空间曲线及其方程(6)课件

1、空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节一、空间曲线的一般式方程一、空间曲线的一般式方程 ，0),(0),(21zyxFzyxF称为称为空间曲线的一般式方程空间曲线的一般式方程(或或交面式方程交面式方程)xozy1S2SC，：设有曲面设有曲面0),(11 zyxFS，：0),(22 zyxFS的方程为的方程为则它们的交线则它们的交线 C222Ryx 如如圆圆柱柱面面.0222 zRyxxoy 面上的准线面上的准线在在等等，轴轴的的方方程程及及 00yxz都是交面式方程都是交面式方程例例1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表

2、示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx它它们们的的交交线线为椭圆为椭圆例例2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(9222222zyxzyx解解为为半半径径的的球球面面，为为球球心心，是是以以点点方方程程39222Ozyx 为为半半径径的的球球面面，为为球球心心，是是以以2)2 , 0 , 0(4)2(222 zyx它们的交线是圆，它们的交线是圆，方程组恒等变形得方程组恒等变形得 499222zzyx 49166322zyx，圆圆心心为为上上，所所以以这这个个圆圆位位于于平平面面)4900(49 z.463半径为半径为由此可见曲线的一般式方

3、程由此可见曲线的一般式方程不是唯一的不是唯一的二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程数方程来表示数方程来表示空间曲线还可以通过参空间曲线还可以通过参圆柱螺线的参数方程圆柱螺线的参数方程P同时又以线速度同时又以线速度 沿沿平行平行圆柱面圆柱面222ayx yz0 xaM(x,y,z)， t M螺线从点螺线从点P Q当当从从0 2 ，bPQ 2| 叫螺距叫螺距N(x,y,0)Q点点P 在圆柱面上以在圆柱面上以 tztaytax sincost 若若令令圆柱螺线的参数圆柱螺线的参数方程还可表示为方程还可表示为 bzayaxsi

4、ncos)( vb 角速度角速度 绕绕 z 轴旋转；轴旋转；于于z 轴的方向等速地上升，轴的方向等速地上升，其轨迹称为其轨迹称为圆柱螺线圆柱螺线， 0),(0),(zyxGzyxF在方程组中消去变量在方程组中消去变量 z 后得：后得：，0),( yxH设有空间曲线设有空间曲线 C ：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影轴轴的的柱柱面面，且且母母线线平平行行于于它它表表示示过过曲曲线线zC面的面的关于关于称之为曲线称之为曲线xoyC投影柱面投影柱面面面的的交交线线，称

5、称为为的的投投影影柱柱面面与与相相关关坐坐标标曲曲线线 C线，简称为投影线，简称为投影在该坐标面上的投影曲在该坐标面上的投影曲曲线曲线 C面面上上的的投投影影曲曲线线为为在在如如上上述述曲曲线线xoyC.00),( zyxH求空间曲线在相关坐标面上的投影曲线的步骤：求空间曲线在相关坐标面上的投影曲线的步骤：空间曲线空间曲线2.得投影曲线得投影曲线1. 求相关投影柱面求相关投影柱面yxzo面面上上的的投投影影在在求求曲曲线线例例xoyyxzyxz 222223yxzoL面面的的投投影影柱柱面面：关关于于得得曲曲线线在在方方程程组组中中消消去去xoyLz122 yx面面上上的的投投影影为为：在在曲

6、曲线线xoyL 0122zyx 1122zyx 22222yxzyxz.00),( xzyR.00),( yzxT，中中消消去去变变量量类类似似地地，在在方方程程组组xzyxGzyxF 0),(0),(面面的的投投影影柱柱面面得得曲曲线线关关于于 yoz，0),( zyR从而曲线在从而曲线在 yoz 面的投影曲线方程为面的投影曲线方程为 ，中消去变量中消去变量在方程组在方程组yzyxGzyxF 0),(0),(面面的的投投影影柱柱面面得得曲曲线线关关于于 zox，0),( zxT从而曲线在从而曲线在 zox 面的投影曲线方程为面的投影曲线方程为 例例4 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面

7、 02 zyx 解解，中中消消去去在在方方程程组组yzyxxzy 0222的交线在的交线在 zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程，得得042522 xxzzx面面上上的的投投影影为为所所求求交交线线在在 zox.0042522 yxxzzx例例5 求曲线求曲线 在三坐标面上的投影在三坐标面上的投影 211222zzyx解解 （1）求曲线在）求曲线在 xoy 面上的投影面上的投影，4322 yx所以曲线在所以曲线在 面上的投影为面上的投影为xoy.04322 zyx在方程组中消去变量在方程组中消去变量 z ，得，得圆圆故曲线在故曲线在 yoz 面上的投影为面上的投影为因为曲线在平面因为曲

8、线在平面 上，上，21 z同理在同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段zox.23|021 xyz，例例5 求曲线求曲线 在三坐标面上的投影在三坐标面上的投影 211222zzyx解解 （2）求曲线在）求曲线在 yoz 面上的投影面上的投影面的投影柱面，面的投影柱面，就是曲线关于就是曲线关于所以所以yozz21 ， 021xz；23| y线段线段，222ayx 故故曲线在曲线在xoy面上的投影为面上的投影为.0222 zayx在前两个方程中消去参数在前两个方程中消去参数 ，得，得解解 （1）求曲线在）求曲线在 xoy 面上的投影面上的投影例例6 求圆柱螺线求圆柱螺线 在坐标面上的投影在坐

9、标面上的投影 bzayaxsincos.)6.416(TP在后两个方程中消去参数在后两个方程中消去参数 ，得，得，bzaysin 故故曲线在曲线在yoz面上的投影为面上的投影为.0sin xbzay同理可得，同理可得，曲线在曲线在zox面上的投影为面上的投影为.0cos ybzax例例6 求圆柱螺线求圆柱螺线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影 bzayaxsincos解解 （2）求曲线在）求曲线在 yoz 面上的投影面上的投影.)6.416(TP例例7面上的投影面上的投影锥面所围成，求它在锥面所围成，求它在和和面面设一个立体，由上半球设一个立体，由上半球xoyyxzyxz)(342222 解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交