每件产品

25、的销售价x （元）？与产品的日销售量 y （件）之间的关系如下表：x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.?此时每日销售利润是多少元?（1）求出日销售量 y （件）与销售价 x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?15k【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b .则2kb 25,解得k=-1 , b=40, ?即一次函数表达式为b 20y=-x+40 .（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w=(x-10 ) ( 40-x ) =-x 2+50x-400=- (x-25 ) 2+225 .（1

26、）设未知数在“当某产品的销售彳应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？ “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例 3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 F距地面均为1m,学生丙、子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是 标系如右图所示）（）A. 1.5 m B. 1. 625 mC. 1 . 66 m D

27、. 1. 67 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1g 2. 5 m处.绳1. 5 m,则学生丁的身高为（建立的平面直角坐二次函数知识点汇总支1 .定义：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数.2 .二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2 （a 0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号 关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.bxc用配方法可化成：y ax h2 ki形式，其中3 .二

28、次函数ax bx4 .二次函2y axhk2a,24ac b4 a5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：D y ax2 : y ax2k; y a x h2; y a x h 2 k; y ax2 bx c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；|a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法2

29、22公式法：y ax2 bx c a x P"上巴，.顶点是（_b_娅旦）对称轴是直线2a 4a2a 4ab x 一.2a配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y ax h2 k的形式，得到顶点为（h, k）,对称轴是x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的 垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.（2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

30、y ax2 bx c的对称轴是直线x 上，故: 2ab 0时，对称轴为y轴；b 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab 0（即2、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a（3） c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c, 。抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）:c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 占0. a10 .几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y2 ax当a 0时x 0(y 轴)(0,0)

31、y2.ax k开口向上x 0(y 轴)(0, k)y,2 a x h当a 0时x h(h,0)2y a x h k开口向卜x h(h,k)y ax2 bx cb x2a,2/ b 4ac b 、(c ,/)2a 4al与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2 bx c与x轴两交点为Ax1,0, B x2,0 ,由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故bcX x2一 ,x1 x2 一aaABXix2x X2 22x24x1x24c.b2 4ac一a11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常

32、选择一般式 (2)顶点式：y a x h 2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式：y a x x1 x x2 .12 .直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0 , c ) 与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h , ah 2 bh c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与

33、x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.(5) 一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的交点，由方 程组KX2 n的解的数目来确定:ax bx c方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时13. 二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程y ax 自变量的取值范围：分式分母不

34、为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k (x+0) +b ，二次函数的解析式写成y=a ( x+h) 2+k 的形式，则用下面后的口诀： bx c 就是二次函数y ax2 bx c 当函数 y 的值为 0 时的情况(2) 二次函数yax2bx c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点； 当二次函数yax2bx c 的图象与 x 轴有交点时， 交点的横坐标就是当 y 0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2bx c 0 的根(3) 当二次函数y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程yax2b

35、x c有两个不相等的实数根；当二次函数yax2bx c 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax2 bx c。有两个相等的实数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴没 有交点时，则一元二次方程ax2 bx c 0 没有实数根14. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小) 值；(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小) 值15. 解决实际问题时的基本思路： (1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量； (3) 用函数表达式表示出

36、它们之间的关系； (4) 利用二次函数的有关性质进行求解； (5) 检验结果的合理 性，对问题加以拓展等口诀丫 反对x, X反对Y,都反对原点“左右平移在括号, 上下平移在末稍左正右负须牢记, 上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数 k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展, 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点 , 它们确定图象限；开口、大小由a

37、断,c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与 a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为 0 ，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要 , 一般式配方它就现，横标即为对称轴 , 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀反比例函数有特点 , 双曲线相背离的远 ;k 为正 , 图在一、三（ 象 ） 限； k 为负 , 图在二、四（ 象 ） 限 ;图在一、三函数减, 两个分支分别减；图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴 , 永远与轴不沾边。函数学习口决： 正比例函数是直线，图象一定过原点， k 的正负是关键，决定直线的

38、象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；第- 17 -页 共 21页反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移 a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次募。 限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 分数指数底正数，数零没有零次募。 限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向先去分母再括号，移项别忘要变