复习-2中值定理、罗比达单调性凹凸性极值课件

1、(1)费马费马(Fermat)引理引理 ,000 xfxfxfxf，xU 或或若若上上在在 00 xf则则0 x 00 xf第三章第三章 中值定理中值定理1 1、中值定理、中值定理 ，xf存存在在0 (2)(2)、罗尔中值定理、罗尔中值定理ab1 2 xyo)(xfy C(3)(3)、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理abafbff )()()( 或或ab1 2 xoy)(xfy ABCDABCAB线线平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧,).(fab)a(f)b(f 应用应用.)(, 0)(单单增增上上在在区区间间xfxfI .)(,0)(单单减减

2、上上或或在在区区间间xfxfI (4)、柯西(Cauchy)中值定理 使使得得若若有有二二阶阶可可导导例例,1. 1321xxxxf 21121,1:xxxfxf 证证 01 f有有 32xfxf 同同理理 02 f有有 ,Cxf,xf211 对于对于 021 ff1x2x3x 01 f 02 f1 2 0 f 3121x,x, .f0 满足满足 xxxfx 21, 00,2 二二阶阶可可导导 . 0,:31 fxx使使得得证证明明 .321xfxfxf . 01 , 0: f使使得得证证明明 322, xx 例例2 2证证结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 x

3、xxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(),1 , 0(fff 使使至至少少存存在在一一点点:,)1 , 0(,1 , 0)(证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数xf与直线相交三点，与直线相交三点，二阶可导，若曲线二阶可导，若曲线)()(xfyxf 0)( f满满足足则则1思考题思考题 .),(,)(2上可导上可导上连续，在上连续，在在在思考题思考题babaxf 上上单单调

4、调（增增加加或或减减少少）在在则则若若证证明明baxfxf,)(, 0)( 2 2、洛必达法则、洛必达法则型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 将它们化为将它们化为)()00( 或或.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 型极限计算型极限计算 xgxfxgxf1limlim 型型 00101 000000 型型 通分通分 )lim(xgxf xgxflim例例3 3解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31

5、 xx tan)00()00( 1sec2x22031seclimxxx 或或2203tanlimxxx 31 型型00,1 ,0 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 xgxflim xfxglnlim:1 型另有重要极限的方法型另有重要极限的方法对于对于 euuu 11lim0)(ln)(limxfxge 例例4 4解解1.xlimxx2121 求求)1( xlnxxelim2121 原式原式2112xxlnlimxe xxlimxe2121 .e1 2解解用重要极限法用重要极限法)1( 2212111112111xxxxxxxlimxlim )(00 xxxxelim 11211

6、.e1 .)1cos2(sinlim5xxxx 求求例例解解1tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim ttttecos2sinln1lim0 1cos2sinsin2cos2lim0ttttte 2e )1( 解解2tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim )1( tttttttt1cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(lim tttt1cos2sinlim0 21cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(limetttttttt )00(21sin2cos2lim0 ttt3

7、 3、泰勒中值定理（公式）、泰勒中值定理（公式）)()()!1()()(010)1(之之间间与与在在其其中中xxxxnfxRnnn 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn )(00nxx 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项 常用函数带常用函数带皮亚诺余项皮亚诺余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx ).(0! 212nnxxnxxxe 2! 2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1

8、(nnxoxnnmmm Nm )(1112nnxoxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)()1(1112nnnxoxxxx 解解 )(! 21142222xoxxex 则则)x(o!x!xxcos442421 3cos22 xex)(12744xox )(! 21122tottet 3)(! 4! 21(2)()(! 2115424222 xoxxxoxx)(! 211442xoxx 4440)(127limxxoxx 403cos2lim2xxexx 127 )(! 2114422xoxxex )x(o!x!xxcos442421 例例730)1(sinlim

9、xxxxexx 求求)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3()(! 3! 21(limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 解解思考题思考题3xxxxx21lnlim 求求.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数babaxfy 函数单调性的判定法函数单调性的判定法，内内如如果果在在0)(),(20 xfba，内内如如果果在在0)(),(10 xfba上上单单调调增增加加；在在那那末末函函数数,)(baxfy .,)(上单调减少上单调减

10、少在在那末函数那末函数baxfy ,)(上上内内连连续续在在区区间间设设Ixf恒有恒有上任意不同两点上任意不同两点如果对如果对,21xxI上任意不同的上任意不同的如果对如果对I,2)()()2(,212121xfxfxxfxx 恒恒有有两两点点;)()(凹的凹的向上向上上的图形是上的图形是在在那末称那末称Ixf,2)()()2(2121xfxfxxf ;)()(凸的凸的向上向上上的图形是上的图形是在在那末称那末称Ixf2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定理定理 内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果),(,)(babaxf,二二阶阶导导数数内内若在若在),(ba ;,)(, 0)()1(

11、上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则baxfxf .,)(, 0)()2(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则baxfxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.例例8 8证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设01)( xxxf可导，可导，在在上连续上连续在在), 0(,), 0)(xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f而而时时，当当则则0 x , 0)1ln( xxxf).1ln(xx 即即例例9 9.)7(2的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点求曲线求曲线 xeyx解解)72()72()(22

12、xxexxeyxx ,)7(2xxeyx 0 xy令令)7()7()(22 xexeyxx)72(2 xxex)1)(5()54(2 xxexxexx1; 521 xx得得, 0,)5,( y内内在在 ;5,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,)1 , 5( y内内在在 .1, 5上是凸的上是凸的曲线在曲线在 .)18, 5(5的拐点的拐点是曲线是曲线点点 e, 0,), 1( y内内在在 ., 1上上是是凹凹的的曲曲线线在在 .6, 1的拐点的拐点是曲线是曲线点点e )1)(5( xxeyx)7(2 xeyx极极大大值值oxyoxy0 x0 x极极小小值值3. 函数的极值及其求法函数的极

13、值及其求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定理定理2 2( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) ),)(连连续续设设xf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,注意注意: :如果区间内如果区间内只有一个极值只有一个极值,4. 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值实际问题求最值: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值:点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻（或或最最小小）值值函函数数值值即

14、即为为所所求求的的最最大大那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;则这个极值则这个极值就就 是最值是最值(最大值或最小值最大值或最小值).例例1010解解)5()(2 xxexfx求求函函数数)5()5()()(22 xxexxexfxx. 1, 421 xx得得驻驻点点：时时，当当4 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在4,( 时时，当当14 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在1 , 4 .的单调区间的单调区间)43(2 xxex 4)1( xxex.与极值与极值 极极大大值值474 ey 04 y注注：时，时，当当 x1, 0)

15、( xf上上单单调调增增加加；在在), 1 单调区间为单调区间为，4,( ，1 , 4 )., 1 时时，当当14 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在1 , 4 极极小小值值ey21 )5()(2 xxexfx 01 y注：注：的的墙墙为为，上上接接一一个个半半圆圆形形面面积积若若要要建建一一下下底底为为长长方方形形例例511xy,221yxxl 解解5812 xxys xxxxy 8158152 xxl1041 21041xl 440 x取取得得最最小小。使使得得周周长长问问如如何何选选择择底底边边lx,0203 xl用用所所剩剩材材料料形形的的圆圆形形薄薄片片截截去去一一个个伞

16、伞半半经经为为思思考考题题,4R RRhr 为多少时可获得最大为多少时可获得最大问问如图如图做一个圆锥形的漏斗做一个圆锥形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗弧微分弧微分.105 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 .12dxyds tytx 对于参数曲线对于参数曲线2 .22dttds 22)()(dydxds xfy 对对于于直直角角坐坐标标曲曲线线1,)1(1232yyk 曲率半经曲率半经.20曲曲率率 .)1(1232yyk 2322)(2 k.122的的曲曲率率函函数数求求例例xeyx 2xeyx 解解 232212xeekxx 曲率曲率 .1 , 0点的曲率及曲率半径点的曲率及曲率半径

17、及曲线在及曲线在232)1(yyk xeyx2 2 xey 02322120 xxxxeek223 思考题思考题些点处曲率最大？些点处曲率最大？ 椭圆椭圆 上哪上哪,cos2tx tysin3 思考题解答思考题解答2322)()()()()()(ttttttk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k,cos2tx tysin3 与与直直线线相相交交三三点点，二二阶阶可可导导，若若曲曲线线)()(. 1xfyxf 0)( f满满足足则则思思考考题题 .),(,)(2上

18、上可可导导上上连连续续，在在在在babaxf 上上单单调调（增增加加或或减减少少）在在则则若若证证明明baxfxf,)(, 0)( xxxxx21lnlim. 3 求求用所剩材料用所剩材料形形的圆形薄片截去一个伞的圆形薄片截去一个伞半经为半经为,4R 为多少时可获得最大为多少时可获得最大问问如图如图做一个圆锥形的漏斗做一个圆锥形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗 , 0),(50003 xfxfxUCxf 思思考考题题 .xf.xf是是否否极极值值说说明明000 与与直直线线相相交交三三点点，二二阶阶可可导导，若若曲曲线线)()(. 1xfyxf 0)( f满满足足则则满足罗尔条件满足罗尔条件)()()(bkxxfxF 证证 证明证明上可导上可导上连续，在上连续，在在在.),(,)(. 2babaxf 上上单单调调（增增加加或或减减少少）在在则则若若baxfxf,)(, 0)( 非非单单调调，若若)(xf证证,321xxx 则则有有 )()(, )(max231xfxfxf 使得使得 )()(, )(min231xfxfxf 或或 值值。的的内内部部取取得得最最大大或或最最小小在在必必在在区区间间则则31,)(xxxf),(),(31baxx 即即0)( f满满足足与条件