增量比值函数 (1)

1、传统上利用增量比值函数（进而0/0 = k）与新提出的基于新导数定义的增量函数（进而0 = k·0）求导的本质不同以及相关问题的研究与评论顺便简评马克思的求导观点及极限法求导不成立的一个比喻沈卫国内容提要：在前期论文的基础上，具体论述了传统上利用增量比值函数求导与笔者新提出的、基于新导数定义的利用增量函数求导的本质不同。在基于增量比值函数求导时，有贝克莱悖论的困扰，即使极限法微积分求导其实也没有解决这个问题，而只是利用繁复的一套本质上同义反复的概念的罗列来模糊、弱化、掩盖这一悖论而已。而增量函数不是比式，没有分母，所以根本不会再有涉及分母上的自变量为0与否的贝克莱悖论。在新导数定义下

2、，完全可以就以曲线上两点的增量，就是过此二点的割线的增量这一事实，把求导由关注曲线的增量转移至割线的增量。而一旦得到切线方程的系数，就等于得到了切线的斜率。按新定义，它就是该曲线的导数。在这些问题澄清后，专门讨论了物理量纲相关的问题，并提出一个类似公理性质的原则。还讨论了马克思对微积分求导问题的观点，使他的正确意见更加坚实可信。其后给出了一个极限法求导不能成立的形象化的比喻，以求加强读者理解。然后，对一些相关问题进行了讨论，并提出应用前景。关键词：导数的新定义；增量比值函数；增量函数；导数；贝克莱悖论；最终比；最终不比；曲线的增量；割线的增量；切线的增量；直线方程的系数；切线方程的系数；斜率；

3、曲线方程；直线方程；割线方程；切线方程；马克思；欧拉；罗素；陷阱；函数值；可达极限；不可达极限；不定式；新公理；规则；完备性1、传统上利用增量比值函数（进而0/0 = k）与新提出的基于新导数定义的增量函数（进而0 = k·0）求导的本质不同为求简单直观起见，如以往一样，仍以二次曲线情况为例予以讨论。把求二次曲线的增量比值函数y/x=k（x，x）=（2x+x）在x = 0之值代入后，有0/0 =k（x,0） = 2x + 0 = 2x .（1）此即著名的贝克莱悖论。其产生的缘由，是公式中的x、y是二次曲线与其割线的两个交点的坐标差，也就是增量。在曲线上的两个点合二为一时，其纵、横坐标

4、的增量当然都是0，没有比值（比值此时为0/0），或不能以两个0相比、相除。这说明如果2x是导数的话，用这种方法不应该求出它来。或者虽然明明“求”出来了，或看见它就在等式右边了，但解释不了何以2x竟会等于0/0。总之，用直角坐标系中的一个点，是无法直接定义需要起码两个点才有所谓“增量”进而才可以定义的纵、横坐标的增量比的。而如果我们不以分母上有自变量x的增量比值函数求导数，而仅仅以无分母的增量函数求导，情况则大不一样。如二次函数的增量函数为y = k（x，x）x = （2x+x）x，当x = 0时，有0 = k（x，0）·0 = （2x+0）·0 =（2x）·0。

5、求出了切线方程的系数或斜率k = 2x。 .（2） 注：由于2式没有分母，我们当然可以两边取趋0极限值。因为此时函数值就是其可达极限值。此时的极限值仍旧是0 = k（x，0）·0 = （2x+0）·0 =（2x）·0。我们注意到，增量函数根本就没有分母，因此也不存在分母上的自变量x及其变不变0的问题。而二次曲线（任何曲线都一样）与其割线的两个交点的增量为曲线与割线共有，因此二者的方程其实一样。上面的式子中的k，就是写成割线方程时线性方程的系数。而众所周知，线性方程的系数，就是该直线的斜率。而x = 0时或 0时，两个交点合二为一，割线变切线，我们求的不就是切线的系

6、数或斜率吗？于是可以看到，只要把通过增量比值函数y/x 的求导，改成增量函数求切线方程的系数k，就等于求出了切线斜率k，也就是求出了二次曲线在x点的导数。之所以可以如此去求，是由于尽管0 = k（x，0）·0 = （2x+0）·0 =（2x）·0式中x、y此时都是0，对应于切点，即切线上的一个点，但只要切线还是直线，它就有系数，就有斜率。这个斜率不是由其与曲线的交点这一个点来决定的，而是由该切线上的任何其它两个间距不为0的点决定的。我们可以写为y1/x1 = 2x，以示区别。这里，y1、x1分别是切线上的任意两个点的纵、横坐标差（间距、增量），起码有其中的一个点（

7、另一个点是切点），根本就不在曲线上（甚至两个点都完全可以不在曲线上也无妨）。而且很重要的一点是，这里的线性方程的系数就是其斜率的结论，并不需要临时证明，比如证明y1/x1 = 2x式子的正确性，这个关系是早就被证明了的，随便什么中学的教科书都可以看到，它是直线的“斜截式”方程所固有的性质。无需重新证明，直接求其系数即可。笔者发现在与一些人讨论时，不少人居然说你说没有分母了，但你求斜率时不时还要有分母云云。只能说，这些人的基本知识不够或忘了。特别说明一点，这里之所以强调我们的求导求的是切线方程的“系数”，而有意弱化求其实与之完全等价的切线的斜率，是在与一些人的讨论中发现，如果说求的是切线方程的“

8、斜率”，不少人又会说斜率由一个比式决定，比式不是还要有分母吗？有了分母，其上的自变量x不是还有个为不为0的问题吗？不得不说，不少人为了一个几乎固化了的、为大多数人都熟知的观念、理论的辩护或狡辩简直到了无所不用其极的地步。如果这些人把放在这里的精力或“才智”拿出哪怕百分之一搞创新，也足可以搞出些名堂来了。这是些题外话了。言归正传。我们强调“求系数”而弱化其实与之完全等价的“求斜率”，就是为了杜绝任何理解上的偏差，使得那些糊涂的反对理由，再无“发力”处。我明确告诉你，求的就是个直线方程（不过此时为切线而已）的系数，好吧？没有什么分母不分母的。此时的分母就是有也是另外的，不为0的，仅仅处于切线上的任

9、何两个点所决定的，而不是这里一个交点下的0。提出求的是“系数”，就是叫这些“辩护士”再也无话可说，我也省得再多啰嗦。最后当然了，再加一句：求出的系数就是斜率！还不明白的请回去翻初中数学课本。 总之，求切线的斜率，不是非得像传统牛顿、莱布尼兹求导法（所谓第一代微积分）或柯西的极限法（所谓“第二代微积分”）那样，非得明确写出一个比式，即以为这个比式唯一地决定了这个所欲求的斜率（如此的话当然会有当x = 0时，y/x = 0/0的问题）。不是的。一条直线的斜率（方程的系数），由该直线之上的任何两个点都（或“就”）可以决定，完全不必拘泥于任何指定的两个特定的点，也更不可能是由该直线上唯一的一个点决定的

10、。知道这个就够了。其它我不必多解释了。 如果我们还承认导数就是切线的斜率，或者起码在数值上等于切线的斜率，那么由前面的求切线的增量函数在自变量x = 0时的系数k（x，0），不就求出了这个切线的斜率了吗？何必非要通过分母上有x的增量比值函数在x = 0时的0/0 = k（x，0）来求呢？这不是往贝克莱大主教的枪口上撞吗？事实上，人们之所以固执地非要这么去求，主要是以为求出的导数虽然在数值上等于是切线的斜率，但仍旧是曲线本身的性质。因此必然陷入悖论之中（牛顿的把分子上的无穷小自变量莫名其妙地舍弃，而分母上的自变量不得不变为0），即使把它看成是曲线上某点的一个不可达极限也不行（具体分析见笔者前期文

11、章，此不赘述）。实际上，这不能不涉及到导数、瞬时速度的定义问题。如定义成曲线上与其割线的两个交点之间的纵、横坐标的增量比y/x（即曲线方程的因变量或函数与其自变量之比），则在该二点合为一点，割线变为切线时，必然有y/x = 0/0的问题。即在x = 0（明显时）或x 0 时（隐蔽时），y/x必然只能等于0/0，这当然是无意义的。但如果把导数或瞬时速度一上来就直接定义成两个交点合二为一时，真正意义的切线的系数，即其斜率，则这个斜率或切线的系数，自然并不由单独的一个切点来决定，而是切线上任何的两个点（其距离或增量自然不为0）来定义，则再无0/0之类的问题。当然，这不得不涉及导数或瞬时速度的重新定义

12、问题。总之，决定切线系数或斜率的那任意的两个点，只能在切线上不会在曲线上。并且当然有无穷多对。曲线与其切线只是“共用”一个单独的切点。但谁都知道，空间中的单独的一个点（哪怕它是“切点”）是无法定义、确定一条直线（当然包括切线）的斜率或系数的。所以此时缺少的另一点只能在切线本身上找，而不能在曲线上找。实际上，前面已经说了，曲线的增量，就是过曲线上此两点间的割线的增量，它们实际共用同一个y，二者完全相等。这其实是常识，根本无需多说。但以往此点居然未被人们意识到或重视。起码在任何介绍微积分求导过程的教科书中没有任何表述。只是一味地拘泥于曲线上两个点间的距离（增量）在趋于0或等于0时的增量比y/x。纠

13、结于此，问题根本就不会得到解决。因为曲线就是曲线，直线就是直线。曲线再小哪怕是无穷小，也是“无穷小的曲线”；直线再小哪怕是无穷小，也是“无穷小直线”，二者在无穷小段也是不同的（如果存在这个无穷小的话）。不存在在无穷小段二者可以“曲化直”的可能。如果可以，那就是在无穷小段二者等价，如此，为什么不说“直化曲”呢？正确的做法或认识应该是：把曲线的增量y就直接看成是其割线的增量y，公式中的k就是这个割线的系数（斜率，按直线的“斜截式方程”），是它固有的。而当曲线与割线的两个交点合二为一时，虽然曲线上只剩下了一个切点，但该点的切线仍旧如其为割线时一样地具有作为直线性质的系数，也就是其斜率。它并不由该切点

14、一个点来定义或确定，而是取决于切线上的任意两个点的纵、横坐标差（当然都不为0）之比。既然如此，我们自然就不应该再去写那个分母上的0了（因为增量函数根本就没有比式y/x）。贝克莱悖论自消。且导数或瞬时速度获得或恢复了其本来应该有的真实面目。这个所谓的“真实面目”，其实就是人们写满教科书的那个众所周知的、但按以往的导数定义其实并不严格的说法“导数就是其切线的斜率”。但现在应该加上“真正意义的”几个字，因为它不仅仅是数值上相等的问题了。如果有人说你这个导数的新定义不新啊，过去不都是这么说的吗？如果果真如此，好，就请按笔者这里的求导方法去求导。彻底改变教科书中的繁复而矛盾的极限法求导。如果还坚持教科书

15、中的求导方法，那么只能说明原先所求绝非真正的本原意义的切线斜率。它们只是在数值上等于切线斜率。牛顿那里，实际说不清楚；极限法那里，是个实际并不是比式的不可达极限，况且这个极限还不存在（也是0/0，见笔者前期文章）实际还是没有说清楚。他们实际上都认为导数虽然数值上为切线的斜率，但实际上是曲线的固有性质，唯一地由曲线上的点来决定。如此，才有也必然有贝克莱悖论问题。按笔者的诠释及导数定义，根本不可能有贝克莱悖论。这里提出的“最简求导法”，简略地表示为0 = k·0；与传统求导法，简略地表示为0/0 = k，看似差别不大，但却有本质的不同：0 = k·0中的k，就是堂堂正正的切线系

16、数或斜率，也就是笔者所谓的“导数的新定义”。它仅仅取决于切线上的任何两个点，它就是切线作为一条直线的的性质。而传统导数定义对应于0/0 = k中的k，只能由切线与曲线的交点决定。虽然它也是切线的斜率。但却“试图”用曲线上的点来唯一地决定，这当然会导致0/0，一个点的增量当然是0，无论其横坐标（自变量）还是纵坐标（因变量、函数）。二者之比，当然是0/0。这就是贝克莱悖论产生的本质。在这种思路下，无论是牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分求导”还是柯西的极限法“第二代微积分求导”，都不可能提供一个完备的、无矛盾的解释。尽管它们都实际地求出了正确的导数值。也就是说，在0/0 = k下，这个k是可以“求”出

17、的、看到的，但却解释不了等式左边为什么会有0/0。这实际就是贝克莱悖论。而0 = k·0则不会再有任何逻辑问题。这个式子中没有“分母”，当然就没有分母为0的问题，贝克莱悖论还能有吗？坦率而言，笔者有时感到不可思议，既然很多教科书与文献都声称“导数就是切线斜率”，那么好，直接通过没有分母的增量函数求切线方程的系数k，避开分母上有自变量的增量比值函数所必然会有的分母在0点究竟为0还是不为0的问题，不是很好吗？为什么非得纠结于用曲线上两个交点合为一个切点时的增量比值（其实此时显然为0/0）来求呢？甚至牛顿、莱布尼兹法实际上事先已经消去了分母上的自变量x，但仍旧没有意识到这实际上意味着分母已

18、经不能再为0或趋于0了。而柯西的极限法微积分，同样的事先消去了分母上的自变量x，但却以为如此一来分母上有自变量x的一个增量比式，在分母趋0时就不会再有极限值0/0了。切线的斜率或系数，难道只能由曲线与其割线、切线的交点来唯一地决定吗？当然不是！既然声称求的是切线的斜率，就必须承认求的是切线方程的系数。而切线方程的系数值，当然并不唯一的取决于其与割线的两个交点，更根本就不会取决于唯一的一个切点。综上，一个增量比值函数y/x = k，无论在x = 0时还是x 0时，都会有0/0的问题。最简单的解决办法（当然还有其它的），竟然就是把x乘“上来”：y = k·x，此时无论x = 0时还是x

19、0，都有0 = k·0，虽然等式两边为0，但k可并不为0（除非水平直线）！没有必须0 = 0·0这一说。可是，可是，我们的目的不就是求k吗？你非管k的左右为0干什么？此外，y = k·x还有分母吗？还有分母上的自变量x吗？没有，当然不会再有贝克莱悖论。就这么简单。至于如此简单的东西，别人为什么没有想到。这个问题不要问我，我也很奇怪。也许是这里涉及对导数（具体如“瞬时速度”）观念的转变。如果把瞬时速度看成只能由加速或曲线运动（物体受力运动）的来决定，瞬时速度只能是0/0 = k；而如果把瞬时速度看成定义在加速、曲线运动的某时点（瞬时），但却由在该时点假设外力突然消失

20、后的物体匀速直线运动的速度（瞬时速度 = 平均速度）来决定，即：曲线或加速运动的一个时点决定瞬时速度的“瞬时”，而匀速直线运动上的任意两个时点决定这个瞬时速度的大小和方向。只有这样，才可以有0 = k·0的表述（此时的0当然是在曲线上的。而在匀速直线运动上的两个点，都包含在斜率或方程的系数k中了）。综上，笔者的最简求导（瞬时速度）思路，就是在新的导数定义下，把牛顿的“最终比”0/0 = k，改为“最终不比”0 = k·0。如此简单，却涉及导数（瞬时速度）定义的改变。牛顿以后，我以前，几乎所有的人都认为瞬时速度（导数）就是曲线或加速运动在某瞬时点的固有性质。比如按牛顿早期观点

21、，在无穷小时段，曲化直。而对于极限法微积分求导（牛顿后期及莱布尼兹，实际也已经有此思想），则是认为在瞬时的那一点，以曲化直为不可达极限。因此他们都不可能像笔者的做法一样地直接了当地去求切线的系数（斜率），因为他们的导数定义不是如此的，因此不允许这么求。只能依赖于或局限于曲线上两个交点或一个交点来实际上不仅仅是求导数，还是定义导数（瞬时速度）。而求出的结果，不过恰恰与该点的切线的斜率数值相等罢了（按极限法微积分，甚至不能把明明是比式的导数看成比式。见有关教材）。而笔者瞬时速度的定义，按几何意义，就是曲线在某点的切线的系数（斜率）。它同时定义在曲线的某一个点，以及该点切线上的任意两个点上的。因此显

22、然不再是完全取决于曲线本身上的一个点的。于是，笔者的求导或求瞬时速度，就是直接按此定义去求。而不是求出来才知道数值上是个切线斜率。既然我们此时求的就是切线的系数（斜率），我们何不直接基于没有分母问题的增量函数去求，而偏偏要在以往会有分母问题的增量比值函数下去求呢？尽管在笔者的新定义下，增量比值函数也不会出问题，但省此需费些唇舌的啰嗦点，岂不更好？这就是笔者的初衷。0 = k·0时，k还有没有？有。好，就求它。不就完了？谁又能说不是呢？你非叫我0/0 = k这么去求同样的一个k，有道理吗？这里做法虽然简单明了，但却涉及导数概念大变的深刻内涵。同时这个变更不是可有可无的，只是为了方便的，

23、操作层面的。而是根本性的。因为只有这样的导数（瞬时速度）定义，才可以消除一切理论内在矛盾。一句话，才是完全符合客观事物实际的认识。在此定义之前的那个导数（瞬时速度）定义，不可能最终没有矛盾，因为它不符合客观事物的实际。也还是一句话：曲不可能化直（指的等价于直），正如直也不可能等价于曲，在任何情况下！根据笔者分析及揭示，极限法对增量比值函数的求导是不能成立的（见前期笔者论文及本文下面有关小节）。但就算退一步，极限法求导没问题，笔者这里提出的求导方法也远比极限法简单明确。也好理解，有利于教学。这是显而易见的。仅此一点，也足可以取代极限法。这里提出的方法根本就不需要极限和无穷小。就算有极限，也是“可

24、达极限”，即与其函数值等值的极限。一些人，总在空谈什么“数学美”，但一遇实际问题就“叶公好龙”了。什么是美？简单即美。很多人还以为，那些花里八稍公式就是数学美呢。行文至此，搞数学的人如果没有一个恍然大悟的感觉，真的是很不够格！不管你顶着什么头衔。对于一般意义的xn的求导，可以完全仿照上面的对x2的求导。由于公式、步骤较多，这里不重复了。可参见一般教科书。如方源、王元的«微积分（上）»P98。那里在展开式中也同样有一个消去分母上的h的步骤，这就够了。这实际上就是令式子中各项中的h/h = 1/1，等于宣告该推导式中是一个线性增量比值方程，而不再是看成一个单纯的曲线增量比值方程

25、。因为它等于人为地把整个公式中的h分成了两种，一种依赖曲线与割线的两个交点（此h可以等于0），另外的只属于割线本身，h/h = 1/1，分母显然不能为0，而增量比值方程的比值的分母此时就是1。这与二次曲线x2的情况完全一样。贝克莱悖论自消。同时，基于增量函数，分母上不再有h，不用消去它为“1/1”了。但实际本质还是一样，是线性方程。是k（x，h）·h 的形式。当h = 0时，k（x，0）·0中的k（x，0）就是切线的斜率。它等于nxn-1。读者可自行验证。最后，对这个笔者提出的基于新导数（瞬时速度）定义的最简无矛盾求导法的思路强调如下：所求切线的斜率，就是切线方程这个线性方

26、程的系数。这是几百年前就证明了的，无需再证明一遍。初中教科书中都有。于是，求导就是一道中学水平的数学习题：求曲线在某点的切线方程的系数。因此不需要分母上有个自变量的增量比值函数，仅仅增量方程就够了。于是再也没有分母上的自变量等于0还是趋于0的问题，也就没有了与0/0有关的贝克莱悖论。总之，由导数的新定义 切线的斜率 切线方程的系数 就求这个系数 求系数不需要分母上有自变量的增量比值函数 在无分母进而自变量不可能在分母上的增量方程的基础上，令增量方程的自变量x = 0（当然也可以认为是x 0,因为此时是“可达极限，极限值就是其函数值”）求得该切线方程的系数k ，0 = k（x,0）·0

27、 求出的切线方程的系数k就是切线斜率k，得所欲求 还能有与0/0有关的贝克莱悖论吗？ 就这么简单，但实际上涉及导数（瞬时速度）概念定义的观念上的彻底改变，没有这个改变（新定义），就谈不上这个无比简单的“新求法”。按上面的思路，可以看到，求导或求瞬时速度的过程，就是求一道初中数学水平的习题（求切线系数），根本就不再需要无穷小概念与不可达极限概念（对可达极限，当然还有。但那与函数值等价），因此彻底地初等化了。因此微积分也就是所谓的“高等数学”，也彻底的初等化了。“高等数学”与“初等数学”在基本观念上取得了统一（指都没有无穷小和极限概念。不涉及什么难易程度之类。初等数学也有非常难的题目）。请问学“高

28、等数学”、微积分的学生们，教“高等数学”、微积分的老师们，“搞数学”的数学家们：何乐而不为？2、 基于新导数定义的三种求导法之比较、分析及对牛顿、莱布尼兹法求导的诠释 所谓“消去分母”，就是“分母化为1再消去这个1”对应于前面的导数的“新定义”（切线的真正意义、本原意义的斜率或切线方程的系数），我们当然可以给出与之对应的“瞬时速度”定义：一个受外力作变速运动的物体，如果某瞬间外力在该瞬间突然取消时该物体的匀速直线运动速度，即物体在该瞬时的瞬时速度。注意，这里是“如果”，也就是“假设”，不是真实发生的“外力取消”。按照这种“导数的新定义”或“瞬时速度”的新定义，前面给出的当x = 0时的切线增量

29、方程下的“最简求导法”【y = k（x，x）x = （2x+x）x，当x = 0时，有0 = k（x，0）·0 = （2x+0）·0 =（2x）·0），求出了切线方程的系数或斜率k = 2x】就不是唯一的方法了。比如，前面的求法中的“增量方程”的“增量y、x”，指的是曲线与其割、切线的两个交点（切线时为一个交点，增量y、x二者自然都为0）的坐标差。我们既然求的就是切线的一般意义的系数或斜率，那么当然就不必再拘泥于此二交点。我们实际可以任取割线上的两个点，这两个点再没有什么“二合一”，而是两个可以永远分离的点，于是，我们就可以“扩展”上式为y1 = k（x，x）x1

30、 = （2x+x）x1 。当x = 0（或x 0）时，自然得到y1 = k（x，0）x1 = （2x+ 0）x1 =2x·x1 。此切线方程的系数或斜率k，自然就是2x。注意，此时公式中的y1 、x1，就是定义成割线或切线这个直线上的任何两个点间的增量，在割线与曲线的两个交点变为一个交点时（割线变切线时），y 、x自然都是0，但y1 、x1完全不必为0，因为它们是与y 、x不相关的处于割、切线上的其它且任意的两个点。它们是脱离两个交点的。再一种基于“新导数定义”方法，也是基于“增量比值函数”的。但必须明确，此“增量比值函数”，非彼“增量比值函数”，即这里的比式，不是前述涉及割、切线与

31、曲线交点的y/x，而是仅仅涉及割、切线自身上两个点的y1/x1。如此仿上面的增量方程，就自然有新的增量比值函数方程y1/x1 = k（x，x）x1 /x1 = （2x+x）x1/x1 ,而当x = 0（或x 0）时，自然得到y1/x1 = k（x，0）x1/x1 = （2x+0）x1/x1 =2x·x1/ x1 = 2x·1/1 = 2x。自然也可以求出切线方程的系数即切线斜率k = 2x。这里不过是把“切线的系数”这个较为“隐蔽”的斜率表达，写成了“显式”，直接由切线上的任何两点的纵（因变量）、横（自变量）坐标差之比y1/x1 来表示的斜率或系数。注意，此时的这个坐标差之

32、比y1/x1中的x1是不能等于0的，也不能趋于0！因为此时它处于分母上。但此时这个要求无任何问题，因为当涉及曲、直线交点的x = 0时，x1与之没有任何关系。 特别说明，这个方法实际就是牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”直接地、甚至柯西的所谓“第二代微积分”间接而隐晦地求出了正确的、精确的导数的实质。只不过他们都太过拘泥于用曲线与割、切线的交点来求导（而这是由他们的导数及瞬时速度的定义所决定了的），因此不能不产生0/0之类的贝克莱悖论。而实际上，他们的求法都必须先经过约分消去分母上的自变量这一步，而此步实际绝对不是把分母凭空“扔掉”，而仅仅是令分母为“1”，也就是上面的式子中的x1/x1 =

33、 1/1 = 1。而1/1 = 1仅仅意味着等式两边的数值此时相等，都是“1”。 但如果从物理量纲上就可看出，除了数值相等外，1/1与1并不绝对“等价”（仅数值相等）。因为如果加上“量纲”，“1/1”本质上是个比式，其量纲可以是“距离/时段”,反映的可以是“每一小时运动了一公里”。而单纯的“1”，当然也可以定义这样的量纲，但它还可以单纯地表示“一公里”或“一小时”。它一般不表示一个“比式”，除非特别予以说明并以一个实际还是一个比式的“量纲”来标记，比如“距离/时段”。写为“1（距离/时段）”也是可以的。如“1（公里/小时）”。但严格地，此时应该是“1/1(公里/小时）”，甚至更严格地“1公里/

34、1小时”。这就是“1/1”与“1”在内涵上的本质区别所在。二者数值相等，但并不等价。传统微积分求导中的“消去分母上的自变量”的步骤（无论“第一代”还是“第二代”），当然他们都以为比式中无论分子还是分母中消去也就是“消失”（尽管在我看来，是无端地消失）的都是曲线与割线间的交点坐标差（增量），也就是那个x，即比式中的那个原本有的x/x突然没有了，消失了，在公式中什么也不写了。即他们认为的y/x = k（x，x）·x/x = （2x+x）·x/x = 2x+x。注意式子中的最后一个等号，等号左边的那个x/x 被我认为是“无端地”搞没有了，“消去”了。这意味着最后（最右边）一个等号

35、左边的比式中的三个（分母上一个，分子上两个）自变量x是一样的。这是二次曲线方程公式，增量x所涉及的就是二次曲线与割线的交点间的增量（距离，坐标差）。注意，y、x，对应描述曲线上二点间的增量是充分的。即任何割线与曲线的两个交点，就可以唯一地决定该曲线上的任何增量（曲线上的任何两点间的增量，都可以由曲线与割线的交点决定。即曲线上任何两个点之间，都可以定义一个唯一的割线）；但反之并不成立。即这个曲线上的两点（当然对应于其割线上的两点），并不能唯一地决定割线上的任何两点。因为与曲线的交点并不构成该割线（或切线）上的所有点。这从y、x与y1 、x1 间的区别就可以看出。明白说，曲线与割线的交点的集合，构

36、成或决定了全部的曲线上的增量集合；但构不成割线上的增量的全部集合而只是它的一个子集合。回到原议题。无论第一还是第二代微积分，都是以为：第一，（2x+x）·x/x 公式中的三个x 都是同一个。第二，消去分母上的那个x后（其实是凭空“拿掉比式中的x/x”）对整个运算毫无影响。第三，没有意识到“消去”或“拿掉”x/x ，等于令其为“1/1”，因为本质上只有“1”在数值上才可以从公式中拿掉，而原数值不变（有人也许争辩说，5/5等拿掉也不应该原式的数值。不错，但对此的严格“证明”依然要使其化为1/1，即5/5 = 1/1 = 1（数值相等意义的）。第四，如果公式（2x+x）·x/x变

37、成（2x+x）·1/1了，请问，此式中的三个x还能是同一个变量吗？当然不是！因为（2x+x）中的x是可以等于0的，而x/x中的x已经等于1了，它绝对不会再等于0，也不允许再等于0。因为如果等于0，就会有0/0。因此，原公式（2x+x）·x/x的三个x根本就不是同一个变量。既然不是同一个，写成同一个x就是错的。因此只要一有约分消分母这回事，公式就应该改写成（2x+x）·x1/x1以示区别。而不能再写成（2x+x）·x/x或（2x+x）了。因此，无论第一还是第二代微积分求导中的必要步骤“消去分母上 的自变量x”，实际消去的不是交点横坐标差x，而是令涉及割线上

38、任何两点的x1/x1 = 1/1，再把1/1略而不写罢了。这显然是一个典型的线性方程的增量方程，而不是曲线方程的增量方程了（曲线方程，才会要求公式中的三个自变量全一样）。这实际上（第三个求导法）顺便就彻底地、完满地解释了牛顿、莱布尼兹甚至柯西的极限法究竟为什么会用一个看似明显错误的步骤得出完全正确精准导数值的。由以上及笔者前期系列文章的分析可见，牛顿、莱布尼兹等实际求的，就是一个切线方程（作为线性方程）的系数k（消去分母或说分母化为1再消去1后）。而众所周知（中学水平），线性方程的系数就是其斜率。既然我们求的不过就是线性方程的系数k，那显然根本就不用再像他们那么去求了（当然只要理解、诠释清楚，

39、他们的求法也可以），即不必再用容易引起争议的、有分母上的自变量的增量比值函数y/x（对应于物理上的速度函数）去求，而是直接用没有分母上的自变量的增量函数y（对应于物理上的距离函数）的方程去求该方程的系数k即可。这个求法直接了当，且再无产生贝克莱悖论的可能。也根本不用不可达极限，尽管对一个函数值而言，它本身就是一个可达极限值，二者是完全等价的。只是在求有分母的增量比值函数的趋0不可达极限时，才会产生0/0相应的问题。那么，极限法微积分（所谓“第二代微积分”、“标准分析”。更准确地，应该称为是“不可达极限法微积分”）求导（求瞬时速度）的问题在哪里？是什么？笔者前期文章中早有揭示与分析，不妨重申如下

40、：第1， 不可达极限法微积分的辩护者声称，只要分母还不是（不等于）0，就“可以”消去分母而数值不变。但分母趋于0，极限值是不是0，是不是这个“求得”的极限值最终还是要“等于0”？尽管这个极限值是“不可达极限值”，也就是它的函数值不是0，但不可达极限值不还是0吗？更何况这个“可以”并不是“必须”！这点倒是“必须”要强调的。“可以”有，就有可以“无”。必须有，才有必须无。这个逻辑关系，居然被无视了这么多年。既然只有在消去了分母的情况或说前提下，我们才可以求得那个0点的非0/0导数（二次函数的例子中就是“2x”），那么，我们在不消分母的情况下不是也可以求出那个0/0作为趋0的“不可达极限”吗？尽管它

41、（0/0）是无意义的，但难道不取这个0/0的理由仅仅是它无意义吗？如果如此，那么，牛顿、莱布尼兹的“第一代”微积分求导，我们不是可以采取同样的理由，仅仅以不消分母求出了无意义的0/0为理由，无视这个结果或否定它而采取消分母的求法就可以了，如此，还要极限法微积分求导（所谓“第二代微积分”、标准分析）何干？牛顿不就是这么解决问题的？可见此论，根本就无法自圆其说：如果硬说极限法微积分求导没有贝克莱悖论的矛盾，那实际依据同样逻辑的牛顿、莱布尼兹法求导也没有贝克莱悖论，二者就逻辑意义而言实际是“同进退”的。两种方法（消分母和不消分母），一种求出了有意义的比如“2x”，一种求出了无意义的0/0。不说探究一

42、下这究竟意味着什么，里面有什么问题需要解决，却简单地以0/0无意义、不合理为唯一的理由，就舍弃了它而采用消分母求出有意义的“2x”的做法，请问，这么做本身有意义吗？而且当牛顿、莱布尼兹同样地消分母时，却又突然不行了，不允许了，说是要产生贝克莱悖论，要让极限法微积分求导来消这个分母才行，牛顿消就不行。见过不讲理的，没见过如此不讲理的。可极限法微积分的辩护者实质上就是这么干的！一个比喻：本来我们是要去一个村庄的，结果发现这个村庄被水淹了。我们另选一条路，到达另一个村庄，并说这个村庄就是原来的村庄，谁让原来的那个村庄被水淹了呢？这就是以新村代替老村的唯一理由。结果人家说前面有人已经这么说了，发明权不

43、是你。而此时你又说他们说的不算，是错的，无道理。我说的才是对的。这也叫讲理？搞数学，就可以不讲逻辑了？ 这里再给出一个通俗的比喻（完全必要。别以为这些人真这么高明，不举例子还真不行），作为说明：我们来到A、B两座山前（A比喻有意义的导数，如2x，B表示无意义的导数，即0/0），前面有两条路，一条a路（比喻通过约分消去分母上的自变量）“可以”通A山，一条b路（比喻不消分母上的自变量）“可以”通B山，我们选择a路上了A山，能说只要向前，就必然一定可以到A山吗？当然不行。除非排除或“证否”b路可以通B山，才可以这么说。或者前面只有一座山，两条路都通山顶，选择哪条路才无所谓。明明有另一种可能性或另一条

44、路，通向另一座山，不去理睬，或借口它不通A山，就断言只要向前就一定可以到A山，逻辑上不通。因此，逻辑上绝对不是一个“可以”，就可以得到“必然”的。两条路都到A山顶的“可以”选择任何一条路或可以选择a路，与两条路分别到两座山的“可以”选择a路，是不同的。这两种“可以”的含义是极其不同的。这不是如解一道数学题，两种方法（两种途径），一种简单，一种复杂些，但都“可以”解出来，于是选择哪条路径都“可以”的问题。而是两条看似都成立的路径分别得到两种结果的问题，一种看似合理，一种明显不合理。难道可以说反正求出了一个看似合理的，就算可以求出合理的，而对为什么另一也同样合理的路径得到的另一种结果不加分析、探讨

45、，这样的处理问题是号称思维最严密的数学家们所应该允许的吗？更何况实际要求还有一个要过一条河（对应于求导的原始对象是分母上有自变量一个比式），而通向B山的b路上有河，而通向A山的a路上的河被填上了（对应消去分母，变比式为非比式）。如此，选择a路就更无理由了。总之，分母可消，也可不消。两个都“可以”，且一个求出极限是2x（二次曲线为例），一个求出极限是0/0，也就是没有极限，为什么有极限的途径就“可以”且被允许，而另一个同样也“可以”、但无极限（极限为0/0）的路径却“不被允许”？难道数学上只允许证明有极限，而不允许证明无极限吗？为什么？给个理由。第2， 笔者已经揭示，所谓消去分母，就是通过约分（

46、见约分的定义，约分并不改变比式的本质。其实除法的本质也是如此。见前期文章分析）令分母先为1（具体就是令比式中的因子x/x = 1/1 = 1），而1乘以或除以任何数，数值不变，因此这个1一般情况下可以不写（即1/1可以不写）。此为“消分母”的本质过程。否则原来有个x/x，你凭什么不写上，或不让写上？如此，说“只要分母不等于0，就可以通过约分或除法消去它”，等于说“只要分母不等于0，就可以令其（分母上的自变量）约分为1或以1为极限”。但正如在0点（自变量等于0时）不能再通过约分或除法进而消去分母上的自变量一样，同理，在0点（自变量等于0时）也不能再令分母上已经为0的自变量通过约分或除法等于1或趋

47、于1。因此，在令分母上的自变量已经约分等于1或趋于1（以1为极限）的情况下，再去令分母已经变为1的那个比式函数的自变量去趋于0，这个极限，只能是一个不可达极限。它是关于分母等于1或趋于1的这个分母不能再等于0的前提下，才会有的性质，即其本身在分母为0点的不可达极限。即在分母为0的那一点，不可能再有分母等于1或趋于1。这个性质本身的极限，是在分母为0点不可达的。显然，极限法微积分求导实际求出的是这个极限。但是，但是！这个极限（不可达的）难道是原先在求导定义后公式中所欲求的那个分母上的自变量直接趋0的极限值吗？当然不是！此时只要一有消分母操作，实际求的就是分母上的自变量通过约分等于1或趋于1这个事

48、件或特性本身的趋0不可达极限。而不再是分母上的自变量本身的直接的趋0极限。而传统微积分求的是后者而不是前者。后者显然仍旧是大家熟知的0/0。所以，极限法微积分求导仍旧与牛顿、莱布尼兹的第一代一样，仍旧没有解决贝克莱悖论问题。综上，没有把这两种不同的极限区分清楚，看清其本质，是贝克莱悖论产生的本质。或说极限法微积分求导并没有消除它原先所认为的已经被其消除了的贝克莱悖论。这个悖论在极限法微积分求导过程中仍旧存在。只不过更加隐蔽一些罢了。（兜了几个概念小圈子，把包括大数学家在内的人都弄糊涂了） 总之，分母上的自变量通过约分或除法等于1或趋于1（消分母上的自变量的实质）这一做法、步骤或操作本身，是可以

49、又以自变量为0的那一点为不可达极限的。但在自变量为0的那一点，当然就没有自变量再等于1或趋于1这一操作。人家已经等于0了，还有什么等于1或趋于1？但以其为不可达极限点是可以的。它反映了只要不在自变量的0点，无论离这个0点多么的近，都可以消去分母也就是约分使得分母上的自变量为1或趋于1。这个操作，可以在无限趋于0但不等于0时都成立（自变量为0的点是其不可达极限）。但如果原始函数是一个分母上有自变量的比式的话，在自变量为0的那一点，再消去这个已经为0的分母上的自变量，或说这个自变量再等于1或趋于1，自然是不可能的了。但这个分母上的自变量等于1或趋于1的操作本身，可以以自变量为0的点为不可达极限，即

50、无论多么接近这个0点，只要不到达这个0点，消分母都可以进行。唯独在0点不行。因为此时这个比式已经是0/0，还有什么分母等于1或趋于1啊？ 至于原先本就没有分母（更没有分母上的自变量）的一个非比值函数，当然在自变量等于0时，是既有函数值，又有极限值的。其极限值就是其函数值，这叫“可达极限”。但这已经是另一个非比式的函数了。就如速度函数与距离函数的区别。一个本质上是比式，一个本质上不是比式，这从物理量纲上就可以看出。但在传统微积分中，无论第一还是第二代，都是求的一个比式的函数值（第一代）或不可达极限值（第二代），因此后者求的极限，是不可达极限，而不是可达极限。此点是必须搞清楚的。一些人往往分不清这

51、两种极限，经常混起来讨论。而教科书往往也有意无意的对此点模糊化或作者实际也不很清晰。给人一种总是想以更合理的可达极限（就是函数值）去代替不可达极限值（不是函数值），以通过这种不光彩的模糊手法来为自己的立论找根据的感觉。总之，欲求的原始函数是比式还是非比式，有本质的区别。把一个原始比式函数通过约分消去分母上的自变量（本质上是令分母上的自变量为1）的手法求得的那个分母上的自变量等于1或趋于1这个“操作本身”的趋0不可达极限，或干脆无视分母上的自变量原先是存在的这点，就用无分母（分母上无自变量）的原先就非比式的另一个函数的趋0可达极限，来代替原先导数或瞬时速度定义中所要求的增量比值函数本身（分母上有

52、自变量！）的趋0极限，是不能允许的。而极限法微积分恰恰就是这么干的。它就没有搞清楚“消去分母上的自变量”这一操作本身究竟意味着什么。他们随手就给消去了，好像这种操作对函数没有任何影响似的。这是一种令人难以置信的理论缺失、失误！讲理是讲不通的。逻辑上是成问题的。已经谈不上任何数学家经常标榜的数学最严格云云的说法。不把这个问题彻底澄清，所谓数学的严密性，所谓数学家的头脑最严密的说辞，统统免谈，全部清零！而且这个问题在我披露后，拖的越久，露怯越大。第3， 退一步说，就算消去分母上的自变量后，没有什么分母上的1之类的问题，即，假设消去分母上的自变量后，就实实在在地等于或等价于一个没有分母的函数。比如，

53、假设我们有y/x k·x/x k·1/1 k 实际上，恒等号“”是不成立的。因为在x = 0时， k·x/x = k·0/0 k·1/1。k·1/1是在x = 1下由k·x/x得到的。而k与k·x/x在x = 0时当然也不同，一个为k，一个为 k·0/0。k没有分母，更没有分母上的自变量x，而k·x/x则有。由于在x = 0点的k与x = 0点的函数值不同，一个还为k，一个为k·0/0 = 0/0，因此，这是两个不同的函数。既然是不同的函数，而且恰好在x = 0点的函数值不一样，那么，

54、凭什么说这两个不同且是在x = 0点不同的函数在x = 0点却具有相同的极限值？况且k在该点的极限是可达极限，就等于它的函数值，而k·x/x在该点的极限值按极限法微积分的求导的定义，也是k，但却是不可达极限。如果我们原本就有一个独立的函数k，它不是由什么消分母而得到的，它原先就没有分母，难道它的极限也是不可达极限？如果不是，同样的k，一个由消分母得到，一个原来就没有分母，如何区分？而不去或不可区分，一个的趋0极限是可达的（就是其函数值），一个却是不可达的（在极限点没有函数值），凭什么可以把不可区分的函数的极限做如此“区分”？如果仅仅说一个是由消去分母上的自变量得到的，那么，体现在哪里

55、？不是你们说的消去分母上的自变量后，分母上没有任何东西了，因此k·x/x就是k的吗？理不能两头都占吧？可见，这里面的矛盾之处是无法避免的，只不过以往为众人所不察而已。明确说，以往只是证明了消去分母后或原本就没有分母的k的趋0极限（而且为可达极限）为k，而并没有证明有分母的 k·x/x的趋0极限也是k，实际上，它的极限就是0/0，与其函数值一致，都是无意义的，这才合理，甚至顺理成章。 这里，笔者联想到康托对角线法证明中的问题，与这里的逻辑问题相似：康托对角线法由于要依赖一个隐含的假设，即所列实数与每位多值（即可以有多个可自由取值的自然数值）的位数一一对应，因此它所证明的仅仅是

56、在这个对应原则下，所列出的是一个实数的真子集。可它却声称或以为证明了在任何对应原则下，永远只能列出实数的真子集，即实数集合不可数，不能列出它的全部元素。于是，康托对角线法的逻辑结构的实质就是：在一个具体的不能列出全部实数的对应方式下，当然不能列出全部实数。它只是“证明了”这个“大实话”，而绝对没有证明在其它对应方式下，可不可以列出全部实数，也就是实数是否可数。与这里的传统微积分求导的推理一样，都是没有列出完备的所有前提条件，因此产生的问题。第4， 众所周知，匀速直线运动的瞬时速度，点点都一样，就是其平均速度。通称速度。但按照极限法微积分求导（就是求瞬时速度）的思想、原则，匀速直线运动的瞬时速度

57、也必须按其对瞬时速度的定义统一解释，也就是必须要按照明明是加速（或曲线）运动下的瞬时速度来定义匀速运动的瞬时速度。而加速运动之所以要这么按极限法微积分的思路来定义瞬时速度，不过是没有办法的办法，因为在加速运动时，速度是点点（时间点）不一样的，随时在变化的。故极限法微积分一时没有其它好的办法来解决（主要是贝克莱悖论），不得不出此下策，叠床架屋，“曲线救导”（试图迂回地挽救导数概念）。由于前人并没有达到笔者的认识，因此只能求助于什么“可以无限接近，但永不可达到的不可达极限”概念。这个概念早就为马克思、恩格斯、欧拉、罗素等所诟病反对。极限法微积分（第二代微积分、标准分析）自认为或声称“解决”了加速运

58、动下的瞬时速度的定义及求法问题，那么，紧接着就有一个必须按同样的思路来解释作为加速运动特例的匀速直线运动的瞬时速度问题。如此一来，就彻底暴露了极限法微积分的可笑之处，不合理之处。明明一个匀速直线运动的瞬时速度，就是其平均速度，也就是速度，二者是一致的，却偏要认为二者本质上不是一回事：平均速度或速度在匀速直线运动情况下是好办的，它是恒量，而且就是一个距离与时间的比式。但瞬时速度呢？呵呵了吧，居然要舍近求远，反易为繁，矫揉造作、故弄玄虚似地不去直接由匀速直线运动在某瞬时的平均速度去定义瞬时速度，而必须非要说什么它是在某瞬时的平均速度的不可达极限。这不是很可笑吗？不用简单的匀速直线运动的速度去定义曲线或加速运动的瞬时速度（笔者正是如此定义的！），反而用极其繁复和难以理解的加速、曲线运动的所谓不可达极限意义的“瞬时速度”定义，去“套”明明简单明了的匀速直线运动的瞬时速度（就等于其平均速度），是不是有些“荒腔走板”的别扭意味？极限法微积分正是如此干的。如果我们坐在一列匀速运动的高速列车上，看着速度显示牌，大家都知道此时的瞬时速度、平均速度、速度都是一个概念，数值都一样，难道我们也要随时动脑子，说此时匀速运动的列车的瞬时速度并不是其平均速度，它们只是数值一样，平均速度还是一个距离与时间的比式，而瞬时速度则是一个非比式的不可达极限值，而明明每一个时刻都是“可达”的，定义其上的瞬时速度却不