复变函数课件1-6复变函数的极限和连续性课件

1、1第六节第六节 复变函数的极限复变函数的极限和连续性和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考2一、一、函数的极限函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时时的的极极限限趋趋向向于于当当为为那那末末称称有有时时使使得得当当相相应应地地必必有有一一正正数数对对于于任任意意给给定定的的存存在在如如果果有有一一确确定定的的数数内内的的去去心心邻邻域域定定义义在在设设函函数数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记记作作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中

2、定义中zz 32. 极限计算的定理极限计算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的的充充要要条条件件是是那那末末设设证证 ,)(lim 0Azfzz 如如果果根据极限的定义根据极限的定义 , )()(0 00时时当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.4 , )()(0 2020时时或或当当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyy

3、xx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那那么么当当 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有5 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0时时故故当当 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以证毕证毕说明说明. ),( ),( , ),(),()( 的的极极限限问问题题和和函函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题该该定定理理将将求求复复变变函函数数yxvyxuyxivyxuzf 6定理二定理二).0()()(lim (3);)()(l

4、im (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.7例例1 1证证 (一一). 0 )Re()( 不不存存在在时时的的极极限限当当证证明明函函数数 zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋趋于于零零时时沿沿直直线线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 8)1(lim220kxxx ,112k , 值的变

5、化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不不存存在在所所以以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz9二、函数的连续性二、函数的连续性1. 连续的定义连续的定义: . )( , )( . )( ),()(lim 000内连续内连续在在我们说我们说内处处连续内处处连续在区域在区域如果如果处连续处连续在在那末我们就说那末我们就说如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 处处连连续续的的意意义义是是上上在在曲曲线线函函数数10定理三定理三.) ,(

6、),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),(22在在复复平平面面内内处处处处连连续续yxyxv . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf11定理四定理四. ) ( )( )( (1)000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzz

7、gzfz. )( , )( )( , )( (2)0000连连续续处处在在那那末末复复合合函函数数连连续续在在函函数数连连续续在在如如果果函函数数zzgfwzghhfwzzgh 12特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1) 有理整函数有理整函数(多项式多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平面内的所有点对复平面内的所有点 z(2) 有理分式函数有理分式函数,)()(zQzPw , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.13例例3 3. )( , )( :00也连续也连续在在那末那末连续连

8、续在在如果如果证明证明zzfzzf证证 ),(),()( yxivyxuzf 设设 ),(),()( yxivyxuzf 则则 , )( 0连续连续在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00处处都都连连续续在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0连连续续在在故故zzf14三、小结与思考三、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质续性的运算法则与性质. 注意注意:复变函数极限的定义与一元实变函数复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很但在实质上有很大的差异大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多它较之后者的要求苛刻得多.15思考题思考题?)( , )( 00有无关系有无关系径径选取的路选取的路所采取的方式所