大学本科数学教育论文

1、专业代码：070101 学 号：080701010140贵州师范大学（本科）毕业论文题 目：屮学数学思想方法与数学教学学 院：数学与计算机科学 专 业：数学与应用数学 年 级：2008级 姓 名：许振富 指导教师：于亚峰（讲师）完成时间：2012年3月10日中学数学思想方法与数学教学许振富摘要：数学思想方法是研究数学的方法与进行教学活动的方法，只有将其应用于教师的教学 和学生的学习中才能很好的提高教学和学习的效率。文章先介绍一些基本的数学思想方法， 然后谈谈在中学教学中如何渗透这一思想方法，最后分析在体现这些思想方法时应注意的问 题。关键词：中学数学；数学思想方法；数学教学abstract:

2、mathematics thinking method is the study of mathematical methods and teaching methods，only applied to the teachers teaching and students learning can be very good to improve teaching and learning efficiency. this paper first introduces some basic mathematical way of thinking，then talk about in the m

3、iddle school teaching the way of thinking，in the final analysis of embodied these ideas method should pay attention to the problem.key words: the middle school mathematics, mathematical way of thinking，mathematics teaching引言数学思想方法是老师与学生交流的一座桥梁，将其应用于教师的教学和学生 的学中方能很好的提高教学和学的效率，许多著名的专家对此作了大量而深 刻的研究，文献1

4、主要是从几种常见的具体方法来阐述数学思想方法在数学教 学及学生学中的应用，然后通过几个具体的例子来加以说明。文献2是从中 学数学中常见的化归思想、数形结合的思想来谈数学思想在数学学中的重要作 用，掌握了这两种方法可以提高学生分析问题和解决问题的能力。文献3是通 过数学思想、数学方法等概念指出了在中学数学教学中必须重视数学思想方法的 渗透，同吋也提出了再实际教学中渗透数学思想方法的一些做法；文献4主要 是阐明如何将数学思想方法贯彻到数学教学中去，m时在数学教学中如何灵活应 用一些数学思想方法。木文先介绍一些基木的数学思想方法，然后谈谈在中学教 学中如何体现这-思想方法，最后分析在体现这些思想方法

5、吋应注意的w题。1. 中学中常见的数学思想方法1.1.化归的思想方法所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转化思想方法，是-种把未解决 的w题或特解决的w题，通过某种方式的转化，归化到一类已经能解决或比较容 易解决的叫题，最终得原闷题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归 谁（化归对象）、化归到哪（化归fi标）、怎样化归（化归方法）.常见的化归 方式宥：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的 化归等。化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直 观化、.1卜:难侧反思化、以便成用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的。例1 . 一次函数y =

6、 2x + l与y = -3x + 8在同一坐标系内的交点坐标是思路分析：两个一次函数也就是二元一次方程，它们在同一个坐标系内的交 点也正是由这两个一次函数构成的二元一次方程组= t + 的解。答案为：（,y）例2:在解高次方程x4+;v+2 = 0吋，我们可设，= x2则原方程化为 y2 -3）1 + 2 = 0求出的值/is再代入= 求出x的值。请用这种方法解分式方x2+x+l=r + x思路分析：所提供的方法是利用整体思想用换元法使高次方程化为一般一元 二次方程，对丁要解的分式方程，m样可用y代替*进行换元求解。解：设:w2 + x ,则原方程化为y + l = -,整理得/ + y-6

7、 = 0,解得y 2 , yy2=-3,经检验乂=2, y2=-3都是该方程的解，当乂 =2时将2+% = 2 ,解得 6=1，x2 = -2 ,当2=-3吋，得x2+x = -3，方程无实数根，故原方程的解释x, = 1» 又2 = -2 o1.2. 数形结合的思想方法所谓数形结合的思想方法是指把数学m题用数量关系与图形结合起来解答 数学问题。数形结合的思想方法的特点：数一形一1'题的解答；形一数一1'题的解答。 例1:三个数、/?、c在数轴上的对应点如图1,化简cib b -ci-c c ci思路分析：从图上可一目了然的看hk、6、c的人小关系。解：从图上可以看出

8、|/?|6/|c|，则有“ + /?<0、a + c>0, c “<0,由此把绝对值打开可得：原式=-(a + b )( /? ) +6t + c- ( c-6z )=-a-b+ba-c + ca -2c-a例2已知一次函数y = ¥ + m和y =n的图像经过点a(-2,0)，且与y轴分别交于b、c两点，试求mfic的面积。解：y 次函数>，=2 + m和产+ /7的图象都经过点a(-2,0)* 2 20= 3x(之)+ m ;0=(之)+ "， m = 3，n = -l ,故两4*一次函数解析式分2 2别为 y = ¥ +y = -l.

9、 它们与 y 轴的交点为 b(0,3)，c(0，-l)。画出草图如图2所示，则由图可知:bc = |3-(-1)|=4, ao = 2. sbc = x bcxao 二 4。21.3. 分类讨论的思想方法所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将 它们分类來进行研究的思想方法。分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标 准须相同；分类须宥一定的范围，不能超范围。例1:甲、乙两人分别从相距30km的a、b两地同时相向而行，经过3/2后 相距3)tm,再经过2/z,甲到b地所剩的路程是乙到a地所剩路程的2倍，求甲、 乙两人的速度。解：(1)当3/2后甲

10、、乙两人未相遇吋，设甲的速度为;乙的速度为 /z，则3x + 3y = 30-3 30 - 5% = 2(30-5.v)鵬严4,.甲的速度为4k/z,乙的速度为5m/7。(2)当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为；dm/z，乙的速度为批m/i,3x + 3)，= 30 + 3 30 5x = 2(30-5y)x =解得l_6317y甲的速度为一km/h ,乙的速度为一hn/ho 33答：甲的速度为乙的速度为或甲的速度为乙的 3速度为1 km/h。3例2:已知，y为直角三角形两边的长，满足|%2-4|4士2-5戸6=0,则 第三边的长为。解析：由义2 4+ 6 =0 ,可得|x2 4 =0且

11、y25y + 6 = 0。分另ij解这两个方程，可得满足条件的解或"2=。u:2>2=3由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，w此需要分类讨论。当两直角边长分别为2, 2时，斜边长为a/22+22 =2w;当直角边长为2,斜边长为3吋，另一直角边的长为人；当一直角边长为2,另一直角边长为3时，斜边长为a/g。综上，第三边的长为2人或人或a/g。1.4. 类比与归纳的思想方法类比思想方法是指根据不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处，来联 想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似，并作出某种判断的 推理的思想方法.其特点是从特殊到特殊的推理方式.例如：从分数性质到

12、分式性质；从全等三角形到相似三角形等.归纳思想方法是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物般性的方法. 其特点是由特殊至一般的推理方式.例如：1个点分割直线为2个部分，2个点分割直线为3个部分，3个点分割 直线为4个部分，4个点分割直线为5个部分，5个点分割直线为6个部分， n个点分割直线为n +1个部分.类比与归纳的思想方法活动过程如下：研究对象一形成命题一证明1.5. 数学建模的思想方法所谓数学建模的思想方法是根据所研究问题的一些属性、关系，用形式化的 数学语言表示的一种数学结构，屮学数学屮常用的数学模型有：图形、图象、表 格和数学表达式，具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不

13、等式 模型和统计模型.数学建模的思想方法一般原则：简化原则、可推演原则、反映 性原则。例1:某商店某一吋间以每件60元的价格卖出两件衣服，其屮一件盈利 25% ,另一件亏损25%，卖了w件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？解：建立数学模型(1)问题分析 假设一件衣服的进价是i元，以60元卖出，卖出后盈利25。/。，那么这件 衣服的利润是多少元？ 假设一件衣服的进价是 ，元，以60元卖出，卖!li后亏损25%,那么这件 衣服的利润是多少？(2) 模型建立问题1你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？盈利：销售价进价问题2 你认为销售价与进价之间具宥怎样的关系时是亏损的？亏损：销售价

14、进价问题3 你认为销售价与进价之间具宥怎样的关系时不亏不盈？不亏不盈：销售价=进价问题4 你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？利润=销售价-进价问题5 你发现利润、进价、利润率之间宥怎样的关系？利润=进价x利润率问题6 你发现销售价、进价、利润率之间宥怎样的关系？销售价-进价=进价x利润率(3) 模型求解设盈利25%的那件衣服的进价是x元，那么它的利润就是0.25%元，根据销 售价、进价和利润之间的关系，列方程60-x = 0.25x，解得 = 48。设亏损25%的那件衣服的进价是 ，元，那么它的利润就是-0.25j，元，根据 销售价、进价和利润之间的关系，列方程60-y = -0.25

15、y,解得j.，= 80。于是x+y = 48 + 80 = 128120，所以卖出这两件衣服总的是盈利的。1.6.整体的思想方法所谓整体的思想方法是指将有共同特扯的某一类问题看成一个完整的整体， 通过对其全面深刻的观察，着眼丁问题的整体结构上，从整体上把握问题的内容 和解决的方向及策略。.2010% + 2011)，= 2009 2011x+2010)，= 2012分析：如果选用代入法解答，可把方程组屮的其屮一个式子变换，第一个式了记为第二个式了记为。由可得，%=2009 201b, 2010得：-下即可把 再代入2011x(2009-201 ly2010) + 2010y = 2012由此我

16、们吋用看出解答起来十分麻烦如果选用加减法,比如x 2011-x 2010可消去x，得2011x201 l），-2010x2010，= 2009x2011-2012x2010形式也很复杂，不易求解。注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两个方程相加，+，得4021x + 4021y 二 4021化简得：+）? = 1再将两个方程相减，-得-%+y = -3即x-y = 3由、组成方程组得=解这个方程组得|x = 2。= 3y = -i例 2:解方程lr2+3x-4二。2x- + 3x分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁琐，根据方程特点，我们采 用整体换元，将分吋方程转化为正式方程。解：

17、设 2a:2+3a: = ），则方程变形为= i，即），2-4），-5 = 0，y解得：+3x = 5 或 2jc2 +3x = 1，从而解得七=,x2 = 1, 2=，x4 = 1 o经检验x,，x2，x4都是原力程的解。1.7.方程的思想方法所谓方程的思想方法是指在研究数学问题吋，从问题屮的已知量和米知量之 间的数量关系中找出和等关系，运用数学语言将这种相等关系列出方程（组）， 然后解方程（组），从而使这个数学问题得解.其特点是将繁琐的过程简单化， 殊殊的问题-般化.例1:单项式与3x2v是同类项，求6z-/7的值。3分析：这是一个同类项的知识，通过观察可以看出该问题最终是转化为方程 的思

18、想来解，解：与3%、是同类项:.a + b = 2a- = ,1_ o由、可组成关于6z、的二元一次方程组r -，解方程组的tz = 2, /? = 0。例2:次函数y = kx + n的图像与x轴和y轴分别相交于点4(6,0)，b(0,2x/3),试确定这个一次函数的解析式。分析：本题看似函数的知识，但是最终还是把其转化为方程的知识。解：(1)由函数阁像与轴和轴分别相交于点a(6,0)，b(0,2办得0 = 6k + nn = 2y/3(6k+ n = 0厂巾，可得关于z1, a的方程组厂，解方程组得：n = 2忑，= on = 2y/33所以一次函数的解析式为:231.8.统计思想方法所谓

19、统计思想方法：是通过样本来推断总体，是关于如何收集数据、整体数 据、描述数据、分析数据，如何解释数据统计结果的思想方法.例1:从t1、乙、丙三个厂家生产的产品屮，各拙出8件产品，对其使用寿 命进行跟踪调查，结果如下(单位：年)甲:3,4,5,6,8,8,8,10 乙:4,6,6,6,8,9,12,13 丙:3,3,4,7,9,10,11,12三个厂家在广告屮都称s己的产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断厂家 在广告屮分别运用了y均数、众数、屮位数屮哪一种几种趋势的特征数？分析：分别计算出三个厂家抽查产品的平均数、众数、中位数即可。3+4+5+6+8+8+8+108=6. 5,众数=8,巾位

20、数=7。乙：平均数=4 + 6 + 6 + 6 + 8 + 9 + 12 + 138二8,众数=6，中位数=7。丙:平均数=3 + 3 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 + 128=7. 37500,众数=3,中位数=8。所以中是用众数做宣传，乙是用平均数做宣传，丙是用中位数做宣传。例2:快乐公司决定按照如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂井购买200件同种产品a ,已知这三个工厂生产的产品a的优品率如下表所示。甲乙丙优品率80%85%90%（1）求快乐公司从丙厂应购买多少件产品a?（2）求快乐公司所购买的200件产品a的优品率；（3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的

21、产品a比例，使所购买 的200件产品a的优品率上升3%，若能，请问应从甲厂购买多少件产品a?若 不能，请说明理由。解：（1）由图wj知丙厂：200x35% = 70 （件）。（2）甲厂：200x25% = 50 （件）乙厂:200x40% = 80 （件）优品率为：（50x80% + 80x85% + 70x90%） + 200 = 0.855 = 85.5%。（3）能。设从甲厂购买件，从乙厂购买y件，则从丙厂购买（200-x-y）件, 由题意得：80%4-85%>' + 90%（200-x-y） = 85.5%。. 2x+y = 60,又、y 均为整数，当 = 寸 x = 30

22、;当 y = 20h 寸 x = 20;当 y = 40 u寸 a： = 10 ;当 y = 60 u寸 a： = 0。符号化的思想方法所谓符号化的思想方法：是指用符号及符号组成的数学语言來表达数学的概 念、运算和命题等，是方程思想方法的基础.例如/*:/、z、彡、彡、=、（）、 、 、关、o、丄、等等。函数思想函数是初中以及今盾学习的重耍内容，利用函数可以将两个或两个以上的量 联系起來进行分析，得到量与量之问的变化关系。所以在初中学好函数是今后再 一次学习函数的基础。所谓函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。 w此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出研究对象，抽象

23、其数量特征， 建立函数关系。例1:某汽车生产厂对其生产的a型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为 匀速行驶。己知油箱中的余油量y（l）与行驶时间f（/2）的关系如下表，与行驶路程 我如0的关系如表所示，请根据这些信息求a型车在实验中的速度。行驶时间z(/7)0123油箱中余油量y(z>)100846852分析：先根据函数图像求出函数解析式，然u在一定范围内去一个余汕量在 表格中计算出时间，在阁像中计算出路程，两者相除即可得速度解：在图像中，设直线解析式方程为 >，=虹+6带入两点(0,100), (500,200)得f 100 = /?,，"门44<，k =， b =

24、 l00 , /. y =义+ 100。20 = 500/: + /?2525当产 100 时，x = 0；当 y = 84 时，x = 100。由表格可知：余油量从100l到84l，行驶吋间是1/7，行驶路程是100m .在a型汽车的速度为100km/h。例2某服装公司试着销一利1成木为每件50元的r恤衫，规定试销吋的销售 单价不低子成木价，又不高于每件70元，试销中销售量 >，(件)与销售单价*(元) 的关系吋以近似地看作一次函数如图所示冬y(件)(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 设公司获得的总利润(总利润=总销售额一总成木)为p元，求p与x之 间的函数关系，并写出自变量*的

25、取值范围；根据题意判断：当义取何值时，p 的值最大？最大值是多少？解：(1) y与x的函数关系式y = h: + /7-400 = 60/,解得-10!300 = 70+/人b = 000 y = lox+1000。(2)p = (jv-50)( 1 ox +100)，即尸=-1 ox2 +1500x - 50000，由题意知 50 d70 o-! = -= 75, (z = 10 < 0 , 函数尸=一 10.r2 +15oox 50000 的图像开2tz 20口 h'|j下，对称轴是直线x = 75, .当x = 70时，尸极人值=6000。2. 初中数学教学应如何加强数学思

26、想方法的渗透数学大纲对初屮数学屮渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了 解”、“理解”和“会应用”。在教学屮，要求学生“了解”的数学思想冇：数形 结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。有些数学 思想在大纲屮并没冇明确提出，比如:化归思想是渗透在学习新知识和应用新知 识解决问题的过程中的，而方程(组)的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特 殊化”转化的思想方法，教师在教学过程屮要激发学生学习数学的好奇心和求知 欲，通过独立思考，不断追求新知，发现，提出、分析并创造性地解决问题。在 教学中耍认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了 解“的层次提高

27、到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用“的层次, 杏则，学生初次接触会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们 失去信心1°。作为老师传授给学生的是一种思想而不应该是传授给他们死的东西，这就是人们常说的“授之予渔，不如授之于渔。”，所以在教学中重视数学思想方法的教 学是及其重耍的，具体说应做到一卜几点：2.1. 提高渗透的自觉性作为教师首先耍更新观念，从思想.h不断提高对渗透数学思想方法重要性的 认识，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖 掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种w素，对于每一章每一 w，都要考虑 如何结合具体内容进行数学

28、思想方法渗透，应宥一个总体设计，提出不同阶段的 具体教学耍求。2.2. 把握渗透的可行性数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好 教学过程中进行数学思想方法教学的契机概念形成的过程，结论推导的过 程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思 想方法的教学耍注意宥机结合、g然渗透，耍宥意识地潜移默化地启发学生领悟 蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际 等适得其反的做法。2.3. 注重渗透的渐进性和反复性。在教学中，首先耍特别强调解决问题以g的“反思”。因为在这个过程中提 炼出來的数学思想方法，对学生来说才是易于

29、体会、易于接受的，其次要注意渗 透的长期性。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地宥 所领会。总之，在数学教学中，只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想，同时 注意渗透的过程，依据课木内容和学生的认知水平，从初一开始就有计划的渗透， 就一定能提高学生的学习效率和数学能力。3. 进行数学思想方法教学时应注意的问题3.1.避免盲目性无论做什么事情，我们都不应该盲目的去做，在做事情之前要进行一番思考, 明确做每件事情的目标和方向，肓目的做事往往是收不到预期效來的，教学也不 例外。所以在进行数学思想方法教学时一定耍避免肓目地进行。作为老师不是为 了 “教”而“教”，应该是为了学生的“学”而“教”。要想避免这种现象的岀 现，在进行数学思想方法教学中除了要把握教材、认真备好课、充分地了解学生 的思维模式外。还应当理解数学思想方法在学习过程中的作用，教师在教学设计 中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘 题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。3.2. 注重衔接的自然性教学是一门艺术，不同的人会勾画出不同的图案。在进行数学思