平面向量的数量积及平面向量的应用举例课件

1、栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及平面向量的数量积及平面向量的应用举例平面向量的应用举例栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1两个向量的夹角两个向量的夹角(1)夹角的定义夹角的定义定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量A，B，作作 a， b，则，则AOB叫作向量叫作向量A与与B的的夹角夹角(如图如图) 向量夹角向量夹角的范围是的范围是0，180，当，当_时，两向量共时，两向量共线；当线；当_时，两时，两

2、向量垂直，记作向量垂直，记作AB(规规定零向量可与任一向量垂定零向量可与任一向量垂直直).非零非零0或或18090栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)射影的定义射影的定义设设是是A与与B的夹角，则的夹角，则|B|Cos叫作叫作B在在A方向上方向上的射影的射影|A|Cos叫作叫作A在在B方向上的射影方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当量当0，90)时，它是正值；当时，它是正值；当(90，180时，它是负值；时，它是负值；当当_时，它是时，它是0.90栏目栏目导引导引第四章第

3、四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入思考探究思考探究提示：提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量起点应相同，向量A与与B的夹角为的夹角为ABC.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入2平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量的数量积的定义向量的数量积的定义已知两个向量已知两个向量A和和B，它们的夹角为，它们的夹角为，把，把|A|B|Cos叫作叫作A与与B的数量积的数量积(或内积或内积)，记，记作作AB，即，即AB|A|B|Cos.栏目栏目导引导引第四章第四

4、章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)向量数量积的运算律向量数量积的运算律给定向量给定向量A，B，C和实数和实数，有，有ABBA；(交换律交换律)(A)B(AB)A(B)；(数乘结合律数乘结合律)A(BC)ABAC.(分配律分配律)栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入3平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质已知非零向量已知非零向量A(A1，A2)，B(B1，B2)栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入a1b1a2b20栏目栏目导引导引第四章第四

5、章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入课前热身课前热身1(教材习题改编教材习题改编)已知已知A(1,2)，B(2，1)，则则(AB)(AB)的值为的值为()A0 B10C10 D5解析：选解析：选A.AB(1,2)(2，1)(1,1)，AB(1,2)(2，1)(3,3)，(AB)(AB)(1,1)(3,3)330.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入3若向量若向量A(1,1)，B(x,2)，若，若A与与B垂直，垂直

6、，则则x_.解析：解析：A与与B垂直，垂直，AB(1,1)(x,2)x20，x2.答案：答案：2栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入考点探究讲练互动考点探究讲练互动平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算例例1 (1)(2011高考重庆卷高考重庆卷)已知向量已知向量A(1，k)，B(2,2)，且，且AB与与A共线，那么共线，那么AB的值为的值为()A1

7、B2C3 D4栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入【名师点评名师点评】(1)求平面向量的数量积，关键在求平面向量的数量积，关键在于求两向量的模和夹角这就需要充分挖掘题

8、目于求两向量的模和夹角这就需要充分挖掘题目中的几何属性，利用几何知识来求解中的几何属性，利用几何知识来求解(2)利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：要掌握此类问题的处理方法：|a|2a2aa；|ab|2(ab)2a22abb2.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面

9、向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入变式训练变式训练栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入利用平面向量解决夹角、垂利用平面向量解决夹角、垂直等问题直等问题例例2栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2011

10、高考课标全国卷高考课标全国卷)已知已知A与与B为两个为两个不共线的单位向量，不共线的单位向量，k为实数，若向量为实数，若向量AB与向量与向量kAB垂直，则垂直，则k_.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(AB)(kAB)，(AB)(kAB)0，即即k|A|2(k1)AB|B|20.(*)又又A，B为两不共线单位向量，为两不共线单位向量，(*)式可化为式可化为k1(k1)AB.若若k10，则，则AB1，这与，这与A，B不共线矛盾；不共线矛

11、盾；若若k10，则，则k1(k1)AB恒成立恒成立综上可知综上可知k1满足题意满足题意栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案答案】(1)C(2)1【规律小结规律小结】(1)数量积大于数量积大于0说明不共线说明不共线的两向量夹角为锐角；数量积等于的两向量夹角为锐角；数量积等于0说明两说明两向量的夹角为直角；数量积小于向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量且两向量不共线时，两向量的夹角就是钝角不共线时，两向量的夹角就是钝角(2)找两向量的夹角，在图形中必须使两向量找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共起点，可以结合解三角形求角共起点，可

12、以结合解三角形求角栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入(3)解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条件即非零向量条件即非零向量abab0 x1x2y1y20.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例 (2012宝鸡调研宝鸡调研)已知已知A(Cos ，sin )，B(Cos ，sin )(0)(1)求证：求证：AB与与AB互相垂直；互相垂直；(2)若若kAB与与AkB的模相等，的模相等，求求.(其中其中k

13、为非零实数为非零实数)栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入【解解】证明：证明：(1)(AB)(AB)A2B2|A|2|B|2(Cos2sin2)(Cos2sin2)0，AB与与AB互相垂直互相垂直栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入变式训练变式训练栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩

14、充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量的应用平面向量的应用例例3栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入【解解】(1)法一：法一：BC(Cos1，sin)，则，则|BC|2(Cos1)2sin22(1Cos)1Cos1，0|BC|24，即即0|BC|2.当当Cos1时，有时，有|BC|2，向量向量BC的长度的最大值为的长度的最大值为2.栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入法二

15、：法二：|B|1，|C|1，|BC|B|C|2.当当Cos1时，有时，有BC(2,0)，即，即|BC|2，所以向量所以向量BC的长度的最大值为的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得法一：由已知可得BC(Cos1，sin)，A(BC)栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入Cos Cossin sinCosCos()Cos .A(BC)，A (BC)0，即即Cos()Cos .栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量

16、、数系的扩充与复数的引入A(BC)，A(BC)0，即，即Cossin1.sin1Cos，平方后化简得，平方后化简得Cos(Cos1)0，解得解得Cos0或或Cos1.经检验，经检验，Cos0或或Cos1即为所求即为所求栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入【名师点评名师点评】一般来说向量与三角融合时，都会给出向量一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式必须要记住且要会使用量的坐标运算公式必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直时，两个坐标关系式也涉及向

17、量平行或垂直时，两个坐标关系式也要会熟练地应用要会熟练地应用栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入方法技巧方法技巧1向量的数量积的运算法则不具备结合律，向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似如

18、但运算律和实数运算律类似如(ab)2a22abb2；(ab)(s atb)s a2(ts)abtb2(，s，tR)栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入2求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式|A|2A2，将模的运算转化为向量的数量积的运算将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧数是求参数或最值问题常用的方法技巧4平面向量的数量积的运算法则把平面向量平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的

19、相互与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施转化得以实施栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入因此，一方面我们要善于把向量的有关问题因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题来解决相关问题栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入失误防范失误

20、防范1零向量：零向量：(1)0与实数与实数0的区别，不可写错：的区别，不可写错：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没的方向是任意的，并非没有方向，有方向，0与任何向量平行，也与任一向量垂直与任何向量平行，也与任一向量垂直2ab0不能推出不能推出a0或或b0，因为，因为ab0时，有可能时，有可能ab.3abac(a0)不能推出不能推出bc，即消去律不成立，即消去律不成立栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考命题预测命题预测平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之平面向量的数量积是每

21、年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试题中与平面几何、三角、解析几目近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想主要考查运算能力和数形结合思想栏目栏目导引导引第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入预测预测2013年高考仍将以向量的数量积运算、年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、平面几向量的垂直为主